2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語 第3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞講義 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語 第3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞講義 理（含解析） [考綱解讀]　1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義，并理解全稱量詞與存在量詞的含義．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2.能正確的對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．(重點(diǎn)) [考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來看，本講為高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2020年高考對(duì)命題及量詞的考查主要有：①判斷全稱命題與特稱命題的真假；②全稱命題、特稱命題的否定；③根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍. 1．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的“或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞． (2)概念 用聯(lián)結(jié)詞“且”把

2、命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復(fù)合命題“p且q”，記作p∧q； 用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復(fù)合命題“p或q”，記作p∨q； 對(duì)命題p的結(jié)論進(jìn)行否定，得到復(fù)合命題“非p”，記作綈p. (3)命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2．全稱量詞和存在量詞 量詞名詞 常見量詞 表示符號(hào) 全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等 ? 存在量詞 存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等

3、 ? 3．全稱命題和特稱命題 名稱形式 全稱命題 特稱命題 結(jié)構(gòu) 對(duì)M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立 存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立 簡(jiǎn)記 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) 否定 ?x0∈M，綈p(x0) ?x∈M，綈p(x) 1．概念辨析 (1)命題“3≤3”是假命題．(　　) (2)命題p與綈p不可能同真，也不可能同假．(　　) (3)p，q中有一個(gè)假，則p∧q為假．(　　) (4)“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是特稱命題．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、2．小題熱身 (1)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　因?yàn)閜，q都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題． (2)命題p：?x0∈R，x－x0＋1≤0的否定是(　　) A．?x0∈R，x－x0＋1>0 B．?x∈R，x2－x＋1≤0 C．?x∈R，x2－x＋1>0 D．?x0∈R，x－x0＋1<0 答案　C 解析　由已知得綈p是“?x∈R，x2－x＋1>0”． (3)下列命題中的假命題是(　　) A．?x0∈R，lg x0＝1 B．

5、?x0∈R，sinx0＝0 C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0 答案　C 解析　因?yàn)閘g 10＝1，所以A是真命題； 因?yàn)閟in0＝0，所以B是真命題； 因?yàn)?－2)3<0，所以C是假命題． 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知?x∈R,2x>0是真命題． (4)命題“任意末位數(shù)字是5的整數(shù)都能被5整除”，該命題的否定是________________，該命題的否命題是________________． 答案　存在末位數(shù)字是5的整數(shù)不能被5整除　末位數(shù)字不是5的整數(shù)不能被5整除 解析　命題的否定是否定命題的結(jié)論，即“存在末位數(shù)字是5的整數(shù)不能被5整除”．原命題可以改寫為“若整數(shù)

6、的末位數(shù)字為5，則該整數(shù)能被5整除”，其否命題是“若整數(shù)的末位數(shù)字不是5，則該整數(shù)不能被5整除”，簡(jiǎn)化為“末位數(shù)字不是5的整數(shù)不能被5整除”． 題型 　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷 1．(2018·濟(jì)南調(diào)研)設(shè)a，b，c是非零向量．已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中的真命題是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) 答案　A 解析　因?yàn)閜是假命題，q是真命題，所以p∨q是真命題，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命題． 2．“(綈p)∨q為

7、真命題”是“p∧(綈q)為假命題”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　(綈p)∨q為真命題包括以下情況：p假q假，p假q真，p真q真； p∧(綈q)為假命題包括以下情況：p假q真，p假q假，p真q真． 所以“(綈p)∨q”為真命題”是“p∧(綈q)為假命題”的充要條件． 1．判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟 2．熟記一組口訣 “或”命題一真即真，“且”命題一假即假，“非”命題真假相反．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·鄭州調(diào)研)命題p：函數(shù)y＝log2

8、(x－2)的單調(diào)增區(qū)間是[1，＋∞)，命題q：函數(shù)y＝的值域?yàn)?0,1)．下列命題是真命題的為(　　) A．p∧q B．p∨q C．p∧(綈q) D．綈q 答案　B 解析　由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函數(shù)， 所以命題p是假命題． 由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1， 所以函數(shù)y＝的值域?yàn)?0,1)，故命題q為真命題． 所以p∧q為假命題，p∨q為真命題，p∧(綈q)為假命題，綈q為假命題． 2．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題是________．

9、 答案?、冖? 解析　因?yàn)閜是真命題，q是假命題，所以p∧q，(綈p)∨q是假命題，p∨q，p∧(綈q)是真命題．故答案為②③. 題型 　全稱命題、特稱命題 角度1　全稱命題、特稱命題的真假判斷 1．(2018·昆明一中質(zhì)檢)已知命題p：?x∈R，x＋≥2；命題q：?x0∈(0，＋∞)，x>x，則下列命題中為真命題的是(　　) A．(綈p)∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q 答案　A 解析　當(dāng)x＝－1時(shí)，x＋<2，故p是假命題；當(dāng)x0＝時(shí)，2>3，故q是真命題，所以(綈p)∧q是真命題，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)，p∧q都是假命題． 角

10、度2　含有一個(gè)量詞的命題的否定 2．(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)周期為T(常數(shù))，則命題“?x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________； (2)命題“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”的否定是____________________． 答案　(1)?x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T) (2)角平分線上有的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離不相等 解析　(1)量詞“?”改為“?”，f(x)＝f(x＋T)改為f(x)≠f(x＋T)，故已知命題的否定是?x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)． (2)①改量詞，本題中省略了量詞“所有”，應(yīng)將其改為“有的”； ②否定結(jié)論

11、，“距離相等”改為“距離不相等”． 故已知命題的否定是“角平分線上有的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離不相等”． 1．全(特)稱命題真假的判斷方法 全稱 命題 (1)要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立； (2)要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．如舉例說明1中命題p的真假判斷 特稱 命題 要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．如舉例說明1中命題q的真假判斷 2.對(duì)全(特)稱命題進(jìn)行否

12、定的方法 (1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞； (2)否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可． 提醒：對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定．如舉例說明2(2)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n 答案　C 解析　命題p的量詞“?”改為“?”，“n2>2n”改為“n2≤2n”，故綈p：?n∈N，n2≤2n. 2．命

13、題p：存在x∈，使sinx＋cosx>；命題q：“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，則四個(gè)命題：(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　因?yàn)閟inx＋cosx＝sin≤，所以命題p是假命題；又特稱命題的否定是全稱命題，因此命題q為真命題．則(綈p)∨(綈q)為真命題，p∧q為假命題，(綈p)∧q為真命題，p∨(綈q)為假命題． 所以四個(gè)命題中正確的命題有2個(gè)．故選B. 題型 　根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 1．命題p：關(guān)

14、于x的不等式x2＋2ax＋4>0，對(duì)一切x∈R恒成立；命題q：函數(shù)f(x)＝(3－2a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案　(－∞，－2]∪[1,2) 解析　若p為真命題，則Δ＝(2a)2－4×1×4<0，解得－21，a<1，記B＝{a|a<1}． 因?yàn)閜或q為真，p且q為假， 所以p真q假或p假q真． 所以a∈A∩(?RB)或(?RA)∩B， 所以a∈[1,2)或a∈(－∞，－2]， 所以a的取值范圍是(－∞，－2]∪[1,2)． 2．已知f(x)＝ln (x2

15、＋1)，g(x)＝x－m，若對(duì)?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　x1∈[0,3]時(shí)，f(x1)∈[0，ln 10]，x2∈[1,2]時(shí)，g(x2)∈.因?yàn)閷?duì)?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需0≥－m，解得m≥. 條件探究　舉例說明2中，若將“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　當(dāng)x2∈[1,2]時(shí)，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥. 1．根據(jù)

16、復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟 (1)求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍； (2)根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p，q的真假； (3)根據(jù)命題p，q的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍．如舉例說明1. 2．根據(jù)全稱命題、特稱命題的真假求參數(shù)的取值范圍 (1)巧用三個(gè)轉(zhuǎn)化 ①全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，如舉例說明2. ②特稱命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題． ③全(特)稱命題假可轉(zhuǎn)化為特(全)稱命題真． (2)準(zhǔn)確計(jì)算 通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知命題p：函數(shù)f(x)＝2ax2

17、－x－1(a≠0)在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)y＝x2－a在(0，＋∞)上是減函數(shù)．若p且綈q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(1,2] 解析　由題意得，若命題p為真命題，則 或 解得a>1，記A＝{a|a>1}， 若命題q為真命題，則2－a<0，得a>2，記B＝{a|a>2}， 若p且綈q為真命題，則p真q假， 所以a∈A∩(?RB)＝(1,2]． 2．(2018·安徽皖南八校三模)若命題“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋9<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案　[－5,7] 解析　命題“?x∈R，使x2＋(a－1

18、)x＋9<0”的否定是“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋9≥0”，它是真命題，則(a－1)2－36≤0，－5≤a≤7. 高頻考點(diǎn)　常用邏輯用語 考點(diǎn)分析　有關(guān)四種命題及其真假判斷、充分必要條件的判斷或求參數(shù)的取值范圍、量詞等問題幾乎在每年高考中都會(huì)出現(xiàn)，通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多與函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，難度中等偏下． [典例1]　(2018·安徽安慶二模)下列說法中正確的是(　　) A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0” B．若“p且q”為假命題，則p，q均為假命題 C．若命題p：?x0∈R，使得x＋x0

19、＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1>0 D．x>1是x2>1的必要不充分條件 答案　A 解析　B錯(cuò)誤，若“p且q”為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題． C錯(cuò)誤，綈p：?x∈R，都有x2＋x＋1≥0. D錯(cuò)誤，x>1是x2>1的充分不必要條件． [典例2]　(2018·湖北新聯(lián)考四模)若x>2m2－3是－12m2－3是－1

20、)， ∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故選D. [典例3]　若?x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命題，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(2，3] C. D．{3} 答案　A 解析　?x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命題，所以其否定?x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立，為真命題．所以λ≤2x＋對(duì)x∈恒成立． 因?yàn)?x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝時(shí)，等號(hào)成立． 所以min＝2，所以λ≤2. 方法指導(dǎo)　1.理解基本概念，重視知識(shí)聯(lián)系,常用邏輯用語在高考題中常以客觀題的形式考查，屬于中、低檔題，因此，復(fù)習(xí)此部分內(nèi)容時(shí)，首先要重視基本概念，其次要注意熟練把握各類知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系. 2.加強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識(shí)、增強(qiáng)集合應(yīng)用 (1)轉(zhuǎn)化依據(jù) ①互為逆否的兩個(gè)命題真假性相同. ②p與綈p的真假性相反. (2)集合的應(yīng)用 ①p，q分別對(duì)應(yīng)集合A，B，則p∧q對(duì)應(yīng)A∩B，p∨q對(duì)應(yīng)A∪B，綈p對(duì)應(yīng)?UA. ②條件p，q分別對(duì)應(yīng)A，B，則p?q等價(jià)于A?B，q?p等價(jià)于B?A.