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1、2022高考數學二輪復習 第一部分 保分專題二 數列 第2講 數列求和及綜合應用練習 理
一、選擇題
1．公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則S10等于( )
A．18 B．24
C．60 D．90
解析：設數列{an}的公差為d(d≠0)，由a＝a3a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，故2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋28d＝32，得2a1＋7d＝8，則d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋45d＝60.
答案：C
2．已知等差數列{an}的公差為d，關于x的不等式dx2＋2a
2、1x≥0的解集為[0,9]，則使數列{an}的前n項和Sn最大的正整數n的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵關于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集為[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx2＋2a1x＝0的兩個實數根，且d<0，∴－＝9，a1＝－.∴an＝a1＋(n－1)d＝d，可得a5＝－d>0，a6＝d<0.∴使數列{an}的前n項和Sn最大的正整數n的值是5.
答案：B
3．數列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，則＋＋…＋的值為( )
A. B.
C. D.
解析：由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1
3、－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，
所以＝＝2，
故＋＋…＋
＝2
＝2＝.
答案：A
4．設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn.若首項a1＝，公差d＝1，則滿足Sk2＝(Sk)2的正整數k的值為( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：法一：由題意知，
Sk2＝＝＝，
Sk＝＝＝，
因為Sk2＝(Sk)2，
所以＝，得k＝4.
法二：不妨設Sn＝An2＋Bn，則Sk2＝A(k2)2＋Bk2，Sk＝Ak2＋Bk，由Sk2＝(Sk)2得k2(Ak2＋B)＝k2(Ak＋B)2，考慮到k為正整數，從而Ak2＋B＝A2k2＋2ABk＋B2，
4、即(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)＝0，又A＝＝，B＝a1－＝1，所以k2－k＝0，又k≠0，從而k＝4.
答案：D
5．已知數列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝( )
A．2 B．4
C．5 D.
解析：因為＝＝＝22，所以令n＝3，得＝22＝4，故選B.
答案：B
6．若數列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1＜0的k值為( )
A．22 B．21
C．24 D．23
解析：因為3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數列{an}是首項為15，公差為－的等差數列，所以an＝15－·(n－1)
5、＝－n＋，令an＝－n＋>0，得n<23.5，所以使ak·ak＋1<0的k值為23.
答案：D
7．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則其前6項之和為( )
A．16 B．20
C．33 D．120
解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6項和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故選C.
答案：C
8．數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
解析：因為an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn
6、－1(n≥2)，
兩式相減得，an＋1－an＝3an，
即＝4(n≥2)，
所以數列a2，a3，a4，…構成以a2＝3S1＝3a1＝3為首項，公比為4的等比數列，所以a6＝a2·44＝3×44.
答案：A
9．已知函數f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)，則a1＋a2＋…＋a100＝( )
A．0 B．100
C．5 050 D．10 200
解析：a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002
＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)
＝3＋7＋…＋199＝＝5 050.
答案：C
10．已知數列{
7、an}的首項a1＝1，且an－an＋1＝anan＋1(n∈N＋)，則a2 015＝( )
A. B.
C．－ D.
解析：∵an－an＋1＝anan＋1，∴－＝1，
又∵a1＝1，∴＝1，∴數列是以首項為1，公差為1的等差數列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴＝2 015，
∴a2 015＝.故選D.
答案：D
11．已知數列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S60＝( )
A．－30 B．－60
C．90 D．120
解析：由題意可得，當n＝4k－3(k∈N*)時，an＝a4k－3＝1；當n＝4k－
8、2(k∈N*)時，an＝a4k－2＝6－8k；當n＝4k－1(k∈N*)時，an＝a4k－1＝1；當n＝4k(k∈N*)時，an＝a4k＝8k.
∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.
答案：D
12．已知Sn是非零數列{an}的前n項的和，且Sn＝2an－1，則S2 017等于( )
A．1－22 016 B．22 017－1
C．22 016－1 D．1－22 017
解析：∵Sn＝2an－1，∴S1＝1，且Sn＝2(Sn－Sn－1)－1，即Sn＝2Sn－1＋1，得Sn＋1＝2(Sn－1＋1)，由此可得數列{Sn＋1}是首項為2，公
9、比為2的等比數列，得Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1，∴S2 017＝22 017－1，故選B.
答案：B
二、填空題
13．若數列{an}滿足＝，且a1＝3，則an＝________.
解析：由＝，得－＝2，
∴數列是首項為，公差為2的等差數列．
∴＝＋(n－1)×2＝2n－，
∴an＝.
答案：
14．已知正項數列{an}滿足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，則數列{an}的前n項和為________．
解析：∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，∴{an}是首項為2，公比為3的等比數列，
10、∴Sn＝＝3n－1.
答案：3n－1
15．在數列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數)，則稱{an}為“等差比數列”，下列是對“等差比數列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數列一定是“等差比數列”；
③等比數列一定是“等差比數列”；
④“等差比數列”中可以有無數項為0.
其中所有正確判斷的序號是__________．
解析：由等差比數列的定義可知，k不為0，所以①正確，當等差數列的公差為0，即等差數列為常數列時，等差數列不是等差比數列，所以②錯誤；當{an}是等比數列，且公比q＝1時，{an}不是等差比數列，所以③錯誤；數列0,1,0,1，…是等差比數列，該數列中有無數多
11、個0，所以④正確．
答案：①④
B組 大題規(guī)范練
1．已知數列{an}滿足an≠0，a1＝1，n(an＋1－2an)＝2an.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列的前n項和Sn.
解析：(1)因為n(an＋1－2an)＝2an，故an＋1＝an，得＝2·；
設bn＝，所以bn＋1＝2bn，∵an≠0，∴bn≠0，∴＝2.又因為b1＝＝1，
所以數列{bn}是以1為首項，公比為2的等比數列，故bn＝1·2n－1＝2n－1＝，
故an＝n·2n－1.
(2)由(1)可知，＋3n－5＝2n－1＋3n－5，
故Sn＝(20＋3×1－5)＋(21＋3×2－5)＋…＋(2
12、n－1＋3×n－5)
＝(20＋21＋…＋2n－1)＋3(1＋2＋…＋n)－5n
＝2n＋－1.
2．等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}是等比數列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)令cn＝設數列{cn}的前n項和Tn，求T2n.
解析：(1)設數列{an}的公差為d，數列{bn}的公比為q，
由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
得解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，
則n為奇數，cn＝＝－，n為
13、偶數，cn＝2n－1.
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋
＝＋(4n－1)．
3．設數列{an}滿足a1＝2，a2＋a5＝14，且對任意n∈N*，函數f(x)＝an＋1x2－(an＋2＋an)x滿足f′(1)＝0.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，記數列{bn}的前n項和為Sn，求證Sn<.
解析：(1)函數f(x)＝an＋1x2－(an＋2＋an)x的導數為f′(x)＝2an＋1x－(an＋2＋an)，
由f′(1)＝0，可得2an＋1＝an＋2＋an，
由等差數列的性質可
14、得數列{an}為等差數列，設公差為d，則a1＝2，a2＋a5＝2a1＋5d＝14，
解得d＝2，
即有an＝a1＋2(n－1)＝2n.
(2)bn＝＝
＝，
則Sn＝＝<，則Sn<.
4．若數列{an}滿足＋＋…＋＝－.
(1)求通項公式an.
(2)求數列{an}的前n項和．
解析：(1)因為＋＋…＋＝－，
所以當n≥2時，＋＋…＋＝－，
兩式相減得：＝－＝，
所以an＝(2n－1)·n(n≥2)，
又因為＝－＝－不滿足上式，所以an＝
(2)當n≥2時，Sn＝－＋3×2＋5×3＋7×4＋…＋(2n－1)×n，Sn＝－＋3×3＋5×4＋…＋(2n－3)×n＋(2n－1)×n＋1，
兩式相減得Sn＝－＋＋2－(2n－1)·n＋1
＝＋2·－(2n－1)·n＋1＝＋－10·n＋1－(2n－1)·n＋1＝－(2n＋9)·n＋1，所以Sn＝－(10n＋45)·n＋1(n≥2)．
當n＝1時也符合上式，所以Sn＝－(10n＋45)·n＋1.
2022高考數學二輪復習 第一部分 保分專題二 數列 第2講 數列求和及綜合應用練習 理
