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2022年高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-2教案:第3章 拓展資料:高考數(shù)學(xué)類比題考查類型探求
從近幾年高考數(shù)學(xué)試題中不難看出,類比題已成為高考試題的熱點(diǎn)問題。筆者認(rèn)為求解類比推理問題的關(guān)鍵在于確定類比物,建立類比項(xiàng),通過對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算、推理過程等進(jìn)行類比分析,從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在聯(lián)系。下舉例談?wù)劯呖紨?shù)學(xué)類比題考查類型。
一、 圖象特征類比型
例1、如圖1,對(duì)于函數(shù)上任意兩點(diǎn)A,B ,連線段A B必在弧線段AB的上方,設(shè)點(diǎn)C分的比為 (>0),則由點(diǎn)C在點(diǎn)上方可得不等式。請(qǐng)分析函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象,類比上述不等式可以得到的不等式是
2、 .
解析:本題的類比物是函數(shù)與函數(shù)y=lnx (x>0)的圖象,而類比項(xiàng)是a,b與之間建立的不等關(guān)系.首先弄清不等式的來龍去脈。按題給信息,該不等式是“由點(diǎn)C在點(diǎn)上方”得到的,也就是說該不等式是這一幾何特征的代數(shù)化。因?yàn)镃分的比為 (>0),又因?yàn)锳,B ,所以是C點(diǎn)的縱坐標(biāo),而是C點(diǎn)的橫坐標(biāo),就是點(diǎn)的縱坐標(biāo)。因此由C點(diǎn)在點(diǎn)的上方.即得。最后.作出函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象(如圖2)進(jìn)行比較分析.設(shè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)A,B ),點(diǎn)C分的比為 (>0),則C點(diǎn)坐標(biāo)為為。點(diǎn)坐標(biāo)為。顯然有C點(diǎn)在點(diǎn)的下方。因此可以得到的不等式是。
點(diǎn)評(píng):本題通過兩類函數(shù)的圖象特征結(jié)合定比分點(diǎn)公式類比得出函
3、數(shù)一個(gè)重要不等式性質(zhì),其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的凹凸性。
二、 運(yùn)算法則類比型
例2、已知命題:若數(shù)列為等差數(shù)列,且?,F(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列,且若類比上述結(jié)論,則可得到 。
解析:本題的類比物是等差數(shù)列與等比數(shù)列,類比項(xiàng)是數(shù)列的第m+n項(xiàng)與第m項(xiàng)、第n項(xiàng)的等量關(guān)系,因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中,由等差數(shù)列性質(zhì)得。所以在等比數(shù)列中,同樣由等比數(shù)列的性質(zhì)得。
點(diǎn)評(píng):實(shí)際上,等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比是“運(yùn)算法則”的比較,是等差數(shù)列中的“和、差、積、商”與等比數(shù)列中的“積、商、冪、開方”一一對(duì)應(yīng),即等差數(shù)列中的“”在等比數(shù)列中變?yōu)椤啊?“”變?yōu)椤啊?,因此的類比項(xiàng)為。
三、計(jì)算方法類比型
例3
4、、對(duì)于數(shù)學(xué)問題“”。我們計(jì)算可得。請(qǐng)你分析該數(shù)學(xué)問題,用類比推理的方法,給出類似的一組可以求的條件: 。
解析:應(yīng)該說本題的類比物與類比項(xiàng)是難以確定的。我們首先來分析一下原數(shù)學(xué)問題是如何由條件求出,將條件利用兩角和與差的余弦公式展開,由??紤]到是由確定的,可以設(shè)想條件應(yīng)該是關(guān)于的二元方程,類比原問題條件形式,自然聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式,因此,這組條件可以是:。
點(diǎn)評(píng):本題是開放題,條件可以多種多樣,一般寫出,只要即可。)現(xiàn)在我們不難發(fā)現(xiàn),本題的類比物實(shí)際上是一種三角運(yùn)算結(jié)構(gòu)的“定式”,類比項(xiàng)是兩角和與差的正、余弦公式。
四、性質(zhì)定義類比型
例4、我們知
5、道:在拋物線中,以過拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓,必與拋物線的準(zhǔn)線相切,類比這一拋物線性質(zhì),研究橢圓或雙曲線中,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系,同樣可以得出類似的性質(zhì).請(qǐng)你寫出一個(gè)正確的性質(zhì)。
解析:本題的類比物是圓錐曲線中的拋物線、橢圓與雙曲線,類比項(xiàng)是以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系,首先我們探求拋物線中“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”的實(shí)質(zhì).如圖3,A ,B,M(M為圓心)在準(zhǔn)線l上的射影為.由拋物線的定義知,所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切。
現(xiàn)在利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義“到焦點(diǎn)距離與其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率”,考慮橢圓或雙曲線中的類似問題,如圖4,設(shè)曲線C是橢圓
6、或雙曲線的一部分,離心率為e。A、B、M在準(zhǔn)線l上的射影為.由統(tǒng)一定義知,所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切。若曲線C是橢圓,則“0AB,以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相離.若曲線C是雙曲線,則e>1,MM'
7、要方法.
五、平面空間類比型
例5、在DEF中有余弦定理:. 拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱ABC-的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式,并予以證明。
解析:根據(jù)類比猜想得出. 其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角.
證明:作斜三棱柱的直截面DEF,則為面與面所成角,在中有余弦定理:,
同乘以,得
即
點(diǎn)評(píng):本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣,因?yàn)轭惐仁菙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉,因此平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí)。
六、新定義類比型
例6、規(guī)定:,其中,是正整數(shù),且,這是組合數(shù)是正整數(shù),且的一種推廣.
8、
(1)求的值;(2)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)()是否都能推廣到(是正整數(shù))的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由;(3)已知組合數(shù)是正整數(shù),證明:當(dāng),是正整數(shù)時(shí),.
解析: 本題“新的規(guī)定(是正整數(shù))”是組合數(shù)(是正整數(shù),且)的一種推廣.這個(gè)結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中沒有的,目的是考查考生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用以及創(chuàng)新思維能力.
解:(1)根據(jù)新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可
(2)性質(zhì)①不能推廣.反例:當(dāng)時(shí),有意義,但無意義.性質(zhì)②能推廣,且推廣形式不變:是正整數(shù)).
證明如下:=
==
(3)需要就與的大小作出邏輯劃分并進(jìn)行嚴(yán)密的論證.
當(dāng)時(shí),都是正整數(shù),就
9、是組合數(shù),結(jié)論顯然成立;
當(dāng)時(shí),,結(jié)論也成立;當(dāng)時(shí),
,是正整數(shù),故.
綜上所述,當(dāng),是正整數(shù)時(shí),.
點(diǎn)評(píng):本題以組合數(shù)為載體考查運(yùn)用類比推理和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力。
波利亞說過,如果沒有相似推理,那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中,甚至在其他任何領(lǐng)域中,本來可以發(fā)現(xiàn)的東西,也可能無從發(fā)現(xiàn)。因此,在教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理和歸納推理的能力。根據(jù)教材特點(diǎn),在傳授新知識(shí)時(shí),有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生,通過類比與歸納得出新的知識(shí),逐步學(xué)會(huì)類比推理的方法。在進(jìn)行知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí),經(jīng)常對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行類比,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比的習(xí)慣。在解題教學(xué)中,通過類比,引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題,或通過類比,探求解題途徑,深化對(duì)知識(shí)的理解,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。通過類比,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。