（全國版）2019版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第6講 對數與對數函數學案

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1、 第6講　對數與對數函數 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　對數的定義 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數． 考點2　對數的運算法則 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 考點3　對數函數的圖象與性質 a>1 0

2、，＋∞)上是單調遞增的 在(0，＋∞)上是單調遞減的 函數值正負 當x＞1時，y＞0； 當0＜x＜1時，y＜0 當x＞1時，y＜0； 當0＜x＜1時，y＞0 考點4　反函數 指數函數y＝ax(a＞0且a≠1)與對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱． [必會結論] 1．對數的性質(a＞0且a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．換底公式及其推論 (1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即logab＝； (3)logambn＝

3、logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad. 3．對數函數的圖象與底數大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　) (3)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數．(　　) (4)函數y＝ln 與y＝

4、ln (1＋x)－ln (1－x)的定義域相同．(　　) (5)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,0)且過點(a,1)，，函數圖象只在第一、四象限．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．[2018·廣東深圳模擬]已知a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，則a，b，c的大小關系為(　　) A．c1，c＝log1.20.3<0， ∴c

5、lg 25＋lg 2－lg －log29×log32的值是________． 答案　－ 解析　原式＝lg 5＋lg 2＋－2＝1＋－2＝－. 4．[課本改編]已知a＝(a>0)，則loga＝________. 答案　3 解析　因為a＝(a>0)，所以a＝＝3，故loga＝log3＝3. 5．[2018·陜西模擬]已知4a＝2，lg x＝a，則x＝________. 答案　 解析　∵4a＝22a＝2，∴a＝.∵lg x＝，∴x＝. 6．[2015·天津高考]已知a>0，b>0，ab＝8，則當a的值為________時，log2a·log2(2b)取得最大值． 答案　4 解析

6、　由于a>0，b>0，ab＝8，所以a＝，所以log2a·log2(2b)＝log2·log2(2b)＝(3－log2b)·(1＋log2b)＝－(log2b)2＋2log2b＋3＝－(log2b－1)2＋4，當b＝2時，有最大值4，此時a＝4. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　對數的化簡與求值 例　1　(1)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值為________． 答案　3 解析　原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg2 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3. (2)已

7、知3a＝4b＝，則＋＝________. 答案　2 解析　因為3a＝4b＝，所以a＝log3， b＝log4，＝log3，＝log4， 所以＋＝log3＋log4＝log12＝2. (3)[2016·浙江高考]已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＝________，b＝________. 答案　4　2 解析　由于a>b>1，則logab∈(0,1)，因為logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.

8、 觸類旁通 對數運算的一般思路 (1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡； (2)將同底對數的和、差、倍合并； (3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用． 【變式訓練1】　(1)計算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06＝________. 答案　1 解析　原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1. (2)計算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝_______

9、_. 答案　 解析　原式＝·＝log32·log23＝. 考向　對數函數的圖象及應用 例　2　當02，解得a>， ∴

10、合法求解． 【變式訓練2】　當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范圍． 解　設f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的下方即可，如圖所示． 當0＜a＜1時，顯然不成立． 當a＞1時，如圖，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∵loga2≥1，∴1＜a≤2，即a的取值范圍為(1,2]． 考向　對數函

11、數的性質及其應用 命題角度1　比較對數值的大小 例3　[2017·天津高考]已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 答案　C 解析　∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， ∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)為偶函數． 又f(x)在R上遞增，當x>0時，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴

12、g(x)在[0，＋∞)上遞增． a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，由對數函數y＝log2x的性質，知3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，∴c>a>b.故選C. 命題角度2　解簡單的對數不等式 例4　[2018·西安模擬]已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在[0，＋∞)上為增函數，f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為________． 答案　∪(2，＋∞) 解析　∵f(x)是R上的偶函數， ∴它的圖象關于y軸對稱． ∵f(x)在[0，＋∞)上為增函數， ∴f(x)在(－∞，0]上為減函數， 由f＝0，得f＝0. ∴f(logx

13、)>0?logx<－或logx>?x>2或00，得x>3或x<1. 故函數定義域為(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令u＝x2－4x＋3，對稱軸為x＝2

14、， 則u在(－∞，1)上單調遞減，在(3，＋∞)上單調遞增． 又y＝logu在(0，＋∞)上單調遞減， 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，1)，單調遞減區(qū)間是(3，＋∞)． (2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上為增函數，應使g(x)在(－∞，2)上單調遞減，且恒大于0. 因為即a無解． 所以不存在實數a，使f(x)在(－∞，2)上為增函數． 觸類旁通 對數函數性質及應用中應注意的問題 (1)比較對數值大小時，若底數相同，構造相應的對數函數，利用單調性求解；若底數不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數再比較． (2)解簡單的對數不等式

15、時，先利用對數的運算性質化為同底數的對數值，再利用對數函數的單調性轉化為一般不等式求解． (3)利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的． 核心規(guī)律 1.指數式a b＝N與對數式logaN＝b的關系以及這兩種形式的互化是對數運算法則的關鍵． 2.多個對數函數圖象比較底數大小的問題，可通過圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定． 3.研究對數型函數的圖象時，一般從最基本的對數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到

16、． 4.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決． 滿分策略 1.在運算性質logaMn＝nlogaM中，要特別注意條件，當n∈N*，且n為偶數時，在無M＞0的條件下應為logaMn＝nloga|M|. 2.指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數，應從概念、圖象和性質三個方面理解它們之間的聯系與區(qū)別． 3.解決與對數函數有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值范圍. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新

17、交匯系列2——有關對數運算的創(chuàng)新應用問題 [2017·北京高考]根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是(　　) (參考數據：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 解題視點　首先要讀懂題意，搞清其本質就是利用對數來比較兩個數的大小，然后根據相關公式計算． 解析　由題意，lg＝lg＝lg 3361－lg 1080 ＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1

18、073＝73，lg 1093＝93， 故與最接近的是1093.故選D. 答案　D 答題啟示　在解決對數的化簡與求值問題時，要理解并靈活運用對數的定義、對數的運算性質、對數恒等式和對數的換底公式，同時還要注意化簡過程中的等價性和對數式與指數式的互化. 跟蹤訓練 里氏震級M的計算公式為M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的________倍． 答案　6　10000 解析　

19、根據題意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震級為6級．因為標準地震的振幅為0.001，設9級地震的最大振幅為A9，則lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5級地震的最大振幅A5＝102，所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍． 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·廣東湛江模擬]函數f(x)＝的定義域是(　　) A．(0，e) B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 答案　B 解析　要使函數f(x)＝有意義，則 解得0

20、．設a＝log2，b＝log，c＝0.3，則(　　) A．a1,00，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，則下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 答案　B 解析　由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，則5dc＝5a，∴dc＝a.故選B. 4．[2018·西安模擬]已知函數f(x)＝loga(2x＋b

21、－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是(　　) A.01.函數圖象與y軸的交點坐標為(0，logab)，由函數圖象可知－1

22、2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　D 解析　令u＝x2－2x－8，則關于u的函數y＝ln u在定義域(0，＋∞)上是一個單調遞增函數，故要求f(x)＝ln (x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間，只需使u(x)＝x2－2x－8>0且u(x)在該區(qū)間單調遞增．解x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)>0，得x<－2或x>4；u(x)＝x2－2x－8的圖象開口向上，對稱軸為x＝1，所以x>4時u(x)單調遞增，所以f(x)＝ln (x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間為(4，＋∞)．故選D. 7．[2018·安徽江淮聯考]已知a>0，b>0，且a≠1，則“l(fā)oga

23、b>0”是“(a－1)(b－1)>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　a>0，b>0且a≠1，若logab>0，則a>1，b>1或00；若(a－1)(b－1)>0，則或則a>1，b>1或00，∴“l(fā)ogab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要條件． 8．[2015·浙江高考]若a＝log43，則2a＋2－a＝________. 答案　 解析　原式＝2log43＋2－log43＝＋＝. 9．已知函數f(n)

24、＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)為整數的數k(k∈N*)叫做企盼數，則在區(qū)間[1,2017]內這樣的企盼數共有________個． 答案　9 解析　令g(k)＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)， ∵f(k)＝logk＋1(k＋2)＝，∴g(k)＝××…×＝＝log2(k＋2)．要使g(k)成為企盼數，則k＋2＝2n，n∈N*.∵k∈[1,2017]，∴(k＋2)∈[3,2019]，即2n∈[3,2019]．∵22＝4,210＝1024,211＝2048，∴可取n＝2,3，…，10.因此在區(qū)間[1,2017]內這樣的企盼數共有

25、9個． 10．已知函數f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數a的取值范圍為________． 答案　 解析　當a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數，由于f(x)>1恒成立，所以f(x)min＝loga(8－2a)>1,8－2a>a，即a<，故11恒成立，所以f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0，所以a>4，且a<4，故這樣的a不存在． 綜上可知，實數a的取值范圍是. [B級　知能提升]

26、 1．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　A 解析　令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數在(－∞，1]上遞減，則有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．故選A. 2．[2018·河北監(jiān)測]設a＝log32，b＝ln 2，c＝5，則(　　) A．a

27、32>log3＝，所以c0，故A＝＝7. 4．[2018·福建六校聯考]已知函數f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)． (1)求函數f(x)的定義域； (2)若函數f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值為－2，求實數a的值． 解　(1)依題意得解得－2

28、(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)＝loga[(x＋2)(4－x)]， 令t＝(x＋2)(4－x)，則可變形得t＝－(x－1)2＋9， ∵0≤x≤3，∴5≤t≤9， 若a>1，則loga5≤logat≤loga9， ∴f(x)min＝loga5＝－2，則a2＝<1(舍去)， 若00，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值． 解　由題意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2) ＝(logx＋3logax＋2) ＝2－. 當f(x)取最小值－時，logax＝－. 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是關于logax的二次函數， ∴函數f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得． 若2－＝1，則a＝2， 此時f(x)取得最小值時， x＝(2)＝?[2,8]，舍去． 若2－＝1，則a＝， 此時f(x)取得最小值時，x＝＝2∈[2,8]，符合題意，∴a＝. 13