6、分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．
(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．
【變式訓(xùn)練1】 (1)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
答案 B
解析 由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1 或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意．故選B.
(2)[2018·昆明模擬]設(shè)a＝2
7、0.3，b＝30.2，c＝70.1，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜a＜b
C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a
答案 B
解析 由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，構(gòu)造冪函數(shù)y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，知c＜a＜b.
考向 求二次函數(shù)的解析式
例 2 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．
解 解法一：(利用一般式)
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得解得
∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：
8、(利用頂點(diǎn)式)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝.
∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用兩根式)
由已知f(x)＋1＝0兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值f(x)max＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4
9、x＋7.
觸類旁通
確定二次函數(shù)解析式的方法
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：
【變式訓(xùn)練2】 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．
解 解法一：(一般式)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
則?∴f(x)＝－x2＋2x.
解法二：(兩根式)∵對(duì)稱軸方程為x＝1，
∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0的兩根分別為0,2.
∴可設(shè)其解析式為f(x)＝ax(x－2)．
又∵f(1)＝1，可得a＝－1，
∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.
解法三：(頂點(diǎn)式)由
10、已知，可得頂點(diǎn)為(1,1)，
∴可設(shè)其解析式為f(x)＝a(x－1)2＋1.
又由f(0)＝0，可得a＝－1，
∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
考向 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
命題角度1 二次函數(shù)的單調(diào)性
例 3 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)
11、＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時(shí)定義域?yàn)閤∈[－4,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]，
單調(diào)遞減區(qū)間是[－4,0]．
命題角度2 二次函數(shù)的最值
例4 [2016·浙江高考]已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx，則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 因?yàn)閒(x)＝x2＋bx＝2－，其最小值為f＝－.因?yàn)閒(f(x))＝[f(x)]2＋b·f(x)＝2－.因?yàn)閒(x)min＝－，若f[f(
12、x)]與f(x)的最小值相等，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)＝－≥－時(shí)成立，解得b<0或b>2，所以“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的充分不必要條件．故選A.
命題角度3 二次函數(shù)中恒成立問題
例 5 [2018·石家莊模擬]設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
答案
解析 由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得a＞－＋在(1,4)上恒成立．
令g(x)＝－＋＝－22＋，
∈，所以g(x)max＝g(2)＝，
所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可
13、．
觸類旁通
二次函數(shù)的最值及恒成立問題
(1)解決二次函數(shù)最值問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．
(2)解決二次函數(shù)恒成立問題有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)，思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；二是不分離參數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．
核心規(guī)律
1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖象的特征
當(dāng)α＞0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1)，在第一象限圖象上升；
當(dāng)α＜0時(shí)，圖象過點(diǎn)(1,1)，但不過原點(diǎn)，在第一象限圖象下降．
2.在
14、研究一元二次方程根的分布問題時(shí)，常借助二次函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解，一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)四個(gè)方面分析．
3.在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時(shí)，一般借助二次函數(shù)圖象及性質(zhì)求解．
滿分策略
1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限．如果冪函數(shù)與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．
2.對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若它是二次函數(shù)，則必須滿足a≠0.當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a≠0時(shí)，就要分a＝0和a≠0兩種情況討論．
3.對(duì)于與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題或存在性問題，應(yīng)注意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
數(shù)學(xué)思想系列2
15、——分類討論破解二次函數(shù)最值問題
[2018·廣州模擬]已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值．
解題視點(diǎn) 函數(shù)的對(duì)稱軸是x＝a位置不定，并且在不同位置產(chǎn)生的結(jié)果也不相同，所以要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論．
解 當(dāng)對(duì)稱軸x＝a<0時(shí)，如圖1所示，當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且滿足a<0，∴a＝－1.
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖2所示，當(dāng)x＝a時(shí)，y有最大值ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.
∴a2－a＋1＝2，解得a＝.
∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)．
當(dāng)a>1時(shí)，
16、如圖3所示．
當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值．
ymax＝f(1)＝2a－a＝2.
∴a＝2，且滿足a>1，∴a＝2.
綜上可知，a的值為－1或2.
答題啟示 二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，可分成三類：①對(duì)稱軸固定，區(qū)間固定；②對(duì)稱軸變動(dòng)，區(qū)間固定；③對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng).此類問題一般利用二次函數(shù)的圖象及其單調(diào)性來(lái)考慮，對(duì)于后面兩類問題，通常應(yīng)分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)、左、右三種情況討論.
跟蹤訓(xùn)練
設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1.
當(dāng)t＋
17、1<1，即t<0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；
當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；
當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.
綜上可知，f(x)min＝
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．[2018·秦皇島模擬]若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．
18、(－∞，0)
答案 D
解析 設(shè)y＝xa，則＝2a，∴a＝－2，∴y＝x－2其單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)．故選D.
2．[2018·武漢模擬]如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(0)f(2)>f(0)．故選A.
3．若不等式
19、(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
答案 C
解析 當(dāng)a－2＝0即a＝2時(shí)，不等式為－4<0，恒成立．當(dāng)a－2≠0時(shí)，解得－21時(shí)，恒有f(x)1時(shí)，恒有f(x)1時(shí)，函數(shù)f(x)＝xα的圖象在y＝x的圖象的下方，作出
20、冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖象，由圖象可知α<1時(shí)滿足題意．故選B.
5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2,5)
答案 C
解析 二次函數(shù)f(x)＝－x2＋4x的圖象是開口向下的拋物線，最大值為4，且在x＝2時(shí)取得，而當(dāng)x＝5或－1時(shí)，f(x)＝－5，結(jié)合圖象可知m的取值范圍是[－1,2]．
6．[2018·吉林松原月考]設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，則( )
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
21、
C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0
答案 C
解析 ∵f(x)的對(duì)稱軸為x＝－，f(0)＝a＞0，∴f(x)的大致圖象如圖所示．
由f(m)＜0，f(－1)＝f(0)＝a>0，得－1＜m＜0，
∴m＋1＞0，又∵x>－時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，∴f(m＋1)＞f(0)＞0.
7．[2017·浙江高考]若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m( )
A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)
C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)
答案 B
解析 設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的
22、最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān)．故選B.
由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖象的形狀一定．隨著b的變動(dòng)，相當(dāng)于圖象上下移動(dòng)，若b增大k個(gè)單位，則最大值與最小值分別變?yōu)镸＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故與b無(wú)關(guān)．隨著a的變動(dòng)，相當(dāng)于圖象左右移動(dòng)，則M－m的值在變化，故與a有關(guān)．故選B.
8．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)
解析 f(x)＝(x＋a)2
23、＋2－a2，圖象的對(duì)稱軸為x＝－a，由題意可知－a≥5或－a≤－5，解得a≤－5或a≥5.
9．[2018·合肥模擬]若函數(shù)f(x)＝ 的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為________．
答案 [－1,0]
解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2 x2＋2ax－a－1≥0對(duì)x∈R恒成立，即2 x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
10．[2018·南昌模擬]如果函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，那么實(shí)數(shù)a＝________.
答案 1
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax－a的圖象為開口向上的拋
24、物線，所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得．因?yàn)閒(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.
[B級(jí) 知能提升]
1．[2018·浙江模擬]已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則( )
A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0
C．a(chǎn)>0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，所以f(x)先減后增，所以a>0.選A.
2.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A
25、(－3,0)，對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正確．
對(duì)稱軸為x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②錯(cuò)誤．
結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y>0，即a－b＋c>0，③錯(cuò)誤．
由對(duì)稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0.那么f(x)的零點(diǎn)
26、是________；若f(x)的值域是，則c的取值范圍是________．
答案 －1和0 (0,4]
解析 當(dāng)0≤x≤c時(shí)，由x＝0得x＝0.當(dāng)－2≤x<0時(shí)，由x2＋x＝0，得x＝－1，所以函數(shù)零點(diǎn)為－1和0.當(dāng)0≤x≤c時(shí)，f(x)＝x，所以0≤f(x)≤；當(dāng)－2≤x<0時(shí)，f(x)＝x2＋x＝2－，所以此時(shí)－≤f(x)≤2.若f(x)的值域是，則有≤2，即0
27、)在[0,1]上遞增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2，
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②當(dāng)0<<1，即0
28、R)的解析式；
(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函數(shù)g(x)的最小值．
解 (1)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)設(shè)x>0，則－x<0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
所以f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對(duì)稱軸方程為x＝a＋1，
當(dāng)a＋1≤1，即a≤0時(shí)，g(1)＝1－2a為最小值；
當(dāng)12，即a>1時(shí)，g(2)＝2－4a為最小值．
綜上可得g(x)min＝
14
（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 冪函數(shù)與二次函數(shù)學(xué)案
