2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時(shí)作業(yè)24 《基本不等式》的應(yīng)用

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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時(shí)作業(yè)24 《基本不等式》的應(yīng)用 一、選擇題(每小題6分,共計(jì)36分) 1.函數(shù)y=2x+(x>0)的最小值是(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:y=2x+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x=,x=1時(shí)取等號(hào),ymin=4.故選C. 答案:C 2.已知m,n∈R,m2+n2=100,則mn的最大值是(  ) A.100 B.50 C.20 D.10 解析:mn≤==50,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=或m=n=-時(shí)等號(hào)成立. 答案:B 3.下列結(jié)論正確的是(  ) A.當(dāng)x>0且x≠1時(shí),lgx+≥2 B.當(dāng)x>0時(shí),+≥2 C.當(dāng)

2、x≥2時(shí),x+的最小值為2 D.當(dāng)00且x≠1時(shí),lgx不一定是正數(shù),所以A不正確; 選項(xiàng)C中,當(dāng)x≥2時(shí),x+≥2=2中的等號(hào)不成立,所以C不正確; 選項(xiàng)D中,當(dāng)0

3、 ≥+×2=5(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)), ∴3x+4y的最小值為5. 答案:C 5.周長(zhǎng)為36的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱,該圓柱的側(cè)面積的最大值是(  ) A.27π B.81π C.108π D.162π 解析:設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為x,y,則2(x+y)=36?x+y=18≥2,則xy≤81.又圓柱的側(cè)面積為2πxy≤2π×81=162π,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時(shí),等號(hào)成立. 答案:D 6.設(shè)x>y>z,n∈N,且+≥恒成立,則n的最大值為(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵+=≥=,∴n的最大值為4. 答案:C 二、填空題(每小

4、題8分,共計(jì)24分) 7.若x+2y=1,則2x+4y的最小值為________. 解析:∵2x+4y=2x+22y≥2 =2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=時(shí)上式等號(hào)成立. 答案:2 8.當(dāng)x>時(shí),函數(shù)y=x+的最小值為________. 解析:設(shè)t=2x-1,∵x>,∴2x-1>0,即t>0. ∴y=+=++≥2+=. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=4,即x=時(shí),取等號(hào). 答案: 9.函數(shù)y=log(x++1)(x>1)的最大值為________. 解析:∵x>1,∴x-1>0, ∴x++1=x-1++2≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時(shí)等號(hào)成立. 又y=logx是減

5、函數(shù),∴y≤log4=-2. 答案:-2 三、解答題(共計(jì)40分) 10.(10分)(1)已知x>-1,試比較x+與1的大??; (2)若x>0,y>0,x+y=1,求證:+≥4. 解:(1)∵x>-1, ∴x+1>0,>0. ∴x+=(x+1)+-1≥ 2-1=1. 當(dāng)x+1=即x=0時(shí),x+=1. 當(dāng)x>-1,且x≠0時(shí)x+>1. (2)∵x+y=1,x>0,y>0,∴>0,>0. ∴+=+ =2++≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=時(shí)取等號(hào). 11.(15分)某公司欲建連成片的網(wǎng)球場(chǎng)數(shù)座,用128萬元購買土地10 000平方米,每座球場(chǎng)的建筑面積均為1 000平

6、方米,球場(chǎng)總建筑面積的每平方米的平均建筑費(fèi)用與球場(chǎng)數(shù)有關(guān),當(dāng)該球場(chǎng)建n個(gè)時(shí),每平方米的平均建筑費(fèi)用用f(n)表示,且f(n)=m(1+)(其中n∈N),又知建五座球場(chǎng)時(shí),每平方米的平均建筑費(fèi)用為400元,為了使該球場(chǎng)每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和),公司應(yīng)建幾個(gè)球場(chǎng)? 解:設(shè)建成n個(gè)球場(chǎng),則每平方米的購地費(fèi)用為=, 由題意,知n=5, f(n)=400, 則f(5)=m(1+)=400,所以m=400. 所以f(n)=400(1+)=20n+300. 從而每平方米的綜合費(fèi)用為 y=f(n)+=20(n+)+300≥20×2+300=620(元), 當(dāng)且僅

7、當(dāng)n=8時(shí)等號(hào)成立. 所以當(dāng)建成8座球場(chǎng)時(shí),每平方米的綜合費(fèi)用最?。? 12.(15分)過點(diǎn)P(2,1)的直線l分別交x軸,y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積S的最小值. 解:方法1:設(shè)直線l的表達(dá)式為y-1=k(x-2)(顯然k存在,且k≠0), 令y=0,可得A(2-,0); 令x=0,可得B(0,1-2k). ∵A,B都在正半軸上, ∴2->0且1-2k>0,可得k<0. ∴S△AOB=|OA|·|OB|=(2-)(1-2k) ==-2k++2≥2+2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=-時(shí),S△AOB取得最小值,為4. 方法2:設(shè)直線l的方程為+=1(a>0,b>0), ∵l過點(diǎn)P(2,1), ∴+=1.∴1=+≥2,可得ab≥8. ∴S△AOB=ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)=,且ab=8, 即a=4,b=2時(shí),S△AOB取得最小值4.

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