2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：高考數(shù)學(xué)類比題考查類型探求

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：高考數(shù)學(xué)類比題考查類型探求 從近幾年高考數(shù)學(xué)試題中不難看出，類比題已成為高考試題的熱點(diǎn)問題。筆者認(rèn)為求解類比推理問題的關(guān)鍵在于確定類比物，建立類比項(xiàng)，通過對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算、推理過程等進(jìn)行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在聯(lián)系。下舉例談?wù)劯呖紨?shù)學(xué)類比題考查類型。 一、 圖象特征類比型 例1、如圖1，對(duì)于函數(shù)上任意兩點(diǎn)A,B ，連線段A B必在弧線段AB的上方，設(shè)點(diǎn)C分的比為 (>0)，則由點(diǎn)C在點(diǎn)上方可得不等式。請(qǐng)分析函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象，類比上述不等式可以得到的不等式是

2、 . 解析:本題的類比物是函數(shù)與函數(shù)y=lnx (x>0)的圖象，而類比項(xiàng)是a,b與之間建立的不等關(guān)系.首先弄清不等式的來龍去脈。按題給信息，該不等式是“由點(diǎn)C在點(diǎn)上方”得到的，也就是說該不等式是這一幾何特征的代數(shù)化。因?yàn)镃分的比為 (>0)，又因?yàn)锳,B ，所以是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是點(diǎn)的縱坐標(biāo)。因此由C點(diǎn)在點(diǎn)的上方.即得。最后.作出函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象(如圖2)進(jìn)行比較分析.設(shè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)A,B )，點(diǎn)C分的比為 (>0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為為。點(diǎn)坐標(biāo)為。顯然有C點(diǎn)在點(diǎn)的下方。因此可以得到的不等式是。 點(diǎn)評(píng)：本題通過兩類函數(shù)的圖象特征結(jié)合定比分點(diǎn)公式類比得出函

3、數(shù)一個(gè)重要不等式性質(zhì)，其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的凹凸性。 二、 運(yùn)算法則類比型 例2、已知命題：若數(shù)列為等差數(shù)列，且?，F(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且若類比上述結(jié)論，則可得到 。 解析:本題的類比物是等差數(shù)列與等比數(shù)列，類比項(xiàng)是數(shù)列的第m+n項(xiàng)與第m項(xiàng)、第n項(xiàng)的等量關(guān)系，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，由等差數(shù)列性質(zhì)得。所以在等比數(shù)列中，同樣由等比數(shù)列的性質(zhì)得。 點(diǎn)評(píng)：實(shí)際上，等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比是“運(yùn)算法則”的比較，是等差數(shù)列中的“和、差、積、商”與等比數(shù)列中的“積、商、冪、開方”一一對(duì)應(yīng)，即等差數(shù)列中的“”在等比數(shù)列中變?yōu)椤啊?“”變?yōu)椤啊?，因此的類比項(xiàng)為。 三、計(jì)算方法類比型 例3

4、、對(duì)于數(shù)學(xué)問題“”。我們計(jì)算可得。請(qǐng)你分析該數(shù)學(xué)問題，用類比推理的方法，給出類似的一組可以求的條件： 。 解析：應(yīng)該說本題的類比物與類比項(xiàng)是難以確定的。我們首先來分析一下原數(shù)學(xué)問題是如何由條件求出，將條件利用兩角和與差的余弦公式展開，由?？紤]到是由確定的，可以設(shè)想條件應(yīng)該是關(guān)于的二元方程，類比原問題條件形式，自然聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，因此，這組條件可以是：。 點(diǎn)評(píng):本題是開放題，條件可以多種多樣，一般寫出，只要即可。)現(xiàn)在我們不難發(fā)現(xiàn)，本題的類比物實(shí)際上是一種三角運(yùn)算結(jié)構(gòu)的“定式”，類比項(xiàng)是兩角和與差的正、余弦公式。 四、性質(zhì)定義類比型 例4、我們知

5、道：在拋物線中，以過拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切，類比這一拋物線性質(zhì)，研究橢圓或雙曲線中，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，同樣可以得出類似的性質(zhì).請(qǐng)你寫出一個(gè)正確的性質(zhì)。 解析：本題的類比物是圓錐曲線中的拋物線、橢圓與雙曲線，類比項(xiàng)是以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，首先我們探求拋物線中“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”的實(shí)質(zhì).如圖3,A ,B,M(M為圓心)在準(zhǔn)線l上的射影為.由拋物線的定義知，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切。 現(xiàn)在利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義“到焦點(diǎn)距離與其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率”，考慮橢圓或雙曲線中的類似問題，如圖4，設(shè)曲線C是橢圓

6、或雙曲線的一部分，離心率為e。A、B、M在準(zhǔn)線l上的射影為.由統(tǒng)一定義知，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切。若曲線C是橢圓，則“0AB，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相離.若曲線C是雙曲線，則e>1,MM'

7、要方法． 五、平面空間類比型 例5、在DEF中有余弦定理：. 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。 解析：根據(jù)類比猜想得出. 其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角. 證明：作斜三棱柱的直截面DEF，則為面與面所成角，在中有余弦定理：， 同乘以，得 即 點(diǎn)評(píng)：本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，因?yàn)轭惐仁菙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí)。 六、新定義類比型 例6、規(guī)定：，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣.

8、 （1）求的值；（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)（）是否都能推廣到（是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；（3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時(shí)，. 解析： 本題“新的規(guī)定（是正整數(shù)）”是組合數(shù)（是正整數(shù)，且）的一種推廣.這個(gè)結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中沒有的，目的是考查考生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用以及創(chuàng)新思維能力. 解：（1）根據(jù)新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可 （2）性質(zhì)①不能推廣.反例：當(dāng)時(shí)，有意義，但無意義.性質(zhì)②能推廣，且推廣形式不變：是正整數(shù)）. 證明如下：= == （3）需要就與的大小作出邏輯劃分并進(jìn)行嚴(yán)密的論證. 當(dāng)時(shí)，都是正整數(shù)，就

9、是組合數(shù)，結(jié)論顯然成立； 當(dāng)時(shí)，，結(jié)論也成立；當(dāng)時(shí)， ，是正整數(shù)，故. 綜上所述，當(dāng)，是正整數(shù)時(shí)，. 點(diǎn)評(píng)：本題以組合數(shù)為載體考查運(yùn)用類比推理和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力。 波利亞說過，如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn)。因此，在教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理和歸納推理的能力。根據(jù)教材特點(diǎn)，在傳授新知識(shí)時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，通過類比與歸納得出新的知識(shí)，逐步學(xué)會(huì)類比推理的方法。在進(jìn)行知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí)，經(jīng)常對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行類比，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比的習(xí)慣。在解題教學(xué)中，通過類比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題，或通過類比，探求解題途徑，深化對(duì)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。通過類比，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。