2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合及其運算

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合及其運算 最新考綱　1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關(guān)系及運算． 知 識 梳 理 1．元素與集合 (1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． 2．集合間的基本關(guān)系

2、 表示 關(guān)系　　　 文字語言 符號語言 集合間的基本關(guān)系 相等 集合A與集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一個元素均為B中的元素 A?B 真子集 A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 圖形語言 符號語言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 4.集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì)： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪

3、B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性質(zhì)： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 補集的性質(zhì)： A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A. 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)　精彩PPT展示 (1)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，則A＝B＝C.(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(×) (3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，則實數(shù)m＝1或m＝.(×) (4)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n－1，非空真

4、子集的個數(shù)是2n－2.(√) 2．(xx·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，則M∩N＝(　　) A．(－2,1) B．(－1,1) C．(1,3) D．(－2,3) 解析　借助數(shù)軸求解. 由圖知：M∩N＝(－1,1)． 答案　B 3．(xx·遼寧卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1} 解析　借助數(shù)軸求得：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}， ∴?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}． 答案　D

5、 4．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　集合A表示的是圓心在原點的單位圓，集合B表示的是直線y＝x，據(jù)此畫出圖象，可得圖象有兩個交點，即A∩B的元素個數(shù)為2. 答案　C 5．(人教A必修1P12A10改編)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則(?RA)∩B＝________. 解析　∵?RA＝{x|x＜3或x≥7}， ∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}． 答案　{x|2＜x＜3或7≤x＜10} 考

6、點一　集合的含義 【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 (2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 解析　(1)∵x－y＝{－2，－1,0,1,2}，∴其元素個數(shù)為5. (2)由ax2＋ax＋1＝0只有一個實數(shù)解，可得當(dāng)a＝0時，方程無實數(shù)解； 當(dāng)a≠0時，則Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合題意舍去)． 答案　(1)C　(2)A 規(guī)律方法　(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元

7、素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合．(2)集合中元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性． 【訓(xùn)練1】 已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 016＋b2 016＝________. 解析　由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2 016＋b2 016＝1. 答案　1 考點二　集合間的基本關(guān)系 【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

8、<2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為__________． (2)設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，則m＝__________. 解析　(1)當(dāng)B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2. 當(dāng)B≠?時，若B?A，如圖． 深度思考　(1)你會用這些結(jié)論嗎？ A∪B＝A?B?A， A∩B＝A?A?B， (?UA)∩B＝?? B?A； (2)你考慮到空集了嗎？ 則 解得2

9、m＋1)x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，則m＝1； ②若B＝{－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，這兩式不能同時成立， ∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由這兩式得m＝2. 經(jīng)檢驗知m＝1和m＝2符合條件．∴m＝1或2. 答案　(1)(－∞，4]　(2)1或2 規(guī)律方法　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，

10、否則會造成漏解．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系．常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題． 【訓(xùn)練2】 (1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A＝B B．A∩B＝? C．A?B D．B?A (2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析　(1)A＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，結(jié)合數(shù)軸可得： B?A. (2)由log2x≤2，得0＜x≤4， 即A＝{x|0＜x≤4

11、}， 而B＝{x|x＜a}， 由于A?B，如圖所示，則a＞4. 答案　(1)D　(2)(4，＋∞) 考點三　集合的基本運算 【例3】 (1)(xx·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，則A∩B＝(　　) A．? B．{2} C．{0} D．{－2} (2)(xx·江西卷)設(shè)全集為R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，則A∩(?RB)＝(　　) A．(－3,0) B．(－3，－1) C．(－3，－1] D．(－3,3) 解析　(1)B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，

12、∴A∩B＝{2}． (2)∵A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}， B＝{x|－1＜x≤5}， ∴?RB＝{x|x≤－1或x＞5}， ∴A∩(?RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}． 答案　(1)B　(2)C 規(guī)律方法　(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．(2)運算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運算簡化. 【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B

13、為(　　) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} (2)(xx·四川卷)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 解析　(1)?UA＝{0,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}． (2)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B為整數(shù)集， ∴A∩B＝{－1,0,1,2}． 答案　(1)C　(2)D 微型專題　集合背景下的新定義問題 以集合為背景的新定義問題，集合只是一種表述形式，實質(zhì)上考查的是考生接受新信息

14、、理解新情境、解決新問題的數(shù)學(xué)能力．解決此類問題，要從以下兩點入手： (1)正確理解創(chuàng)新定義．分析新定義的表述意義，把新定義所表達的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚，進而轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境，并能夠應(yīng)用到具體的解題之中，這是解決問題的基礎(chǔ)． (2)合理利用集合性質(zhì)．運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運算與性質(zhì)． 【例4】 (xx·青島質(zhì)檢)設(shè)集合M＝，N＝，且M，N都是集合{0|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長

15、度”的最小值是(　　) A. B． C. D． 點撥　先理解集合的“長度”，然后求M∩N的“長度”的最小值． 解析　由已知，可得即0≤m≤； 即≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝，N＝.所以M∩N＝∩＝.此時集合M∩N的“長度”的最小值為－＝.故選C. 答案　C 點評　本題的難點是理解集合的“長度”，解題時緊扣新定義與基礎(chǔ)知識之間的相互聯(lián)系，把此類問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進行求解. [思想方法] 1．在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確．

16、2．求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；其次，當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決，枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個數(shù)的好方法，使用時應(yīng)做到不重不漏． 3．對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． [易錯防范] 1．集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對集合進行化簡． 2．空集不含任何元素，但它是存在的，在利用A?B解題時，若不明確集合A是否為空集時應(yīng)對集合A的情況進行分類討論．如例2(1)“錯解1：由解得－3≤m≤4；錯解2：由解得2＜m≤4，錯因都是對集合

17、B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}”認(rèn)識不清． 3．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心． 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1．(xx·湖北卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，則?UA＝(　　) A．{1,3,5,6} B．{2,3,7} C．{2,4,7} D．{2,5,7} 解析　?UA＝{x|x∈U且x?A}＝{2,4,7}． 答案　C 2．(xx·廣州綜合測試)已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－x＝0}，則集合A∩B的子

18、集個數(shù)為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　∵B＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}， ∴A∩B＝{0,1}， ∴A∩B的子集個數(shù)為4. 答案　B 3．(xx·貴陽監(jiān)測)若集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，則集合A∪B＝(　　) A．{1} B．{1,2} C．{－1,1,2} D．{－1,1，－2} 解析　∵A＝{－1,1}，B＝{1,2}， ∴A∪B＝{－1,1,2}． 答案　C 4．(xx·山東卷)設(shè)集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|1≤x≤4}，則A∩B＝(　　) A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2)

19、 D．(1,4) 解析　∵A＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}∩{x|1≤x≤4}＝{x|1≤x＜2}． 答案　C 5．(xx·武漢檢測)設(shè)集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．P?Q B．Q?P C．P＝Q D．P∪Q＝R 解析　由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P?Q，故選A. 答案　A 6．設(shè)集合A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，則A∩B＝(　　) A．(2,3] B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1,

20、3] D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析　借助數(shù)軸得： ∴A∩B＝(2,3]． 答案　A 7．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，則實數(shù)a的取值集合為(　　) A．{－1,0,1} B．{－1,1} C．{－1,0} D．{0,1} 解析　因為A＝{1，－1}，當(dāng)a＝0時，B＝?，適合題意；當(dāng)a≠0時，B＝{}?A，則＝1或－1，解得a＝1或－1，所以實數(shù)a的取值集合為{－1,0,1}． 答案　A 8．(xx·長沙模擬)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為(　　)

21、 A．1 B．2 C．3 D．4 解析　A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A?C?B，則集合C可以為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故選D. 答案　D 二、填空題 9．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，則集合(?UB)∩A＝__________. 解析　∵?UB＝{x|x≤1}，∴(?UB)∩A＝{x|0＜x≤1}． 答案　{x|0＜x≤1} 10．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a的值為__________． 解析　由題意得a＋2＝3，則a＝1.此時A＝{－1,1

22、,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，滿足題意． 答案　1 11．(xx·山東卷改編)已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)＝__________. 解析　由題意知A∪B＝{1,2,3}， 又B＝{1,2}，∴?UB＝{3,4}， ∴A∩(?UB)＝{3}． 答案　{3} 12．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為__________． 解析　根據(jù)并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4. 答案　4 能力提升題組 (建議用時：15

23、分鐘) 13．(xx·皖南八校聯(lián)考)設(shè)集合M＝{(x，y)|y＝lg x}，N＝{x|y＝lg x}，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．M∩N≠? B．M∩N＝? C．M∪N＝N D．M∪N＝M 解析　因為M為點集，N為數(shù)集，所以M∩N＝?. 答案　B 14．已知集合A＝{(x ，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，則A∩B的元素有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析　在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝log2x與y＝x2－2x的圖象，如圖所示： 由圖可知y＝log2x與y＝x2－2x圖象有兩個交點，則A∩B的元素有2個． 答

24、案　B 15．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A?B，則實數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析　A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2＞0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}＝(0，c)，因為A?B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c≥1.應(yīng)選B. 答案　B 16．已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝，x＞2}，則?UP＝__________. 解析　∵U＝{y|y＝log2x，x＞1}＝{y|y＞0}， P＝{y|y＝，x＞2}＝{y|0＜y＜}， ∴?UP＝{y|y≥}． 答案　{y|y≥} 17．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}，若C∩A＝C，則a的取值范圍是__________． 解析　因為C∩A＝C，所以C?A. ①當(dāng)C＝?時，滿足C?A，此時－a≥a＋3，得a≤－； ②當(dāng)C≠?時，要使C?A，則 解得－＜a≤－1. 答案　(－∞，－1]