2022高考數(shù)學二輪復習 基礎(chǔ)回扣（三）三角函數(shù)、解三角形、平面向量學案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 基礎(chǔ)回扣（三）三角函數(shù)、解三角形、平面向量學案 理 1．終邊相同的角 α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等．三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)． [對點專練1]　已知角α的終邊經(jīng)過點P(3，－4)，則sinα＋cosα的值為________． [答案]　－ 2．誘導公式 簡記為“奇變偶不變，符號看象限”． [對點專練2]　cos＋tan＋sin21π的值為________． [答案]　－ 3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間 (1)

2、不注意ω的符號，把單調(diào)性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反； (2)忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫k∈Z； (3)書寫單調(diào)區(qū)間時，錯把弧度和角度混在一起．如[0,90°]應寫為. [對點專練3]　函數(shù)y＝sin的遞減區(qū)間是________． [答案]　(k∈Z) 4．三角的恒等變形中常見的拆角、拼角技巧 α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]． α＋＝(α＋β)－，α＝－. [對點專練4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－， sin＝，則cos＝________. [答案]?。? 5．解三角形 已知三角形兩邊及一邊對角，求解三角

3、形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進行取舍．在△ABC中A>B?sinA>sinB. [對點專練5]　在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，則B＝________. [答案]　45° 6．向量的平行與垂直 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0；a⊥b(a≠0，b≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. [對點專練6]　下列四個命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題是________． [答案]?、?

4、 7．投影 a在b上的投影＝|a|cosa，b＝＝. 投影是一個實數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或零． 注意：a，b為銳角?a·b>0且a、b不同向； a，b為直角?a·b＝0且a、b≠0； a，b為鈍角?a·b<0且a、b不反向． [對點專練7]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b上的投影為________． [答案]　 8．數(shù)量積的運算 當a·b＝0時，不一定得到a⊥b；當a⊥b時，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行． [對點專練8]

5、　下列各命題：①若a·b＝0，則a、b中至少有一個為0；②若a≠0，a·b＝a·c，則b＝c；③對任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④對任一向量a，有a2＝|a|2.其中正確命題是________． [答案]　④ [易錯盤點] 易錯點1　忽視角的范圍致誤 【例1】　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β為銳角，則α＋β＝________. [錯解]　∵α、β為銳角， ∴cosα＝＝， cosβ＝＝. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝×＋×＝. 又0<α＋β<π. ∴α＋β＝或α＋β＝π. [錯因分析]　錯解中沒有注意到sinα＝，

6、sinβ＝本身對角的范圍的限制，造成錯解． [正解]　因為α，β為銳角， 所以cosα＝＝， cosβ＝＝. 所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝×－×＝， 又因為0<α＋β<π，所以α＋β＝. 對三角函數(shù)的求值問題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍；本題中(0，π)中的角和余弦值一一對應，最好在求角時選擇計算cos(α＋β)來避免增解． [對點專練1]　 (1)已知sinθ＋cosθ＝，則sinθ－cosθ的值為(　　) A.　　　B．－　　　C.　　　D．－ (2)設(shè)α為銳角，若sin＝，則sin

7、的值為________． [解析]　(1)∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ

8、個單位長度 [錯解]　∵y＝(cos3x－sin3x) ＝sin＝sin. ∴把y＝sin(－3x)的圖象向右平移個單位長度即可得到y(tǒng)＝(cos3x－sin3x)的圖象，選D. [錯因分析]　題目要求由y＝(cos3x－sin3x)的圖象得到y(tǒng)＝sin(－3x)的圖象，位置顛倒導致錯誤． [正解]　y＝(cos3x－sin3x)＝sin ＝sin， 要由y＝sin到y(tǒng)＝sin(－3x)只需對x加上即可，因而是對y＝(cos3x－sin3x)的圖象向左平移個單位，故選C. 函數(shù)圖象的左右平移是自變量x發(fā)生變化，如ωx→ωx±φ(φ>0)這個變化的實質(zhì)是x→x±，所以平移的距離

9、并不是φ. [對點專練2]　 (1)把函數(shù)y＝sin圖象上各點的橫坐標縮小到原來的(縱坐標不變)，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ (2)對于函數(shù)f(x)＝sin， ①函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－對稱； ②函數(shù)圖象關(guān)于點對稱； ③函數(shù)圖象可看作是把y＝sin2x的圖象向左平移個單位而得到； ④函數(shù)圖象可看作是把y＝sin的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)而得到． 以上敘述所有正確的是________(填寫序號)． [解析]　(1)把函數(shù)y＝sin圖象上各點的橫坐標縮小到原來的(

10、縱坐標不變)所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin，再將圖象向右平移個單位所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin＝sin＝－cos2x，即y＝－cos2x，令2x＝kπ，k∈Z，則x＝，k∈Z，即對稱軸方程為x＝，k∈Z，故選A. (2)函數(shù)f(x)＝sin的對稱軸為2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.而當x＝－時，k無解，故①錯誤；函數(shù)f(x)＝sin圖象的中心對稱點的橫坐標為2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z，當k＝1時，x＝，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故②正確；將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移個單位得到的函數(shù)圖象為y＝sin2＝sin，故③錯誤；利用三角函數(shù)伸縮性易得④正確，所以正確的有②④

11、. [答案]　(1)A　(2)②④ 易錯點3　三角形解的個數(shù)不清致誤 【例3】　在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a＝1，c＝. (1)若C＝，求A； (2)若A＝，求b，C. [錯解]　(1)在△ABC中，＝， ∴sinA＝＝，∴A＝或. (2)由＝得sinC＝＝， ∴C＝，由C＝知B＝， ∴b＝＝2. [錯因分析]　在用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)漏解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.這樣就出現(xiàn)漏解的錯誤．

12、 [正解]　(1)由正弦定理得＝， 即sinA＝＝. 又a

13、2) (2)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積為________． [解析]　(1)若滿足條件的三角形有兩個，則＝sinCAC，∴C>B.∴C＝60°或120°. ∴A＝90°或30°. 由△ABC的面積S＝AB·AC·sinA， 得S＝2或. [答案]　(1)C　(2)2或 易錯點4　忽視向量共線致誤 【例4】　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________．

14、 [錯解]　∵cosθ＝＝ . 因為θ為銳角，有cosθ>0， ∴>0?2λ＋1>0， 得λ>－，λ的取值范圍是. [錯因分析]　當向量a，b同向時，θ＝0，cosθ＝1滿足cosθ>0，但不是銳角． [正解]　∵θ為銳角，∴00且a，b不同向；②θ為直角?a·b＝0；③θ為鈍角?a·b<0且a，b不反向． [對點專練4]　 (1)已知向量a，b不共線，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，則

15、“A，B，C三點共線”是“λ1λ2＝1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為.若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，則實數(shù)t的范圍為________． [解析]　(1)依題意，由A，B，C三點共線，可設(shè)＝m(m≠0)，則有λ1a＋b＝ma＋mλ2b，又a，b不共線，因此得λ1λ2＝1.反過來，由λ1λ2＝1顯然能得出A，B，C三點共線．綜上所述，“A，B，C三點共線”是“λ1λ2＝1”的充分必要條件，故選C. (2)(2te1＋7e

16、2)·(e1＋te2) ＝2t|e1|2＋(2t2＋7)e1·e2＋7t|e2|2 ＝2t×4＋2t2＋7＋7t ＝2t2＋15t＋7 ∵向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角， ∴2t2＋15t＋7<0，得－7

17、數(shù)量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，這里θ是a與b的夾角，本題中與夾角不是∠C.兩向量的夾角就為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應是∠ACD. [正解]　如圖與的夾角應是∠ACB的補角∠ACD， 即180°－∠ACB＝120°. 又||＝||＝||＝1， 所以·＝||||cos120°＝－. 同理得·＝·＝－. 故·＋·＋·＝－. 在判斷兩向量的夾角時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤．平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合，主要是指題設(shè)條件設(shè)置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實質(zhì)變成純?nèi)菃栴}． [對點專練5]　 (1)在△ABC中，||＝3，||＝2，點D滿足2＝3，∠BAC＝60°，則·＝(　　) A．－ B. C. D．－ (2)已知△ABC中，||＝4，||＝1，S△ABC＝，則·的值為________． [解析]　(1)因為2＝3，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝ ＋，所以·＝·＝·(－)＝2－·－2＝×22－×2×3×cos60°－×32＝－，故選D. (2)因為S△ABC＝×4×1×sinA＝，所以sinA＝，得A＝或A＝，·＝1×4×cosA＝±2. [答案]　(1)D　(2)±2