2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式學(xué)案 新人教A版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式學(xué)案 新人教A版必修5 不等關(guān)系與不等式 　　[提出問題] 在日常生活中，我們經(jīng)常看到下列標(biāo)志： 問題1：你知道各圖中的標(biāo)志有何作用？其含義是什么嗎？ 提示：①最低限速：限制行駛時(shí)速v不得低于50公里； ②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量G不得超過10 t； ③限制高度：裝載高度h不得超過3.5米； ④限制寬度：裝載寬度a不得超過3米； ⑤時(shí)間范圍：t∈[7.5,10]． 問題2：你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. [導(dǎo)入新知] 不等式的

2、概念 我們用數(shù)學(xué)符號“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系．含有這些不等號的式子叫做不等式． [化解疑難] 1．不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的。 2．不等式中文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換 文字語言 大于，高于，超過 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不多于，不超過 符號語言 ＞ ＜ ≥ ≤ 兩實(shí)數(shù)大小的比較 [提出問題]

3、實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大． 問題1：怎樣判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小？ 提示：若a－b是正數(shù)，則a＞b；若a－b是負(fù)數(shù)，則ab?a－b>0 a

4、－b＝0 [化解疑難] 1．上面的“?”表示“等價(jià)于”，即可以互相推出． 2．“?”右邊的式子反映了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，左邊的式子反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，二者結(jié)合起來即是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系. 不等式的基本性質(zhì) [提出問題] 問題1：若a>b，b>c，則a>c，對嗎？為什么？ 提示：正確．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0. ∴(a－b)＋(b－c)>0.即a－c>0.∴a>c. 問題2：若a＞b，則a＋c＞b＋c，對嗎？為什么？ 提示：正確．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0 即a＋c＞b＋c. 問題3：若a＞b，則ac＞bc，對嗎

5、？試舉例說明． 提示：不一定正確，若a＝2，b＝1，c＝2正確．c＝－2時(shí)不正確． [導(dǎo)入新知] 不等式的性質(zhì) (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c. 推論(同向可加性)：?a＋c>b＋d； (4)可乘性：?ac>bc；?acbd； (5)正數(shù)乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)； (6)正數(shù)開方性：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)． [化解疑難] 1．在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件．不可強(qiáng)化或弱化成立的條件． 2．要注意“

6、箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性． 用不等式(組)表示不等關(guān)系 [例1]　某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式． [解]　設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．由題意得 即 [類題通法] 用不等式表示不等關(guān)系的方法 (1)認(rèn)真審題，設(shè)出所求量，并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系． (2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等

7、．用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用關(guān)鍵詞連接．特別需要考慮的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到． [活學(xué)活用] 1．用不等式(組)表示下列問題中的不等關(guān)系： (1)限速80 km/h的路標(biāo)； (2)橋頭上限重10 噸的標(biāo)志； (3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%. 解：(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h， 則v≤80. (2)設(shè)汽車的重量為ω噸，則ω≤10. (3) 比較兩數(shù)(式)的大小 [例2]　比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。? (1)x2＋3與2x； (2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋a

8、b2的大?。? [解]　(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3 ＝2＋2≥2＞0， ∴x2＋3＞2x. (2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0，且a≠b， ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0， 即a3＋b3＞a2b＋ab2. [類題通法] 比較兩個(gè)代數(shù)式大小的步驟 (1)作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差； (2)變形：對差進(jìn)行變形； (3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差

9、的符號； (4)作出結(jié)論． 這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提． [活學(xué)活用] 2．比較x3＋6x與x2＋6的大?。? 解：(x3＋6x)－(x2＋6) ＝x3－x2＋6x－6 ＝x2(x－1)＋6(x－1) ＝(x－1)(x2＋6) ∵x2＋6＞0. ∴當(dāng)x＞1時(shí)，(x－1)(x2＋6)＞0， 即x3＋6x＞x2＋6. 當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)(x2＋6)＝0， 即x3＋6x＝x2＋6. 當(dāng)x＜1時(shí)，(x－1)(x2＋6)＜0， 即x3＋6x＜x2＋6. 不等式的性質(zhì) [例3]　已知a＞b＞

10、0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞. [證明]　∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又∵e＜0， ∴＞. [類題通法] 利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng) (1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用． (2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. [活學(xué)活用] 3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求證：n－ap＜

11、m－bp. 證明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp. ∴－ap＜－bp， 又m＞n，即n＜m. ∴n－ap＜m－bp. 　　　　 [典例]　已知1＜a＜4,2＜b＜8.試求2a＋3b與a－b的取值范圍． [解]　∵1＜a＜4,2＜b＜8， ∴2＜2a＜8,6＜3b＜24 ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8， ∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4， ∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范圍是(8,32)，a－b的取值范圍是(－7,2)． 【探究一】 利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某個(gè)不等式的范圍要

12、注意：同向不等式的兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍． 【探究二】 同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價(jià)性．在本例條件下，求的取值范圍． [解]∵2＜b＜8，∴＜＜， 而1＜a＜4， ∴1×＜a·＜4×，即＜＜2. 故的取值范圍是(，2)． [探究三] 不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變，同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變，求解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)． 例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范圍． 解：因－6＜a＜8,2＜b＜3

13、. ∴＜＜， (1)當(dāng)0≤a＜8時(shí)，0≤＜4； (2)當(dāng)－6＜a＜0時(shí)，－3＜＜0. 由(1)(2)得：－3＜＜4. [探究四] 利用不等式性質(zhì)求范圍，應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù)． [例]　已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍． [解]　設(shè)a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝，λ2＝－. 又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1. (注：本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解) [隨堂即時(shí)演練] 1．完成一項(xiàng)裝修工程，請木工共需付工資每人500無，請瓦工共需付工資

14、每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是(　　) A．5x＋4y＜200　　 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 解析：選D　據(jù)題意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故選D. 2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是(　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M≥－5 D．M≤－5 解析：選A　M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5 ＝(x＋2)2＋(y－1)2， ∵x≠－2，y≠1， ∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(

15、x＋2)2＋(y－1)2＞0. 故M＞－5. 3．如果a＞b，那么c－2a與c－2b中較大的是________． 解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0. 答案：c－2b 4．若－10＜a＜b＜8，則|a|＋b的取值范圍是________． 解析：∵－10＜a＜8， ∴0≤|a|＜10， 又－10＜b＜8， ∴－10＜|a|＋b＜18. 答案：(－10,18) 5．(1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大??； (2)若－1＜a＜b＜0，試比較，，a2，b2的大?。? 解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2

16、(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)． ∵x≤1，∴x－1≤0. 又3x2＋1＞0， ∴(x－1)(3x2＋1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. (2)∵－1＜a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0， ∴a2＞b2＞0. ∵a＜b＜0， ∴a·＜b·＜0， 即0＞＞， ∴a2＞b2＞＞. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．與x有關(guān) 解析：選A　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0. ∴M＞N. 2．某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分

17、，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式(組)表示就是(　　) A.　　　　　　B. C. D． 解析：選D　由題中x不低于95即x≥95， y高于380即y>380， z超過45即z>45. 3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，則(　　) A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0 解析：選D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0， 又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0. 4．設(shè)α∈，β∈，則2α－的范圍是(　　) A. B． C. D． 解析：選D　0＜2α＜π，0≤≤， ∴

18、－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π. 5．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是(　　) A．若a＞b，c＞b，則a＞c B．若a＞－b，則c－a＜c＋b C．若a＞b，c＜d，則＞ D．若a2＞b2，則－a＜－b 解析：選B　選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立，選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有a＞b＞0時(shí)才可以．否則如a＝－1，b＝0時(shí)不成立，故選B. 二、填空題 6．比較大?。篴2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4. 解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4] ＝a2＋b2＋

19、c2－2a－2b－2c＋4 ＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0， 故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4. 答案：＞ 7．已知|a|＜1，則與1－a的大小關(guān)系為________． 解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1. ∴1＋a＞0,1－a＞0. 即＝ ∵0＜1－a2≤1， ∴≥1， ∴≥1－a. 答案：≥1－a 8．某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下： 產(chǎn)品種類 每件需要人員數(shù) 每件產(chǎn)值(萬元/件) A類 7.5 B類 6 今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)

20、________件，最高產(chǎn)值為________萬元． 解析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則＋≤20，解得x≤20. 由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時(shí)，y取最大值330. 所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元． 答案：20　330 三、解答題 9．某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人；每個(gè)工人的年工作時(shí)間約為2 100 h；預(yù)計(jì)此產(chǎn)品明年的銷售量至少為80 000袋；生產(chǎn)每袋需用4 h；生產(chǎn)每袋需用原料20 kg；年底庫存

21、原料600 t，明年可補(bǔ)充1 200 t．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測明年的產(chǎn)量． 解：設(shè)明年的產(chǎn)量為x袋，則， 解得80 000≤x≤90 000. 預(yù)計(jì)明年的產(chǎn)量在80 000到90 000袋之間． 10．(1)a＜b＜0，求證：＜； (2)已知a＞b，＜，求證：ab＞0. 證明：(1)由于－＝ ＝， ∵a＜b＜0， ∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. (2)∵＜， ∴－＜0， 即＜0，而a＞b， ∴b－a＜0，∴ab＞0. _3.2一元二次不等式及其解法 第一課時(shí)　一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的概念 [提出問題]

22、 觀察下列不等式： (1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0. 問題1：以上給出的3個(gè)不等式，它們含有幾個(gè)未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？ 提示：它們只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是2. 問題2：上述三個(gè)不等式在表達(dá)形式上有何共同特點(diǎn)？ 提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0. [導(dǎo)入新知] 1．一元二次不等式 我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式

23、的解與解集 使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集. [化解疑難] 1．定義的簡單應(yīng)用：判斷一個(gè)不等式是否為一元二次不等式，應(yīng)嚴(yán)格按照定義去判斷，即未知數(shù)只有1個(gè)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且最高次的系數(shù)不能為0. 2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式. 一元二次不等式的解法 [提出問題] 已知：一元二次函數(shù)y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0. 問題1：試求二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo) 提示：(0,0)、(2,0) 問題2：一元二次方程根是什么？

24、提示：x1＝0，x2＝2. 問題3：問題1中的坐標(biāo)與問題2中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？ 提示：交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的根． 問題4：觀察二次函數(shù)圖象，x滿足什么條件，圖象在x軸上方？ 提示：x＞2或x＜0. 問題5：能否利用問題4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？ 提示：能，不等式的解集為{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}． [導(dǎo)入新知] 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩相異實(shí)根x1，x2，(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根x1＝

25、x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ? ? [化解疑難] 一元二次方程的根對應(yīng)于二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，一元二次不等式的解對應(yīng)于二次函數(shù)圖象在x軸上方(下方)，或在x軸上的點(diǎn)，由此得出二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn)情況確定的一元二次不等式的圖象解法，這樣就形成了二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合的解一元二次不等式的方法． 一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2

26、)x2－4x－5≤0； (3)－4x2＋18x－≥0； (4)－x2＋3x－5＞0； (5)－2x2＋3x－2＜0. [解]　(1)因?yàn)棣ぃ?2－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝－3，x2＝－.又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為{x|x＞－，或x＜－3}． (2)原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}． (3)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為. (4)原不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實(shí)根，又二次

27、函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為?. (5)原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因?yàn)棣ぃ?－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R. [類題通法] 解一元二次不等式的一般步驟 (1)通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零； (2)計(jì)算對應(yīng)方程的判別式； (3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根； (4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集． [活學(xué)活用] 1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6. (3

28、)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1， x2＝6. 結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化為x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－7x＋6的圖象知，原不等式的解集為 {x|10. 方程(x－2)(x＋3)＝0兩根為2和－3. 結(jié)合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}．

29、 (4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等價(jià)于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－12x＋4的圖象知，原不等式的解集為{x|x≠}. 解含參數(shù)的一元二次不等式 [例2]　解關(guān)于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0. [解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1，x2＝a，函數(shù)y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開口向上，則當(dāng)a＜－1時(shí)，原不等式解集為{x|a＜x＜－1}； 當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式解集為?； 當(dāng)a＞－1時(shí)，原不等式解集為{x|－1＜x＜a}． [類題通法] 解含參數(shù)的

30、一元二次不等式時(shí)： (1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0與小于0進(jìn)行討論； (2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論； (3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論． [活學(xué)活用] 2．解關(guān)于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)． 解：原不等式可化為： (ax＋1)(x－1)＜0， 當(dāng)a＝0時(shí)，x＜1， 當(dāng)a＞0時(shí)(x－1)＜0 ∴－＜x＜1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，x≠1， 當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，(x－1)＞0， ∴x＞－或x＜1. 當(dāng)a＜－1時(shí)，－＜1， ∴x＞1或x＜－， 綜上原不等式的解集是： 當(dāng)a＝0時(shí)，

31、{x|x＜1}； 當(dāng)a＞0時(shí)，； 當(dāng)a＝－1時(shí)，{x|x≠1}； 當(dāng)－1＜a＜0時(shí)， . 當(dāng)a＜－1時(shí)，， 一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系 [例3]　已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． [解]　∵x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的兩根． 由韋達(dá)定理有 得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0. 由2x2－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集為∪(1，＋∞)． [類題通法] 1．一元二次

32、不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化． [活學(xué)活用] 3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－和2. (1)求a、b的值； (2)解不等式ax2＋bx－1＞0. 解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－和2， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 解得a＝－2，b＝3. (2)由(1)知，

33、ax2＋bx－1＞0可變?yōu)椋?x2＋3x－1＞0， 即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1. ∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集為{x|＜x＜1}． 　　　　 [典例]　已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集． [解題流程] 　[規(guī)范解答] 由題意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，(2分) 且a＜0，故，(4分) 解得a＝c，b＝c.(6分) 所以不等式ax2－bx＋c＞0即為2x2－5x＋2＜0，(8分) 解得＜x＜2. 即不等式ax2－bx＋c＞0的解集為.(12分)　　　　　　　　　 [

34、名師批注] 不注意判斷a的符號，誤認(rèn)為a＞0. 學(xué)生常出現(xiàn)解集不用集合表示的失誤． [活學(xué)活用] 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集為，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集． 解：因?yàn)閤2＋px＋q＜0的解集為，所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 由根與系數(shù)的關(guān)系得解得 所以不等式qx2＋px＋1＞0即為－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}． [隨堂即時(shí)演練] 1．不等式x(2－x)＞0的解集為(　　) A．{x|x＞0}　　　　 B．{x

35、|x＜2} C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2} 解析：選D　原不等式化為x(x－2)＜0，故0＜x＜2. 2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}， 則M∩N為(　　) A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7} C．{x|x≤－2或x＞3} D．{x|x＜－2或x≥3} 解析：選A　∵M(jìn)＝{x|x2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}， ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}． 3．二次函數(shù)y＝x2－4x＋3在y

36、＜0時(shí)x的取值范圍是________． 解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0， ∴1＜x＜3 答案：(1,3) 4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則實(shí)數(shù)a＝________，實(shí)數(shù)b＝________. 解析：由題意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個(gè)根． 由根與系數(shù)的關(guān)系得 解得a＝－2，b＝3. 答案：－2　3 5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x－1)． 解：(1)原不等式可化為x2－7x＋12≤0，因?yàn)榉匠蘹2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化為

37、x2－2x＋2＞0， 因?yàn)榕袆e式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0無實(shí)根，而拋物線y＝x2－2x＋2的圖象開口向上， 所以原不等式的解集為R. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．下列不等式①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有(　　) A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 解析：選D　根據(jù)一元二次不等式的定義知①②正確．　 2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A. B． C．? D． 解析：選D　不等式可化為(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－，即解

38、集為，故選D. 3．設(shè)集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，則(　　) A．M∩N＝? B．M∩N＝M C．M∪N＝M D．M∪N＝R 解析：選B　 ∵M(jìn)＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}， ∴MN(yùn)，即M∩N＝M. 4．關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全體實(shí)數(shù)的條件是(　　) A. B． C. D． 解析：選D　由于不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為全體實(shí)數(shù)，所以，與之相對應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方，則有 5．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　　) A．{x|－2

39、2或x>2} C．{x|－11} 解析：選A　令t＝|x|，則原不等式可化為 t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0. ∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2. ∴|x|<2，得－2

40、：{x|0＜x＜1} 8．已知2a＋1＜0，關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是________． 解析：∵方程x2－4ax－5a2＝0的兩個(gè)根為x1＝－a，x2＝5a， 又∵2a＋1＜0，即a＜－，∴x1＞x2. 故原不等式解集為{x|5a＜x＜－a}． 答案：{x|5a＜x＜－a} 三、解答題 9．已知ax2＋2x＋c＞0的解集為，試求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a＞0. 解：由ax2＋2x＋c＞0的解集是，知a＜0，且方程ax2＋2x＋c＝0的兩根為x1＝－，x2＝，由根與系數(shù)的關(guān)系知 解得a＝－12，c＝2. 此時(shí)，－cx2＋2x－a＞0，即2x

41、2－2x－12＜0， 其解集為{x|－2＜x＜3}． 10．解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)． 解：原不等式移項(xiàng)得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化簡為(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0. 當(dāng)－2

42、之間的關(guān)系？ 2．判別式Δ的值對一元二次不等式的解集有何影響？

43、 簡單的分式不等式 [例1]　解下列不等式 (1)<0；(2)≤2. [解]　(1)由<0，得>0， 此不等式等價(jià)于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}． (2)法一：移項(xiàng)得－2≤0， 左邊通分并化簡有≤0，即≥0， 它的同解不等式為 ∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}． 法二：原不等式可化為≥0， 此不等式等價(jià)于① 或② 解①得x≥5，解②得x<2， ∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}． [類題通法] 1

44、．對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零． 2．對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解． [活學(xué)活用] 1．解下列不等式： (1)≥0；　　(2)>1. 解：(1)原不等式等價(jià)于 即?－2≤x<3. ∴原不等式的解集為{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化為－1>0，即<0. 等價(jià)于(3x－2)(4x－3)<0. ∴

45、m＜x2＋1對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　原不等式等價(jià)于mx2＋mx＋m－1＜0，對x∈R恒成立， 當(dāng)m＝0時(shí)，0·x2＋0·x－1＜0對x∈R恒成立． 當(dāng)m≠0時(shí)，由題意，得 ? ??m＜0. 綜上，m的取值范圍為m≤0. [類題通法] 不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集為R的條件為 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為?的條件為 [活學(xué)活用] 2．若關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：當(dāng)

46、a＝0時(shí)，原不等式可化為2x＋2＞0，其解集不為R，故a＝0不滿足題意，舍去； 當(dāng)a≠0時(shí)，要使原不等式的解集為R，只需 解得a＞. 綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 [例3]　某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)． (1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍． [解]　(1)降低稅率后的稅

47、率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(1＋2x%)． 依題意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原計(jì)劃稅收為200a·10%＝20a(萬元)． 依題意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化簡得x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0＜x＜10， ∴0＜x≤2. ∴x的取值范圍是{x|0＜x≤2}． [類題通法] 用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟是： (1)理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系； (2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際

48、問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題； (3)解這個(gè)一元二次不等式，得到實(shí)際問題的解． [活學(xué)活用] 3．某校園內(nèi)有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍． 解：設(shè)花卉帶的寬度為x m，則中間草坪的長為(800－2x) m，寬為(600－2x) m．根據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去． 故

49、所求花卉帶寬度的范圍為(0,100] m. 　　　　 [典例]　已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4， 如果對一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； [解]　由題意可知，只有當(dāng)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的圖象與直角坐標(biāo)系中的x軸無交點(diǎn)時(shí)，才滿足題意， 則其相應(yīng)方程x2＋2(a－2)＋4＝0此時(shí)應(yīng)滿足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4. 故a的取值范圍是{a|0＜a＜4}． 【探究一】　解決此類問題要注意三個(gè)“二次”之間的相互聯(lián)系，并能在一定條件下相互轉(zhuǎn)換，若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時(shí)可以

50、根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍． 【探究二】　若x2的系數(shù)為參數(shù)，應(yīng)參考本節(jié)例2及變式的解法． 【探究三】　對于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，應(yīng)利用函數(shù)圖象．如： 是否存在實(shí)數(shù)a，使得對任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由． [解]　若對任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，則滿足題意的函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的圖象如圖所示． 由圖象可知，此時(shí)a應(yīng)該滿足 即解得 這樣的實(shí)數(shù)a是不存在的，所以不存在實(shí)數(shù)a滿足：對任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立． 【探究

51、四】　對此類問題，要弄清楚哪個(gè)是參數(shù)，哪個(gè)是自變量．如： 已知函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4，對任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，試求x的取值范圍． 解：原函數(shù)可化為g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是關(guān)于a的一元一次函數(shù)． 要使對任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需滿足即 因?yàn)閤2－2x＋4＜0的解集是空集， 所以不存在實(shí)數(shù)x， 使函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4，對任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立． [隨堂即時(shí)演練] 1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，則A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x＜0}　　　 B．{x|0＜x≤1}

52、 C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：選B　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}， ∴A∩B＝{x|0＜x≤1}． 2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集為空集，則a的取值范圍是(　　) A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4 C．a(chǎn)≤－4或a≥4 D．a(chǎn)＜－4或a＞4 解析：選A　依題意應(yīng)有Δ＝a2－16≤0， 解得－4≤a≤4，故選A. 3．不等式≤3的解集為________． 解析：≤3?－3≤0?≥0?x(2x－1)≥0且x≠0?x<0或x≥. 答案： 4．若函數(shù)f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_

53、_______． 解析：已知函數(shù)定義域?yàn)镽，即x2－2ax－a＞0 對任意x∈R恒成立． ∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0. 解得－1＜a＜0. 答案：(－1,0) 5．你能用一根長為100 m的繩子圍成一個(gè)面積大于600 m2的矩形嗎？ 解：設(shè)圍成的矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50－x) m，且0＜x＜50. 由題意，得圍成矩形的面積S＝x(50－x)＞600， 即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30. 所以，當(dāng)矩形一邊的長在(20,30)的范圍內(nèi)取值時(shí)，能圍成一個(gè)面積大于600 m2的矩形． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．不等式＞0的解集是(　　

54、) A. B． C. D． 解析：選A　＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集為. 2．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a＞0}，A∩B＝?，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)≤3 解析：選B　A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}，因?yàn)锳∩B＝?，所以a≥3.故選B. 3．已知關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式>0的解集是(　　) A. B． C. D． 解析：選A　依題意，

55、a>0且－＝1. >0?(ax－b)(x－2)>0?(x－)(x－2)>0， 即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1. 4．設(shè)集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立}，則下列關(guān)系式中成立的是(　　) A．PQ B．QP C．P＝Q D．P∩Q＝? 解析：選A　當(dāng)m＝0時(shí)，－4＜0對任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，由mx2＋4mx－4＜0對任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立可得． 解得－1＜m＜0， 綜上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}， ∴PQ，故選A. 5．已知關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對任意x∈(0,1]恒成立，則有(　　

56、) A．m≤－3 B．m≥－3 C．－3≤m＜0 D．m≥－4 解析：選A　令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)最小值＝－3，所以m≤－3. 二、填空題 6．若a＜0，則不等式＞0的解集是________． 解析：原不等式可化為(x－4a)(x＋5a)＞0， 由于a＜0，所以4a＜－5a， 因此原不等式解集為{x|x＜4a，或x＞－5a}． 答案：{x|x＜4a，或x＞－5a} 7．若關(guān)于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，則m的取值范圍是________． 解析：假設(shè)原不等式的解集為空集．當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式

57、化為1＜0，此時(shí)不等式無解，滿足要求．當(dāng)m≠0時(shí)，即 ∴0＜m≤4.綜上可得0≤m≤4.故當(dāng)原不等式的解集不是空集時(shí)，有m＜0或m＞4. 答案：m＜0或m＞4 8．有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補(bǔ)滿，然后又倒出4升后再用水補(bǔ)滿，此時(shí)桶中的農(nóng)藥不超過容積的28%，則桶的容積的取值范圍是________． 解析：設(shè)桶的容積為x升，那么第一次倒出8升純農(nóng)藥液后，桶內(nèi)還有(x－8)(x>8)升純農(nóng)藥液，用水補(bǔ)滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度. 第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為升，此時(shí)桶內(nèi)有純農(nóng)藥液[(x－8)－]升． 依題意，得(x－8)－≤28%·x. 由于x>0，因而原不等式化簡為

58、 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 解得≤x≤.又∵x>8，∴8

59、(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 解：法一：令g(x)＝f(x)－a＝x2－2ax＋2－a，x∈[－1，＋∞)，因此當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)要使f(x)≥a恒成立，只要不等式x2－2ax＋2－a≥0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象(如圖)． ∴Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 法二：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a. 當(dāng)a∈(－∞，－1]時(shí)， 結(jié)合圖象知f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)最小值＝f(－1)＝2a＋3. ∴要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)最小值≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a≤－1. 當(dāng)a∈(－1

60、，＋∞)時(shí)，f(x)最小值＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1＜a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1. _3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 3.3.1　二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 二元一次不等式(組) [提出問題] 給出以下兩個(gè)方程： ①2x＋3y－6＝0，②x－4y＋4＝0. 問題1：這兩個(gè)方程是什么類型的方程？它們的解有多少個(gè)？它們對應(yīng)的幾何圖形是什么？ 提示：都是二元一次方程；都有無窮多解；對應(yīng)的幾何圖形是直線． 問題2：若將上述方程變?yōu)椋孩?x＋3y－6＞0，②x－4y＋4＜0.將得到什么？又有何特點(diǎn)

61、？ 提示：得到兩個(gè)不等式，它們都含有2個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1. 問題3：滿足不等式①、②的實(shí)數(shù)x、y存在嗎？若存在，試寫出兩組． 提示：都存在，滿足①的(2,2)、(2,4)，滿足②的(1,2)，(1,3)． [導(dǎo)入新知] 1．二元一次不等式 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式． 2．二元一次不等式組 由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組． 3．二元一次不等式(組)的解集 滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x、y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x、y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式

62、(組)的解集． [化解疑難] 二元一次不等式組要求由多于一個(gè)的二元一次不等式組成的不等式組，其中的不等式個(gè)數(shù)可以是二個(gè)、三個(gè)，當(dāng)然也可以是多個(gè). 二元一次不等式表示平面區(qū)域 　　[提出問題] 已知直線l：x－y－1＝0. 問題1：點(diǎn)A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0，－2)、E(1，－2)與直線l有何位置關(guān)系？ 提示：點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B、C、D、E均不在直線l上． 問題2：通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)B、C、D、E分別在直線l的哪個(gè)方向的區(qū)域內(nèi)？ 提示：點(diǎn)B、C在直線l的左上方，點(diǎn)D、E在直線l的右下方． 問題3：點(diǎn)B、C、D、E的坐標(biāo)分別滿足下列哪個(gè)不等式？(

63、1)x－y－1<0；(2)x－y－1>0. 提示：點(diǎn)B、C的坐標(biāo)滿足(1)，D、E的坐標(biāo)滿足(2)． 問題4：滿足這兩個(gè)不等式的解有多少個(gè)？這些解對應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)在相應(yīng)的直線上嗎？若不在直線上，它們在這條直線的同一側(cè)嗎？ 提示：這兩個(gè)不等式的解有無窮多個(gè)；它們對應(yīng)的點(diǎn)不在直線上；而是在這條直線的同一側(cè)． [導(dǎo)入新知] 1．二元一次不等式表示平面區(qū)域 在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界． 不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線． 2．二元一次

64、不等式表示的平面區(qū)域的確定 (1)直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同． (2)在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符號可以斷定Ax＋By＋C＞0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域． [化解疑難] 確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法是“線定界，點(diǎn)定域”，定邊界時(shí)需分清虛實(shí)，定區(qū)域時(shí)常選原點(diǎn)(C≠0)． 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 [例1]　畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域． (1)2x－y－6≥0； (2) [解]　(1)如圖，先畫出直線2x－y

65、－6＝0， 取原點(diǎn)O(0,0)代入2x－y－6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0， ∴與點(diǎn)O在直線2x－y－6＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)都滿足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)． (2)先畫出直線x－y＋5＝0(畫成實(shí)線)，如圖，取原點(diǎn)O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5＞0， ∴原點(diǎn)在x－y＋5＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)，即x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點(diǎn)的集合．同理可得，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點(diǎn)的集合．右上圖中陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域． [類題通法

66、] 1．在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可．其步驟為：①畫線；②定側(cè)；③求“交”；④表示． 2．要判斷一個(gè)二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，只需在它所對應(yīng)的直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的正負(fù)判定． [活學(xué)活用] 1．畫出不等式組表示的平面區(qū)域． 解：不等式x＋y≤5表示直線x＋y－5＝0上及左下方的區(qū)域． 不等式x－2y＞3表示直線x－2y－3＝0右下方的區(qū)域． 不等式x＋2y≥0表示直線x＋2y＝0上及右上方的區(qū)域． 所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示． 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積 [例2]　不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A．4　　　　　 B．1 C．5 D．無窮大 [解析]　不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求．求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. [答案]　B [類題通法] 求平面區(qū)域面積的方法 求平面區(qū)域的面積，先畫