（浙江專版）2018年高考數(shù)學 第1部分 重點強化專題 專題2 數(shù)列 突破點5 數(shù)列求和及其綜合應用教學案

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1、 突破點5　數(shù)列求和及其綜合應用 (對應學生用書第19頁) [核心知識提煉] 提煉1 an和Sn的關系 　 若an為數(shù)列{an}的通項，Sn為其前n項和，則有an＝在使用這個關系式時，一定要注意區(qū)分n＝1，n≥2兩種情況，求出結(jié)果后，判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2求數(shù)列通項常用的方法 　 (1)定義法：①形如an＋1＝an＋c(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列．②形如an＋1＝kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列． (2)疊加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an

2、－1)，求其通項公式． (3)疊乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通項公式． (4)待定系數(shù)法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解． (5)構造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn＋1，得＝·＋，構造新數(shù)列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下來用待定系數(shù)法求解． (6)取對數(shù)法：形如an＋1＝pa(p>0，an>0)，先在原遞推公式兩邊同時取對數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解

3、. 提煉3數(shù)列求和 　 數(shù)列求和的關鍵是分析其通項，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等，而裂項相消法，錯位相減法是常用的兩種方法. 提煉4數(shù)列的綜合問題 　 數(shù)列綜合問題的考查方式主要有三種： (1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對應函數(shù)的單調(diào)性比較大小． (2)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． (3)考查與數(shù)列有關的不等式的證明問題，此類問題大多還要借助構造函數(shù)去證明，或者是直接利用放縮法證明或直接利用數(shù)學歸納法． [高考真題回訪] 回

4、訪1　數(shù)列求和 1．(2014·浙江高考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an與bn； (2)設cn＝－(n∈N*)．記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ①求Sn； ②求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*，均有Sk≥Sn. [解]　(1)由題意知a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6， 知a3＝()b3－b2＝8. 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 2分 所以數(shù)列{an}的通項為an＝2n(n∈N*)， 所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1

5、)． 故數(shù)列{bn}的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*). 5分 (2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)， 所以Sn＝－(n∈N*). 7分 ②因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0， 當n≥5時，cn＝， 9分 而－＝>0， 得≤<1， 11分 所以，當n≥5時，cn<0. 綜上，對任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4. 14分 回訪2　數(shù)列的綜合問題 2．(2017·浙江高考)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 證明：當n∈N*時， (1)0

6、－xn≤； (3)≤xn≤. [解]　(1)證明：用數(shù)學歸納法證明：xn>0. 當n＝1時，x1＝1>0. 假設n＝k時，xk>0， 那么n＝k＋1時， 若xk＋1≤0，則00. 3分 因此xn>0(n∈N*)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1. 因此0

7、x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)， 函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 故2xn＋1－xn≤(n∈N*). 10分 (3)證明：因為xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以xn≥. 由≥2xn＋1－xn 得－≥2>0， 13分 所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2， 故xn≤. 綜上，≤xn≤(n∈N*). 15分 3．(201

8、6·浙江高考)設數(shù)列{an}滿足≤1，n∈N*. (1)證明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*； (2)若|an|≤n，n∈N*，證明：|an|≤2，n∈N*. [證明]　(1)由≤1， 得|an|－|an＋1|≤1， 故－≤，n∈N*， 2分 所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋<1， 因此|an|≥2n－1(|a1|－2). 5分 (2)任取n∈N*，由(1)知，對于任意m>n， －＝＋＋…＋≤＋＋…＋<， 故|an|<·2n ≤·2n ＝2＋m·2n. 8分 從而對于任意m>n，均有|an|<2＋m·2n.① 由m的任意性得

9、|an|≤2. 否則，存在n0∈N*，有|an0|>2， 取正整數(shù)m0>log且m0>n0， 11分 則2n0·m0<2n0·log＝|an0|－2，與①式矛盾． 綜上，對于任意n∈N*，均有|an|≤2. 15分 (對應學生用書第21頁) 熱點題型1　數(shù)列中的an與Sn的關系 數(shù)列中的an與Sn的關系 題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關系為載體，考查數(shù)列通項公式的求法，以及推理論證的能力. 【例1】　數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項公式． 【導學號：68334070】 [解]　由

10、已知，當n≥2時，＝1， 所以＝1， 2分 即＝1， 所以－＝. 4分 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列， 6分 所以＝1＋(n－1)＝， 即Sn＝. 8分 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 12分 因此an＝ 15分 [方法指津] 給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式時，務必驗證n＝1時的情形 [變式訓練

11、1]　(1)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n ，則Sn＝__________. 【導學號：68334071】 (2)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，則an＝__________. (1)n·2n(n∈N*)　(2)2×3n－1(n∈N*)　[(1)由Sn＝2an－2n得當n＝1時，S1＝a1＝2；當n≥2時，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，當n＝1時，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)． (2)因為2

12、Sn＋2＝3an， ① 所以2Sn＋1＋2＝3an＋1， ② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an，所以2an＋1＝3an＋1－3an，即＝3. 當n＝1時，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)．] 熱點題型2　裂項相消法求和 題型分析：裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和. 【例2】　已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)

13、列， (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：≤Tn<. [解]　(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S5＝5a3，∴a3＝14， 1分 又a2，a7，a22成等比數(shù)列，即a＝a2·a22. 2分 由(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0， 解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4. 4分 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n＋2，n∈N*. 6分 (2)證明：由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝，8分 ∴Tn＝1－＋－＋…＋－ ＝－. 11分 又Tn≥T1＝－＝， 所以≤Tn<. 15分 [方法指津]

14、裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常見的裂項方式有： 提醒：在裂項變形時，務必注意裂項前后系數(shù)的變化. [變式訓練2]　(名師押題)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)由題設知a1·a4＝a2·a3＝8， 2分 又a1＋a4＝9，可得或(舍去) 4分 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1. 6分 (2)Sn＝＝2n－1.

15、 8分 又bn＝＝＝－， 12分 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－. 15分 熱點題型3　錯位相減法求和 題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯位相減法的運算量相對較大，故該命題點出現(xiàn)的頻率不高，但其仍是命題的熱點之一，務必加強訓練. 【例3】　已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求an與bn； (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn. [解]　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*). 2分 由題

16、意知： 當n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2. 3分 當n≥2時，bn＝bn＋1－bn. 4分 整理得＝，所以bn＝n(n∈N*). 6分 (2)由(1)知anbn＝n·2n， 因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， 10分 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1. 12分 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*). 15分 [方法指津] 運用錯位相減法求和應注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}中一個為等差數(shù)列，一個為等比數(shù)列；二是錯開位置，一般先乘以公

17、比，再把前n項和退后一個位置來書寫，這樣避免兩式相減時看錯列；三是相減，相減時一定要注意式中最后一項的符號，考生常在此步出錯，一定要細心． 提醒：為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n＝1,2進行驗證． [變式訓練3]　已知在公比大于1的等比數(shù)列{an}中，a2，a4是函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個零點． (1)求數(shù)列{an }的通項公式； (2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn. [解]　(1)因為a2，a4是函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個零點，且等比數(shù)列{an}的公比q大于1，所以a2＝2，a4＝8， 2分 所以q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2

18、n－1(n∈N*). 6分 (2)由(1)知2nan＝n×2n ，所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，① 7分 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② 11分 由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，13分 所以Sn＝2＋(n－1)×2n＋1(n∈N*). 15分 熱點題型4　數(shù)列的綜合問題 題型分析：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題多為解答題.難度偏大，屬中高檔題，常有以下兩個命題角度： (1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題； (2)考查與數(shù)列有關的不等式的證明問題. 【例4】　(2017

19、·紹興市方向性仿真考試)已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，an＝－. (1)求證：≤an≤1； (2)求證：|an＋1－an|≤； (3)求證：|a2n－an|≤. 【導學號：68334072】 [證明]　(1)由已知得an＋1＝，又a1＝1， 所以a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1. 2分 下面用數(shù)學歸納法證明． ①當n＝1時，命題顯然成立； ②假設n＝k時，有≤an≤1成立，則當n＝k＋1時，ak＋1＝≤＜1， ak＋1＝≥＝， 即當n＝k＋1時也成立， 所以對任意n∈N*，都有≤an≤1. 5分 (2)當n＝1時，|a2－a1|＝，

20、 當n≥2時，∵＝·＝1＋≥1＋＝， 7分 ∴|an＋1－an|＝ ＝ ≤|an－an－1|≤…≤n－1|a2－a1| ＝·n－1＜. 綜上所述，|an＋1－an|≤. 10分 (3)當n＝1時，|a2－a1|＝＝＜； 11分 當n≥2時， |a2n－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤ ＝n－1－2n－1 ≤－3＝. 15分 [方法指津] 解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題，要靈活的選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法及數(shù)學歸納法等；如果是解不等式問題，要

21、使用解不等式的各種解法，如列表法、因式分解法、穿根法等，總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了. [變式訓練4]　(2017·臺州市高三年級調(diào)考)已知數(shù)列{an}滿足：an＞0，an＋1＋＜2(n∈N*)． (1)求證：an＋2＜an＋1＜2(n∈N*)； (2)求證：an＞1(n∈N*)． [證明]　(1)由an＞0，an＋1＋＜2， 得an＋1＜2－＜2. 2分 因為2＞an＋2＋＞2(由題知an＋1≠an＋2)， 所以an＋2＜an＋1＜2. 4分 (2)法一：假設存在aN≤1(N≥1，N∈N*)， 由(1)可得當n＞N時，a

22、n≤aN＋1＜1. 6分 根據(jù)an＋1－1＜1－＝＜0，而an＜1， 所以＞＝1＋， 于是＞1＋， …… ＞1＋. 10分 累加可得＞n－1＋.(*) 由假設可得aN＋n－1＜0， 12分 而當n＞－＋1時，顯然有n－1＋＞0， 因此有＜n－1＋， 這顯然與(*)矛盾． 所以an＞1(n∈N*). 15分 法二：假設存在aN≤1(N≥1，N∈N*)， 由(1)可得當n＞N時，0＜an≤aN＋1＜1. 6分 根據(jù)an＋1－1＜1－＝＜0，而an＜1， 所以＜， 所以＞≥＞1. 于是1－an＞(1－an－1)， 1－an－1＞(1－an－2)， …… 1－aN＋2＞(1－aN＋1). 10分 累乘可得1－an＞(1－aN＋1)n－N－1，(*) 由(1)可得1－an＜1， 12分 而當n＞ ＋N＋1時， 則有(1－aN＋1)n－N－1＞1， 這顯然與(*)矛盾． 所以an＞1(n∈N*). 15分 11