（浙江專版）2018年高考數學 第1部分 重點強化專題 專題5 平面解析幾何 突破點12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質教學案

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1、 突破點12　圓錐曲線的定義、方程、幾何性質 (對應學生用書第44頁) [核心知識提煉] 提煉1圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M(l為拋物線的準線). 提煉2 圓錐曲線的重要性質 　 (1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系 ①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝； ②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝. (2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標 ①雙曲線

2、－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x；焦點坐標F1(－c,0)，F2(c,0)； ②雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，焦點坐標F1(0，－c)，F2(0，c)． (3)拋物線的焦點坐標與準線方程 ①拋物線y2＝±2px(p＞0)的焦點坐標為，準線方程為x＝?； ②拋物線x2＝±2py(p＞0)的焦點坐標為，準線方程為y＝?. 提煉3弦長問題 　 (1)直線與圓錐曲線相交時的弦長 斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝. (2)拋物線焦點弦的幾個常用結論

3、 設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；③＋＝；④以弦AB為直徑的圓與準線相切． [高考真題回訪] 回訪1　橢圓及其性質 1．(2017·浙江高考)橢圓＋＝1的離心率是(　　) A.　 B. C. D. B　[∵橢圓方程為＋＝1， ∴a＝3，c＝＝＝. ∴e＝＝. 故選B.] 2．(2016·浙江高考)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(

4、　　) A．m>n且e1e2>1　　　　 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．mn2. ∵m>1，n>0，∴m>n. ∵C1的離心率e1＝，C2的離心率e2＝， ∴e1e2＝· ＝＝ ＝＝>＝1.] 3．(2015·浙江高考)橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關于直線y＝x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________． 　[設橢圓的另一個焦點為F1(－c,0)，如圖，連接Q

5、F1，QF，設QF與直線y＝x交于點M. 由題意知M為線段QF的中點，且OM⊥FQ. 又O為線段F1F的中點， ∴F1Q∥OM， ∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c， 可解得|OM|＝，|MF|＝， 故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝. 由橢圓的定義得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a， 整理得b＝c，∴a＝＝c， 故e＝＝.] 4．(2014·浙江高考)如圖12-1，設橢圓C：＋＝1(a>b>0)，動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限． 圖12-1 (1

6、)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標； (2)若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a－b. [解]　(1)設直線l的方程為y＝kx＋m(k<0)，由消去y，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 2分 由于l與橢圓C只有一個公共點，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得點P的坐標為. 4分 又點P在第一象限， 故點P的坐標為. 6分 (2)證明：由于直線l1過原點O且與l垂直，故直線l1的方程為x＋ky＝0，所以點P到直線l1的距離 d＝， 8分 整理，得d＝. 10分 因為a

7、2k2＋≥2ab， 所以≤＝a－b， 12分 當且僅當k2＝時等號成立． 所以，點P到直線l1的距離的最大值為a－b. 15分 回訪2　雙曲線及其性質 5．(2016·浙江高考)設雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2.若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________． (2，8)　[∵雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，∴|F1F2|＝4，||PF1|－|PF2||＝2.若△F1PF2為銳角三角形，則由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－16>0，可化為(|PF1|＋|PF2|)2－2|P

8、F1|·|PF2|>16①.由||PF1|－|PF2||＝2，得(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|＝4.故2|PF1||PF2|＝，代入不等式①可得(|PF1|＋|PF2|)2>28，解得|PF1|＋|PF2|>2.不妨設P在左支上，∵|PF1|2＋16－|PF2|2>0，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－|PF2|)>－16，又|PF1|－|PF2|＝－2， ∴|PF1|＋|PF2|<8.故2<|PF1|＋|PF2|<8.] 6．(2015·浙江高考)雙曲線－y2＝1的焦距是________，漸近線方程是________． 2　y＝±x　[由雙曲線標準方

9、程，知雙曲線焦點在x軸上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝，∴焦距2c＝2，漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.] 7．(2014·浙江高考)設直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B.若點P(m,0)滿足|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是________． 　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x. 由得A， 由得B， 所以AB的中點C坐標為. 設直線l：x－3y＋m＝0(m≠0)， 因為|PA|＝|PB|，所以PC⊥l， 所以kPC＝－3，化簡得a2＝4b2. 在雙曲線中，c2＝a2＋

10、b2＝5b2，所以e＝＝.] 回訪3　拋物線及其性質 8．(2015·浙江高考)如圖12-2，設拋物線y2＝4x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(　　) 圖12-2 A. B. C. D. A　[由圖形可知，△BCF與△ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1,0)，作準線l，則l的方程為x＝－1.∵點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義

11、，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.] 9．(2016·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M點到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設點M的橫坐標為x，則點M到準線x＝－1的距離為x＋1，由拋物線的定義知x＋1＝10，∴x＝9， ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.] 10．(2016·浙江高考)如圖12-3，設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|－1. (1)求p的值； (2)若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與

12、x軸交于點M，求M的橫坐標的取值范圍． [解]　(1)由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x＝－1的距離， 2分 由拋物線的定義得＝1，即p＝2. 4分 (2)由(1)得，拋物線方程為y2＝4x，F(1,0)，可設A(t2,2t)，t≠0，t≠±1. 因為AF不垂直于y軸，可設直線AF：x＝sy＋1(s≠0)， 由消去x得y2－4sy－4＝0， 6分 故y1y2＝－4，所以B. 7分 又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為－，從而得直線FN：y＝－(x－1)，直線BN：y＝－，所以N. 8分 設M(m,0)，由A，M，N三點共線得＝，

13、于是m＝＝2＋， 11分 所以m<0或m>2. 經檢驗，m<0或m>2滿足題意． 綜上，點M的橫坐標的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞). 15分 (對應學生用書第46頁) 熱點題型1　圓錐曲線的定義、標準方程 題型分析：圓錐曲線的定義、標準方程是高考?？純热?，主要以選擇、填空的形式考查，解題時分兩步走：第一步，依定義定“型”，第二步，待定系數法求“值”. 【例1】　(1)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) 【導學號：68334125】 A．(－1,3)　 B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) (2

14、)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|＝(　　) A.　　　　 B．3 C.　　　　 D．2 (1)A　(2)B　[(1)若雙曲線的焦點在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－13m2且n<－m2，此時n不存在．故選A. (2)如圖所示，因為＝4，所以＝，過點Q作QM⊥l垂足為M，則MQ∥x軸， 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由拋物線定義知|QF|＝|QM|＝3.] [方

15、法指津] 求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型，后計算” 1．定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設出標準方程． 2．計算，即利用待定系數法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，雙曲線常設為mx2－ny2＝1(mn＞0)． [變式訓練1]　(1)經過點(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2017·金華十校第一學期調研)已知拋物線C：y2＝2p

16、x(p>0)，O為坐標原點，F為其焦點，準線與x軸交點為E，P為拋物線上任意一點，則(　　) 圖12-4 A．有最小值 B．有最小值1 C．無最小值 D．最小值與p有關 (1)A　(2)A　[(1)設雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由題意知＝1，解得k＝±，則雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線方程為－＝1， 則有解得故選A. (2)過點P作PF′垂直于準線交準線于F′.設P，故|PF′|＝＋，|EF′|＝y(tǒng)，因為＝≤1，此時有最小值，故選A.] 熱點題型2　圓錐曲線的幾何性質 題型分析：圓錐曲線的幾何性質是高考考查的重點和熱點，其中求圓錐曲線的離心率是最

17、熱門的考點之一，建立關于a，c的方程或不等式是求解的關鍵. 【例2】　(1)已知O為坐標原點，F是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. (2)(2017·杭州第二次質檢)設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A，B在拋物線上，且∠AFB＝120°，弦AB的中點M在準線l上的射影為M1，則的最大值為________． (1)A　(2)　[(1)如圖所示，由題意得A(－a,0)

18、，B(a,0)，F(－c,0)．由PF⊥x軸得P. 設E(0，m)，又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝. ① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝. ② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝. 故選A. (2)如圖所示，由拋物線的定義以及梯形的中位線定理得|MM1|＝，在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|cos ＝|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|＝(|AF|＋|BF|)2－|AF|·|BF|≥(|AF|＋|BF|)2－2＝3|MM1|2，當且僅當|AF|＝|BF|時，等號成立，故取得最大值

19、.] [方法指津] 1．求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設所求雙曲線的方程． [變式訓練2]　(1)已知F1，F2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D．2 (2)(名師押題)已知

20、橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為(　　) 【導學號：68334126】 A. B．2－ C.－2 D.－ (1)A　(2)D　[(1)法一：如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝， 即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 法二：如圖，因為MF1⊥x軸，所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin

21、∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負值舍去)． (2)設|F1F2|＝2c，|AF1|＝m， 若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形， ∴|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m. 由橢圓的定義可知△F1AB的周長為4a， ∴4a＝2m＋m，m＝2(2－)a. ∴|AF2|＝2a－m＝(2－2)a. ∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， ∴4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2， ∴e2＝9－6，e＝－.] 11