2022高考數學二輪復習 基礎回扣（五）立體幾何學案 理

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1、2022高考數學二輪復習 基礎回扣（五）立體幾何學案 理 1．空間幾何體的三視圖 在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主． [對點專練1]　若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(　　) [答案]　A 2．斜二測畫法 在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．” [對點專練2]　如圖所示的等腰直角三角形表示一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個平面圖形的面

2、積是________． [答案]　2 3．計算空間幾何體的表面積和體積 (1)分析清楚空間幾何體的結構，搞清楚該幾何體的各個部分的構成特點； (2)進行合理的轉化和一些必要的等積變換． [對點專練3]　如圖所示，一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(左)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為(　　) A．4π　　　　B．3π　　　　C．2π　　　　D.π [答案]　D 4．與球有關的切接問題 長方體外接球半徑為R時有(2R)2＝a2＋b2＋c2；棱長為a的正四面體內切球半徑r＝a，外接球半徑R＝a. [對點專練4]　已知正三棱錐P－

3、ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________． [答案]　 5．空間直線、平面的位置關系 不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α的限制條件． [對點專練5]　已知b，c是平面α內的兩條直線，則“直線a⊥α”是“直線a⊥b，直線a⊥c”的________條件． [答案]　充分不必要 6．用向量求空間中角的公式 (1)直線l1，l2夾角θ有cosθ＝|cosl

4、1，l2|； (2)直線l與平面α的夾角θ有： sinθ＝|cosl，n|(其中n是平面α的法向量)； (3)平面α，β夾角θ有cosθ＝|cosn1，n2|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ.(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量) [對點專練6]　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于________． [答案]　 7．用空間向量求A到平面α的距離公式 d＝. [對點專練7]　正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為______

5、__． [答案]　 [易錯盤點] 易錯點1　三視圖認識不清致誤 【例1】　已知某個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是________． [錯解]　 [錯因分析]　沒有理解幾何體的三視圖的意義，不能正確從三視圖還原成幾何體，不清楚幾何體中的幾何關系． [正解]　如圖所示，作幾何體S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，作SE⊥CD于點E，得SE⊥平面ABCD且SE＝20. ∴VS－ABCD＝S正方形ABCD·SE＝； ∴這個幾何體的體積是. 在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據三視圖的規(guī)則，空間

6、幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結合側(左)視圖進行綜合考慮． [對點專練1]　 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　) A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D. (2)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長棱長的值為________． [解析]　(1)由三視圖知該幾何體是直三棱柱截去一個三棱錐所剩的幾何體，底面是直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，∴所求體積V＝V柱－V錐＝×2－××2＝，故選A. (2)依題意，幾何體是如圖所示的三棱錐A－BCD，

7、其中∠CBD＝120°，BD＝2，點C到直線BD的距離為，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，該幾何體最長棱長的值為2. [答案]　(1)A　(2)2 易錯點2　線面關系定理條件使用不當致誤 【例2】　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C. [錯解]　證明：(1)連接BD1，∵E、F分別為DD1、DB的中點， ∴EF∥D1B，∴EF∥平面ABC1D1. (2)∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1. ∴EF⊥AC.同理EF⊥AB1. ∴

8、EF⊥平面AB1C. ∴EF⊥B1C. [錯因分析]　推理論證不嚴謹，思路不清晰． [正解]　證明：(1)連接BD1，如圖所示， 在△DD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點，則EF∥D1B. ∵D1B?平面ABC1D1，EF?平面ABC1D1， ∴EF∥平面ABC1D1. (2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵AB⊥面BCC1B1，∴B1C⊥AB. 又∵B1C⊥BC1，AB，BC1?平面ABC1D1，AB∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面ABC1D1， ∵BD1?平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1. ∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C. 證明空間線面位置

9、關系的基本思想是轉化與化歸，根據線面平行、垂直關系的判定和性質，進行相互之間的轉化．解這類問題時要注意推理嚴謹，使用定理時找足條件，書寫規(guī)范等． [對點專練2]　 (1)下列命題中錯誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β D．如果平面α⊥平面β，α∩β＝l，過α內任意一點作l的垂線m，則m⊥β (2)已知三條不同直線m，n，l與三個不同平面α，β，γ，有下列命題： ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若α

10、∥β，l?α，則l∥β； ③α⊥γ，β⊥γ，則α∥β； ④若m，n為異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β. 其中正確命題的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ，A正確；如果平面α⊥平面β，那么平面α內平行于交線的直線平行平面β，B正確；如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β，C正確；若此點在直線l上，則不能推出m⊥β，D錯誤，故選D. (2)因為平行于同一平面的兩條直線除了平行，還可能相交或成異面直線，所以命題①錯誤；由直線與平面平行的定義知命題②正確

11、；由于垂直于同一個平面的兩個平面可能平行還可能相交，因此命題③錯誤；過兩條異面直線分別作平面互相平行，這兩個平面是唯一存在的，因此命題④正確．故選C. [答案]　(1)D　(2)C 易錯點3　空間角的范圍不清致誤 【例3】　如圖所示，四棱錐P－ABCD中， 底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點． (1)求異面直線PA與DE所成的角的余弦值； (2)AP與平面ABCD所成角的正弦值． [錯解]　如圖所示，取DC的中點O，連接PO， ∵△PDC為正三角形， ∴PO⊥DC. 又∵平面PDC⊥平面ABCD，

12、 ∴PO⊥平面ABCD. 建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz， 則P，A，B， C，D. (1)E為PC的中點，∴E. ∴＝，＝. ∴·＝a×＋a× ＝－a2，||＝a，||＝a. cos，＝＝＝－. ∴異面直線PA與DE所成的角的余弦值為－. (2)平面ABCD的法向量n＝， ∴cos，n＝＝＝－. ∴AP與平面ABCD所成角的正弦值為－. [錯因分析]　本題失分的根本原因是概念不清，混淆了空間角與向量所成角的概念． [正解]　(1)在求出cos，＝－后， ∵異面直線PA、DE所成角是銳角或直角， ∴異面直線PA、DE所成角的余弦值是. (2

13、)cos，n＝－， ∴直線AP與平面ABCD所成角的正弦值為. (1)異面直線PA與DE所成的角為銳角或直角，余弦值一定非負．(2)直線AP與平面ABCD所成的角不是與平面ABCD的法向量所成的角． [對點專練3]　如圖，已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AB⊥AC，AB＝AC＝PA＝2，E是BC的中點． (1)求異面直線AE與PC所成的角； (2)求二面角D－PC－A的平面角的余弦值． [解]　(1)如圖所示，以A點為原點建立空間直角坐標系A－xyz，則B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)． 故E(1,1

14、,0)，＝(1,1,0)，＝(0,2，－2)， cos，＝＝，即，＝60°， 故異面直線AE與PC所成的角為60°. (2)在四邊形ABCD中，∵AB＝AC＝2，AB⊥AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°， 又AD⊥CD，∴AD＝CD＝， ∴D(－1,1,0)，又C(0,2,0)， ∴＝(－1，－1,0)，＝(0,2，－2)． 設n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，則⊥n，⊥n，即·n＝0，·n＝0， ∴，令x＝－1得，y＝1，z＝1， 即n＝(－1,1,1)，|n|＝， 又AB⊥平面PAC，∴＝(2,0,0)是平面PAC的一個法向量， ∴cos，n＝＝－， 即二面角D－PC－A的平面角的余弦值為.