2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 數(shù)學建模與數(shù)學探究(自主閱讀) 第1節(jié) 數(shù)學建模與數(shù)學探究講義 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 數(shù)學建模與數(shù)學探究(自主閱讀) 第1節(jié) 數(shù)學建模與數(shù)學探究講義 理（含解析）新人教A版 【內(nèi)容要求】 數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學建模活動是基于數(shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容. 【基本過程】 數(shù)學建模活動的基本過程如下： 數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過

2、程.具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論.數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容. 【過程解讀】 掌握建模基本過程，會對實際問題進行問題分析，善于合理假設. ·問題分析也常稱為模型準備或問題重述.由于數(shù)學模型是建立數(shù)學與實際現(xiàn)象之間的橋梁，因此，首要的工作是要設法用數(shù)學的語言表述實際現(xiàn)象.所謂問題重述是指把實際現(xiàn)象盡量地使用貼近數(shù)學的語言進行重新描述.為此，要充分了解問題的實際背景，明確建模的目的，盡可能弄清對象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù).要善

3、于捕捉對象特征中隱含的數(shù)學因素，并將其一一列出.至此，我們便有了一個很好的開端，而有了這個良好的開端，不僅可以決定建模方向，初步確定用哪一類模型，而且對下面的各個步驟都將產(chǎn)生影響. ·模型假設(即合理假設)是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟.根據(jù)對象的特征和建模目的，在問題分析基礎上對問題進行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言作出假設，這是建模至關重要的一步.這是因為，一個實際問題往往是復雜多變的，如不經(jīng)過合理的簡化假設，將很難于轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個復雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗.當然，假設作得不合理或過分簡單也同樣會因為與實際相去甚遠而使建模歸于失敗.

4、一般地，作出假設時要充分利用與問題相關的有關學科知識，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素. 【實際意義】 數(shù)學建模的實際意義 1.在一般工程技術領域，數(shù)學建模仍然大有用武之地. 在以聲、光、熱、力、電這些物理學科為基礎的諸如機械、電機、土木、水利等工程技術領域中，數(shù)學建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術、新工藝的不斷涌現(xiàn)，提出了許多需要用數(shù)學方法解決的新問題；高速、大型計算機的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學模型也無法求解的課題(如大型水壩的應力計算，中長期天氣預報等)迎刃而解；建立在數(shù)學模型和計算機模擬基礎上的CA

5、D技術，以其快速、經(jīng)濟、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設計中的現(xiàn)場實驗、物理模擬等手段. 2.在高新技術領域，數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具. 無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術本身，還是將高新技術用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計算機技術支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段.數(shù)學建模、數(shù)值計算和計算機圖形等相結(jié)合形成的計算機軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術領域起著核心作用，被認為是高新技術的特征之一. 3.數(shù)學迅速進入一些新領域，為數(shù)學建模開拓了許多新的處女地. 隨著數(shù)學向諸如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領域的滲透，一些交叉學科如計量經(jīng)濟學、人口控

6、制論、數(shù)學生態(tài)學、數(shù)學地質(zhì)學等應運而生.在這些領域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當大，為數(shù)學建模提供了廣闊的新天地.馬克思說過，一門科學只有成功運用數(shù)學時，才算達到了完善的地步.展望21世紀，數(shù)學必將大踏步地進入所有學科，數(shù)學建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期. 【課題研究】 課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié).學生需要撰寫開題報告，教師要組織開展開題交流活動，開題報告應包括選題意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結(jié)果等.做題是解決問題的過程，包括描述問題、數(shù)學表達、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等.結(jié)果包括撰寫研究報告和報告研究結(jié)果，開展結(jié)題答辯

7、.根據(jù)選題的內(nèi)容，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作的實物、研究報告或小論文等多種形式. 【課題引例】 測量學校內(nèi)、外建筑物的高度 [目的]　運用所學知識解決實際測量高度的問題，體驗數(shù)學建?；顒拥耐暾^程.組織學生通過分組、合作等形式，完成選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié). [情境]　給出下面的測量任務； (1)測量本校的一座教學樓的高度； (2)測量本校的旗桿的高度； (3)測量學校院墻外的一座不可及，但在學校操場上可以看到見的物體的高度. 可以每2～3個學生組成一個測量小組，以小組為單位完成；各人填寫測量課題報告表，一周后上交. 測量課題報告表 項目名稱：__

8、____________　完成時間：______________ 1.成員與分工 姓名 分工 2.測量對象 例如，某小組選擇的測量對象是：旗桿、教學樓、校外的××大廈. 3.測量方法(請說明測量的原理、測量工具、創(chuàng)新點等) 4.測量數(shù)據(jù)、計算過程和結(jié)果(可以另外附圖或附頁) 5.研究結(jié)果(包括誤差分析) 6.簡述工作感受 [要求]　(1)成立項目小組，確定工作目標，準備測量工具. (2)小組成員查閱有關資料，進行討論交流，尋求測量效率高的方法，設計測量方案(最好設計兩套測量方案). (3)分工合作，明確

9、責任.例如，測量、記錄數(shù)據(jù)、計算求解、撰寫報告的分工等. (4)撰寫報告，討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現(xiàn)獲得的成果. 根據(jù)上述要求，每個小組要完成以下工作. (1)選題 本案例活動的選題步驟略去. (2)開題 可以在課堂上組織開題交流，讓每一個項目小組陳述初步測量方案，教師和其他同學可以提出質(zhì)疑.在討論的基礎上，項目小組最終形成各自的測量方案. (3)做題 依據(jù)小組的測量方案實施測量.盡量安排各個小組在同一時間進行測量，這樣有利于教師的現(xiàn)場觀察和管理.要有分工、合作、責任落實到個人. (4)結(jié)題 在每一位學生都完成“測量報告”后，安排一次交流講評活動.遴選的交

10、流報告最好有鮮明的特點，如測量結(jié)果準確，過程完整清晰，方法有創(chuàng)意，誤差處理得當，報告書寫規(guī)范等；或者測量的結(jié)果出現(xiàn)明顯誤差，使用的方法不當. [分析]　測量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學應用問題，這樣的問題有助于培養(yǎng)學生分析解決問題、動手實踐、誤差分析等方面的能力.測量模型可以用平面幾何的方法，例如，比例線段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考慮自由落體的時間；等等. [拓展]　歡迎提出新的問題，積累數(shù)學建模資源.例如： 1.本市的電視塔的高度是多少米？ 2.一座高度為H m的電視塔，信號傳播半徑是多少？信號覆蓋面積有多大？ 3.找一張本市的地圖，看一看本市的地域面積有多

11、少平方千米？電視塔的位置在地圖上的什么地方？按照計算得到的數(shù)據(jù)，這座電視塔發(fā)出的電視信號是否能覆蓋本市？ 4.本市(外地)到省會的距離有多少千米？要用一座電視塔把信號從省會直接發(fā)送到本市，這座電視臺的高度至少要多少米？ 5.如果采用多個中繼站的方式，用100 m高的塔接力傳輸電視信號，從省會到本地至少要建多少座100 m高的中繼傳送塔？ 6.考慮地球大氣層和電離層對電磁波的反射作用，重新考慮問題2，4，5. 7.如果一座電視塔(例如300 m高)不能覆蓋本市，請設計一個多塔覆蓋方案. 8.至少發(fā)射幾顆地球定點的通訊衛(wèi)星，可以使其信號覆蓋地球？ 9.如果我國要發(fā)射一顆氣象監(jiān)測衛(wèi)星，監(jiān)測我國的氣象情況，請你設計一個合理的衛(wèi)星定點位置或衛(wèi)星軌道. 10.在網(wǎng)上收集資料，了解有關“北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)”的內(nèi)容，在班里做一個相關內(nèi)容的綜述，并發(fā)表對這件事的看法.