(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2講 不等式的證明學(xué)案

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1、 第2講 不等式的證明 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 比較法 比較法是證明不等式最基本的方法,可分為作差比較法和作商比較法兩種. 考點(diǎn)2 綜合法 一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫由因?qū)Чǎ? 考點(diǎn)3 分析法 證明命題時(shí),從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法. 考點(diǎn)4 反證法 證明命題

2、時(shí)先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而得出原命題成立,我們把這種證明方法稱(chēng)為反證法. 考點(diǎn)5 放縮法 證明不等式時(shí),通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱(chēng)為放縮法. 考點(diǎn)6 柯西不等式 1.二維形式的柯西不等式 定理1 若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立. 2.柯西不等式的向量形式 定理2 設(shè)α,β是兩個(gè)向量

3、,則|α·β|≤|α|·|β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號(hào)成立. [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí),假設(shè)為“a,b,c全不為0”.(  ) (2)若>1,則x+2y>x-y.(  ) (3)|a+b|+|a-b|≥|2a|.(  ) (4)若實(shí)數(shù)x、y適合不等式xy>1,x+y>-2,則x>0,y>0.(  ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.[2018·溫州模擬]若a,b,c∈R,a>b,則下列不等式成立的是(  ) A.< B.a(chǎn)2>b2

4、 C.> D.a(chǎn)|c|>b|c| 答案 C 解析 應(yīng)用排除法.取a=1,b=-1,排除A;取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.顯然>0,對(duì)不等式a>b 的兩邊同時(shí)乘以,立得>成立.故選C. 3.[課本改編]不等式:①x2+3>3x;②a2+b2≥2(a-b-1);③+≥2,其中恒成立的是(  ) A.①③ B.②③ C.①②③ D.①② 答案 D 解析 由①得x2+3-3x=2+>0,所以x2+3>3x;對(duì)于②,因?yàn)閍2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以不等式成立;對(duì)于③,因?yàn)楫?dāng)ab<0時(shí),+-2=<0,即+<2.故選D. 4.[2

5、018·南通模擬]若|a-c|<|b|,則下列不等式中正確的是(  ) A.a(chǎn)c-b C.|a|>|b|-|c| D.|a|<|b|+|c| 答案 D 解析 |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故選D. 5.已知a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,則++的最小值為_(kāi)_______. 答案 9 解析 解法一:把a(bǔ)+b+c=1代入++,得 ++ =3+++ ≥3+2+2+2=9, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),等號(hào)成立. 解法二:由柯西不等式得: (a+b+c)≥2, 即++≥9. 6.[2017·全國(guó)卷Ⅱ]已知a>0,

6、b>0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 證明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) ≤2+(a+b)=2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 板塊二 典例探究·考向突破 考向 比較法證明不等式 例 1 [2016·全國(guó)卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|

7、<|1+ab|. 解 (1)f(x)= 當(dāng)x≤-時(shí),由f(x)<2,得-2x<2, 解得x>-1,即-1

8、或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式,也可變形為幾個(gè)因式的積的形式,以判斷其正負(fù).常用的變形技巧有因式分解、配方、拆項(xiàng)、拼項(xiàng)等方法. 【變式訓(xùn)練1】 [2018·福建模擬]已知函數(shù)f(x)=|x+1|. (1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M; (2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b). 解 (1)當(dāng)x≤-1時(shí),原不等式可化為-x-1<-2x-2,解得x<-1; 當(dāng)-11, 綜上,M={x|x<-1或x>1}. (2)

9、證明:證法一:因?yàn)閒(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)|≥|ab+b|-|1-b|=|b||a+1|-|1-b|. 因?yàn)閍,b∈M,所以|b|>1,|a+1|>0, 所以f(ab)>|a+1|-|1-b|, 即f(ab)>f(a)-f(-b). 證法二:因?yàn)閒(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1| ≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以要證f(ab)>f(a)-f(-b), 只需證|ab+1|>|a+b|,即證|ab+1|2>|a+b|2, 即證a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2, 即證a2b2-a2-b2+1>0,即證(a2-1)(b2-

10、1)>0. 因?yàn)閍,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立. 考向 用綜合法與分析法證明不等式 例 2 (1)[2018·浙江金華模擬]已知x,y∈R. ①若x,y滿足|x-3y|<,|x+2y|<,求證:|x|<; ②求證:x4+16y4≥2x3y+8xy3. 證明?、倮媒^對(duì)值不等式的性質(zhì)得: |x|=[|2(x-3y)+3(x+2y)|]≤[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<=. ②因?yàn)閤4+16y4-(2x3y+8xy3) =x4-2x3y+16y4-8xy3 =x3(x-2y)+8y3(2y-x) =(x-

11、2y)(x3-8y3) =(x-2y)(x-2y)(x2+2xy+4y2) =(x-2y)2[(x+y)2+3y2]≥0, ∴x4+16y4≥2x3y+8xy3. (2)[2018·徐州模擬]已知a,b∈R,a>b>e(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求證:ba>ab.(提示:可考慮用分析法找思路) 證明 ∵ba>0,ab>0, ∴要證ba>ab 只要證aln b>bln a 只要證>.(∵a>b>e) 取函數(shù)f(x)=,∵f′(x)= 令f′(x)=0,x=e ∴當(dāng)x>e時(shí),f′(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減. ∴當(dāng)a>b>e時(shí),有f(b)>f(a),

12、 即>,得證. 觸類(lèi)旁通 綜合法與分析法的邏輯關(guān)系 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?,分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程,表述簡(jiǎn)單、條理清楚,所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí),往往用分析法找思路,用綜合法寫(xiě)步驟,由此可見(jiàn),分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,互為前提. 【變式訓(xùn)練2】 (1)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: ①ab+bc+ca≤; ②++≥1. 證明?、儆蒩2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2a

13、b+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤. ②證法一:因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c. 所以++≥1. 證法二:由柯西不等式得: (a+b+c)≥(c+a+b)2, ∵a+b+c=1, ∴++≥1. (2)[2015·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: ①若ab>cd,則+>+; ②+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 證明?、僖?yàn)?+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd, 得(+)2

14、>(+)2.所以+>+. ②(ⅰ)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd. 由①得+>+. (ⅱ)若+>+,則(+)2>(+)2, 即a+b+2>c+d+2. 因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|. 綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 考向 反證法證明不等式 例 3 [2015·湖南高考]設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2

15、)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 證明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0,得0

16、:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于. 證明 假設(shè)三式同時(shí)大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>. 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>(*) 又(1-a)a≤2=, 同理(1-b)b≤,(1-c)c≤. 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤, 與*式矛盾,即假設(shè)不成立,故結(jié)論正確. 考向 柯西不等式的應(yīng)用 例 4 柯西不等式是大數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的,柯西不等式是指:對(duì)任意實(shí)數(shù)ai,bi(i=1,2,…,n),有(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a+a+…+a)(b+b+…+b),當(dāng)且

17、僅當(dāng)ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立. (1)證明:當(dāng)n=2時(shí)的柯西不等式; (2)設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,求的最小值. 解 (1)證明:當(dāng)n=2時(shí),柯西不等式的二維形式為:(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2,(a+a)(b+b)-(a1b1+a2b2)2=ab+ab-2a1a2b1b2=(a1b2-a2b1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a1b2=a2b1時(shí)取得等號(hào). (2)由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,所以5(m2+n2)≥52即m2+n2≥5,所以的最小值為. 觸類(lèi)旁通 利用柯西不等式解題時(shí),要注意配

18、湊成相應(yīng)的形式,既可從左向右用,也可從右向左用. 【變式訓(xùn)練4】 [2018·皇姑區(qū)校級(jí)期末]設(shè)xy>0,則的最小值為(  ) A.-9 B.9 C.10 D.0 答案 B 解析 ≥2=9.當(dāng)且僅當(dāng)xy=即xy=時(shí)取等號(hào).故選B. 核心規(guī)律 1.證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法和反證法仍是證明不等式的基本方法.要依據(jù)題設(shè)、題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系,選擇恰當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維方法,并掌握相應(yīng)的步驟,技巧和語(yǔ)言特點(diǎn). 2.綜合法往往是分析法的相反過(guò)程,其表述簡(jiǎn)單、條理清楚.當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí),通常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用,以分析法尋找

19、證明的思路,而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程. 3.不等式證明中的裂項(xiàng)形式: (1)=-,=. (2)<=. (3)-=<<=-. (4)=. 滿分策略 1.作差比較法適用的主要題型是多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要題型是高次冪乘積結(jié)構(gòu). 2.如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯,可考慮用分析法;如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題,則考慮用反證法. 3.高考命題專(zhuān)家說(shuō):“放縮是一種能力.”如何把握放縮的“度”,使得放縮“恰到好處”,這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在! 板塊三 模擬演練·提能增分 [A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.

20、已知a,b,c,d均為正數(shù),S=+++,則一定有(  ) A.0+++=1, S<+++=2, ∴11,>1,>1, ∴··>1與··=1矛盾, ∴至少有一個(gè)不大于1. 3.設(shè)x>0,y>0,M=,N=+,

21、則M、N的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 答案 M+= =M. 4.已知a,b∈R,a2+b2=4,則3a+2b的取值范圍是________. 答案 [-2,2] 解析 根據(jù)柯西不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)·(c2+d2),可得(3a+2b)2≤(a2+b2)·(32+22) ∴-2≤3a+2b≤2. 3a+2b∈[-2,2]. [B級(jí) 能力達(dá)標(biāo)] 5.求證:+++…+<(n∈N*). 證明 ∵= ∴左邊==<. 6.[2018·瀘州模擬]設(shè)函數(shù)f(x)=+|x+a|(a>0). (1)證明:f(x)≥4; (2)若f(2)<5,求

22、a的取值范圍. 解 (1)證明:+|x+a|≥=a+≥4;當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào). (2)f(2)=+|a+2|. ①當(dāng)a=2時(shí),+|2+a|<5顯然滿足; ②當(dāng) 02時(shí),不等式變成a2-a-4<0,∴0)的解集為[-2,2],求實(shí)數(shù)m的值; (2)對(duì)任意x∈R,y>0,求證:f(x)≤2y++|2x+3|. 解 (1)

23、不等式f≤2m+1?|2x|≤2m+1(m>0), ∴-m-≤x≤m+, 由解集為[-2,2],可得m+=2,解得m=. (2)證明:原不等式即為|2x-1|-|2x+3|≤2y+. 令g(x)=|2x-1|-|2x+3|≤|(2x-1)-(2x+3)|=4, 當(dāng)2x+3≤0,即x≤-時(shí),g(x)取得最大值4, 又2y+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)2y=,即y=1時(shí),取得最小值4. 則|2x-1|-|2x+3|≤2y+. 故原不等式成立. 8.[2018·黃山期末](1)已知a,b∈(0,+∞),求證:x,y∈R,有+≥; (2)若0

24、b,(2-b)c,(2-c)a不能同時(shí)大于1. 證明 (1)證法一:(a+b)=x2+++y2≥x2+2xy+y2=(x+y)2, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即|bx|=|ay|時(shí)取等號(hào), 由于a,b∈(0,+∞),所以有+≥. 證法二:由柯西不等式得 (a+b)≥2, 即(a+b)≥(x+y)2, +≥. (2)假設(shè)結(jié)論不成立,即(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a同時(shí)大于1. ?(2-a)b·(2-b)c·(2-c)a>1, 而(2-a)b·(2-b)c· (2-c)a=(2-a)a·(2-b)b·(2-c)c≤222=1, 這與(2-a)b·(2-b)c·(2-c)a>1矛盾

25、. 所以假設(shè)錯(cuò)誤,即(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同時(shí)大于1. 9.[2018·天津期末]已知x>y>0,m>0. (1)試比較與的大??; (2)用分析法證明:(2-)≤1. 解 (1)因?yàn)椋剑瑇>y>0,m>0. 所以m(y-x)<0,x(x+m)>0, 所以<0,即-<0, 所以<. (2)證明:(用分析法證明)要證(2-)≤1, 只需證2-()2≤1, 只需證()2-2+1≥0, 即證(-1)2≥0, 因?yàn)閤,y>0,且(-1)2≥0成立, 所以(2-)≤1. 10.[2018·江陰市期末]已知實(shí)數(shù)a>0,b>0. (1)若a+b>2,求證:,中至少有一個(gè)小于2; (2)若a-b=2,求證:a3+b>8. 證明 (1)假設(shè),都不小于2,則≥2,≥2,因?yàn)閍>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b), 即2≥a+b,這與已知a+b>2相矛盾,故假設(shè)不成立. 綜上,,中至少有一個(gè)小于2. (2)∵a-b=2,∴b=a-2, ∵b>0,∴a>2, ∴a3+b-8=a3-8+a-2=(a-2)(a2+2a+5), ∴(a-2)[(a+1)2+4]>0, ∴a3+b>8. 12

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