（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第2講 命題及其關系學案

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1、 第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　命題的概念 　用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 考點2　四種命題及其關系 考點3　充分條件、必要條件與充要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且qp p是q的必要不充分條件 pq且q?p p是q的充要條件 p?q p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp [必會結論] 1.兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性． 2

2、．兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系． 3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則 (1)若A?B，則p是q的充分條件； (2)若A?B，則p是q的必要條件； (3)若A＝B，則p是q的充要條件； (4)若AB，則p是q的充分不必要條件； (5)若AB，則p是q的必要不充分條件； (6)若AB且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“x2＋2x－8<0”是命題．(　　) (2)四種形式的命題中，真命題的個數(shù)為0或2或4.(　　) (3)命題“三角形的內角和

3、是180°”的否命題是“三角形的內角和不是180°”．(　　) (4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(　　) (5)給定兩個命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[課本改編]“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　若(2x－1)x＝0，則x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，則一定能推出(2x－1)x＝0. 故“(2x－1)x＝0”是“x＝0

4、”的必要不充分條件． 3．[2018·安徽模擬]設p：11，則p是q成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　∵(1,2)(0，＋∞)，∴p是q的充分不必要條件． 4．原命題p：“設a，b，c∈R，若a>b，則ac2>bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　C 解析　當c＝0時，ac2＝bc2，所以原命題是錯誤的；由于原命題與逆否命題的真假一致，所以逆否命題也是錯誤的；逆命題為“設a，b，c∈R

5、，若ac2>bc2，則a>b”，它是真命題；由于否命題與逆命題的真假一致，所以逆命題與否命題都為真命題．綜上所述，真命題有2個． 5．“a<0，b<0”的一個必要條件為(　　) A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)－b>0 C.>1 D.<－1 答案　A 解析　若a<0，b<0，則一定有a＋b<0.故選A. 6．[2018·煙臺診斷]若條件p：|x|≤2，條件q：x≤a，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案　A 解析　p：|x|≤2等價于－2≤x≤2.因為p是q的充分不必要條件

6、，所以有[－2,2](－∞，a]，即a≥2. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　四種命題及其相互關系 例　1　[2018·唐山檢測]給出下列四個命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題； ③“若a>b，則a2>b2”的逆否命題； ④“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題； 其中真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 答案?、佗? 解析?、佟叭魓y＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；

7、③“若a2≤b2，則a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命題；④“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命題． 觸類旁通 四種命題真假判斷的方法 (1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關鍵； (2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假； (3)判斷一個命題為假命題可舉反例． 【變式訓練1】　[2017·鄭州模擬]給出以下四個命題： ①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；

8、②“全等三角形的面積相等”的否命題； ③“若q≤－1，則x2＋x＋q＝0有實根”的逆否命題； ④若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù)． 其中真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 答案?、佗? 解析?、倜}“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，顯然①為真命題；②不全等的三角形的面積也可能相等，故②為假命題；③原命題正確，所以它的逆否命題也正確，故③為真命題；④若ab是正整數(shù)，但a，b不一定都是正整數(shù)，例如a＝－1，b＝－3，故④為假命題． 考向　充分必要條件的判定 命題角度1　定義法判斷充分、必要條件 例　2　[2016·四

9、川高考]設p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若x>1且y>1，則有x＋y>2成立，所以p?q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要條件． 命題角度2　等價轉化法判斷充分、必要條件 例　3　給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　因為綈p是q的必要不充分條件，則

10、q?綈p但綈pq，其逆否命題為p?綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要條件． 觸類旁通 充分條件、必要條件的判定方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． (2)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷，適用于條件和結論帶有否定性詞語的命題． 考向　充分必要條件的應用 例　4　[2018·遼寧模擬]已知命題p：|x－4|≤6，命題q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解　p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m>0. ∵綈p是綈q的必要而不

11、充分條件，即p?q且qp. ∴[－2,10][1－m,1＋m]， 即解得m≥9， ∴實數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞)． 觸類旁通 根據(jù)充要條件求參數(shù)的取值范圍 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合的包含、相等關系，然后列出有關參數(shù)的不等式(組)求解；涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難時，可用等價轉化思想，將復雜、生疏的問題轉化為簡單、熟悉的問題來解決，如將綈p，綈q之間的關系轉化成p，q之間的關系來求解． 【變式訓練2】　已知條件p：x2＋2x－3>0；條件q：x>a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(

12、－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3] 答案　A 解析　由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1. 核心規(guī)律 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題． 滿分策略 1.當一個命題有大前提時，要寫出其他

13、三種命題，必須保留大前提，也就是大前提不動． 2.判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結構，可以先把命題改寫成“若p，則q”的形式． 3.判斷條件之間的關系，要注意條件之間的推出方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列1——充分必要條件的探求技巧 [2018·廣東六校聯(lián)考] “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是(　　) A．m> B．00 D．m>1 解題視點　有關探求充要條件的選擇題，破題關鍵是：首先，判斷是選項“推”題干，還是題干“推”選項；其次，利用以小推

14、大的技巧，即可得結論． 解析　不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是m>0. 答案　C 答題啟示　注意區(qū)分以下兩種不同的說法,(1)A是B的充分不必要條件，是指A?B但BA； (2)A的充分不必要條件是B，是指B?A但AB.,以上兩種說法在充要條件的推理判斷中經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆，在解題中一定要注意問題的設問方式，弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤判斷. 跟蹤訓練 　下面四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是(　　) A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1 C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3

15、 答案　A 解析　a>b＋1?a>b； 反之，例如a＝2，b＝1滿足a>b，但a＝b＋1，即a>b推不出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要的條件．故選A. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·江西模擬]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，則“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　當m＝2時，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，則m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故選B. 2．下列命題是真命題的為(　　) A．若

16、＝，則x＝y(tǒng) B．若x2＝1，則x＝1 C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若x0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　|x－2|<1?－10?x<－2或x>1.由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要條件． 4．下列結論錯

17、誤的是(　　) A．命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0” B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件 C．命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為真命題 D．命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0” 答案　C 解析　C項命題的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0”．若方程有實根，則Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0，所以不是真命題． 5．[2018·長春模擬]設a，b∈R，則“(a－b)a2<0”是“a

18、 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若“(a－b)a2<0”，則“a

19、是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　若p：－1<1，則pq；若q：<<0，則a0”是“x

20、x2<1”的一個充分條件的所有序號為________． 答案?、冖邰? 解析　由于x2<1即－1

21、與y都不是偶數(shù) D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) 答案　D 解析　“都是”的否定是“不都是”，選D項． 2．[2018·株洲模擬]設a，b∈R，那么“e>e”是“a>b>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　由e>e，得>1，解得a>b>0或ae”是“a>b>0”的必要不充分條件． 3．[2018·湖北模擬]設U為全集，A，B是集合，則“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件

22、 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　因為B??UC，所以B∩C＝?.又因為A?C，所以A∩B＝?. 反之，若A∩B＝?，則存在集合C使得A?C，B??UC. 4．[2017·天津大港模擬]已知集合A＝y(tǒng)＝x2－x＋1，x∈，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解　y＝x2－x＋1＝2＋， 因為x∈，所以≤y≤2， 所以A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，所以B＝{x|x≥1－m2}． 因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件，所以A?B， 所以1－m2≤，解得m≥或m≤－， 故實數(shù)m的取值范圍是∪. 5．[2018

23、·保定模擬]已知p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0. (1)若p是真命題，求對應x的取值范圍； (2)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍． 解　(1)因為x2≤5x－4， 所以x2－5x＋4≤0， 即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4， 即對應x的取值范圍為[1,4]． (2)設p對應的集合為A＝{x|1≤x≤4}． 由x2－(a＋2)x＋2a≤0， 得(x－2)(x－a)≤0. 當a＝2時，不等式的解為x＝2，對應的解集為B＝{2}； 當a>2時，不等式的解為2≤x≤a，對應的解集為B＝{x|2≤x≤a}； 當a<2時，不等式的解為a≤x≤2，對應的解集為B＝{x|a≤x≤2}． 若p是q的必要不充分條件，則BA， 當a＝2時，滿足條件； 當a>2時，因為A＝{x|1≤x≤4}， B＝{x|2≤x≤a}， 要使BA，則滿足2