（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式學(xué)案 文

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1、 第七章 不 等 式 第一節(jié) 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式 本節(jié)主要包括2個知識點： 1.不等式的性質(zhì)； 2.一元二次不等式. 突破點(一)　不等式的性質(zhì) 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 1．比較兩個實數(shù)大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 特別提醒 對稱性 a＞b?b＜a ? 傳遞性 a＞b，b＞c?a＞c ? 可加性 a＞b?a＋c＞b＋c ? 可乘性 ?ac＞bc 注意c的符號 ?ac＜bc 同向可加性 ?a＋c＞b＋d ? 同向同正可乘性 ?ac＞bd＞0 ? 可

2、乘方性 a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1) a，b同為正數(shù) 可開方性 a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2) 3.不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) ①a＞b，ab＞0?＜.②a＜0＜b?＜.③a＞b＞0,0＜c＜d?＞.④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜. (2)有關(guān)分數(shù)的性質(zhì) 若a＞b＞0，m＞0，則：①＜；＞(b－m＞0)．②＞；＜(b－m＞0). 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 比較兩個數(shù)(式)的大小 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系

3、是________． (2)若a＝，b＝，則a________b(填“＞”或“＜”)． [解析]　(1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M ＞N. (2)易知a，b都是正數(shù)，＝＝log89＞1，所以b＞a. [答案]　(1)M ＞N　(2)＜ [方法技巧]　　比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法 不等式的性質(zhì) [例2]　(1)(2018·泰州期初測試)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,

4、2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________． (2)下列命題： ①若a＞b，c＞d，則ac＞bd； ②若ac＞bc，則a＞b； ③若＜，則a＜b； ④若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d. 其中正確命題的序號是________． (3)(2018·興化八校聯(lián)考)“x1＞3且x2＞3”是“x1＋x2＞6且x1x2＞9”的________條件． [解析]　(1)由題意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b. 設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，則解得∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2

5、,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10，即f(－2)的取值范圍為[5,10]． (2)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知①錯誤；當(dāng)c＜0時，ac＞bc?a＜b，∴②錯誤；∵＜，∴c≠0，又c2＞0，∴a＜b，③正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知④錯誤． (3)x1＞3，x2＞3?x1＋x2＞6，x1x2＞9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20，x1＋x2＝＞6，x1x2＝10＞9，但x1＜3.故“x1＞3且x2＞3”是“x1＋x2＞6且x1x2＞9”的充分不必要條件． [答案]　(1)[5,10]　(2)③　(3)充分不必要 [方法技巧] 不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類

6、型及解題策略 (1)不等式成立問題．熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件． (2)與充分、必要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用． (3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1.設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是________． 解析：由題意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B. 答案：A≥B 2.若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式

7、中成立的序號是________． ①－n＜m＜n＜－m；②－n＜m＜－m＜n；③m＜－n＜－m＜n；④m＜－n＜n＜－m. 解析：法一：(特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各不等式中檢驗即可． 法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立． 答案：④ 3.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結(jié)論：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的個數(shù)是________． 解析：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞

8、0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的個數(shù)為3. 答案：3 4.設(shè)a，b是實數(shù)，則“a＞b＞1”是“a＋＞b＋”的________條件． 解析：因為a＋－＝，若a＞b＞1，顯然a＋－＝＞0，則充分性成立；當(dāng)a＝，b＝時，顯然不等式a＋＞b＋成立，但a＞b＞1不成立，所以必要性不成立． 答案：充分不必要 突破點(二)　一元二次不等式) 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 1

9、．三個“二次”之間的關(guān)系 判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有兩個相異實根x1，x2(x1＜x2) 有兩個相等實根x1＝x2＝－ 沒有實數(shù)根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? 2.不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的條件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0對任意實數(shù)x恒成立?或 (2)不等式ax2＋

10、bx＋c＜0對任意實數(shù)x恒成立?或 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 一元二次不等式的解法 　解一元二次不等式的方法和步驟 [例1]　解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4； (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． [解]　(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集為. (2)原不等式等價于? ?? 借助于數(shù)軸，如圖所示， 原不等式的解集為. (3)原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0， 因為a＞0，所以a(x－1)＜0.

11、所以當(dāng)a＞1，即＜1時，解為＜x＜1； 當(dāng)a＝1時，解集為?； 當(dāng)0＜a＜1，即＞1時，解為1＜x＜. 綜上，當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為； 當(dāng)a＝1時，不等式的解集為?； 當(dāng)a＞1時，不等式的解集為. [方法技巧] 解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù) (1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式． (2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關(guān)系． (3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．　　 由一元二次不等式恒成

12、立求參數(shù)范圍 對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值． 考法(一)　在實數(shù)集R上恒成立 [例2]　已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在實數(shù)m使得對所有的實數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． [解]　不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方． 當(dāng)m＝0時，1－2x＜0，則x＞，不滿足題意； 當(dāng)m≠0時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x

13、－m＋1為二次函數(shù)， 需滿足開口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0無解， 即 不等式組的解集為空集，即m無解． 綜上可知不存在這樣的實數(shù)m使不等式恒成立． 考法(二)　在某區(qū)間上恒成立 [例3]　設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍． [解]　要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，則mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 當(dāng)m＞0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以

14、m＜，則0＜m＜. 當(dāng)m＜0時，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，則m＜0. 綜上所述，m的取值范圍是. 法二：因為x2－x＋1＝2＋＞0， 又因為m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因為函數(shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m＜即可． 因為m≠0，所以m的取值范圍是mm＜0或0＜m＜. 考法(三)　在參數(shù)的某區(qū)間上恒成立時求變量范圍 [例4]　對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍． [解]　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－

15、4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 則原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)問題． 由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， ∴ 解得x＜1或x＞3. 故當(dāng)x的取值范圍是(－∞，1)∪(3，＋∞)時，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零． [易錯提醒] 解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1.(2018·常州月考)已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x2)＞

16、f(3－2x)的解集是________． 解析：當(dāng)x≤時，原不等式化為x2＞3－2x，解得x＜－3或1＜x≤； 當(dāng)x＞時，原不等式化為x2＞(3－2x)2，解得＜x＜3. 綜上，x＜－3或1＜x＜3. 答案：(－∞，－3)∪(1,3) 2.已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，則a＋b等于________． 解析：由題意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a＝－1，b＝－2，則a＋b＝－3. 答案：－3 3.(2018·無錫期初測試

17、)定義在R上的運算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)y的取值范圍是________． 解析：∵(x－y)*(x＋y)＝(x－y)(1－x－y)＝x－x2－y＋y2＜1.∴ －y＋y2＜x2－x＋1，要使該不等式對一切實數(shù)x恒成立，則需有－y＋y2＜(x2－x＋1)min＝，解得－＜y＜. 答案： 4.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是________． 解析：原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a＜1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；當(dāng)a＝1時，不等式的解為

18、x＝1，此時符合要求；當(dāng)a＞1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1＜a≤3.綜上可得－4≤a≤3. 答案：[－4,3] 5.要使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，當(dāng)|a|≤1時恒成立，則x的取值范圍為________． 解析：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因為f(a)＞0在|a|≤1時恒成立，所以①若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應(yīng)舍去．②若x≠3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x＜2或x＞4. 答案：(－∞，2)∪(4，＋∞) [課時達標(biāo)檢測] 　　 重點保分課時—

19、—一練小題夯雙基，二練題點過高考 [練基礎(chǔ)小題——強化運算能力] 1．若a＞b＞0，則下列不等式成立的序號有________． ①＜；②|a|＞|b|； ③a＋b＜2；④a＜b. 解析：∵a＞b＞0，∴＜，且|a|＞|b|，a＋b＞2，又f(x)＝x是減函數(shù)，∴a＜b. 答案：①②④ 2．(2018·啟東中學(xué)月考)若不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________． 解析：當(dāng)k＝0時，顯然成立； 當(dāng)k≠0時，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數(shù)x都成立，則解得－3＜k＜0. 綜上，滿足不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數(shù)x都成立的k

20、的取值范圍是(－3,0]． 答案：(－3,0] 3．不等式組的解集是________． 解析：∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3.又∵2x2－7x＋6＞0，∴(x－2)(2x－3)＞0，∴x＜或x＞2，∴原不等式組的解集為∪(2,3)． 答案：∪(2,3) 4．已知關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋c＞0的解集為－，，則不等式－cx2＋2x－a＞0的解集為________． 解析：依題意知，∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a＞0，即為－2x2＋2x＋12＞0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.所以不等式的解集為(－2,3)． 答案：(－2,3) [練常考題點——

21、檢驗高考能力] 一、填空題 1．設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B為函數(shù)y＝的定義域，則A∩B＝________. 解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1＞0得x＞1，即B＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|1＜x≤2}． 答案：{x|1＜x≤2} 2．已知a，b，c∈R，則下列命題正確的序號是________． ①ac2＞bc2?a＞b；②＞?a＞b； ③?＞；④?＞. 解析：當(dāng)ac2＞bc2時，c2＞0，所以a＞b，故①正確；當(dāng)c＜0時，＞?a＜b，故②錯誤；因為－＝＞0?或故④錯誤，③正確． 答案：①③ 3．已知a＞0，且a≠1，m

22、＝aa2＋1，n＝aa＋1，則m，n的大小關(guān)系是________． 解析：由題易知m＞0，n＞0，兩式作商，得＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，當(dāng)a＞1時，a(a－1)＞0，所以aa(a－1)＞a0＝1，即m＞n；當(dāng)0＜a＜1時，a(a－1)＜0，所以aa(a－1)＞a0＝1，即m＞n.綜上，對任意的a＞0，a≠1，都有m＞n. 答案：m＞n 4．若不等式組的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：不等式x2－2x－3≤0的解集為[－1,3]，假設(shè)的解集為空集，則不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集為集合{x|x＜－1或x＞3}的子集，因為函數(shù)f(x)

23、＝x2＋4x－(a＋1)的圖象的對稱軸方程為x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a＞0，即a＜－4，則使的解集不為空集的a的取值范圍是a≥－4. 答案：[－4，＋∞) 5．若不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________． 解析：由Δ＝a2＋8＞0，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負，所以方程必有一正根、一負根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范圍為. 答案： 6．(2018·無錫中學(xué)模擬)在R上定義運算：＝ad－bc，若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為________． 解析：

24、由定義知，不等式≥1等價于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a對任意實數(shù)x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，則實數(shù)a的最大值為. 答案： 7．(2018·姜堰中學(xué)月考)若關(guān)于x的不等式(2x－1)2＜kx2的解集中整數(shù)恰好有2個，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：因為原不等式等價于(－k＋4)x2－4x＋1＜0，從而方程(－k＋4)x2－4x＋1＝0的判別式Δ＝4k＞0，且有4－k＞0，故0＜k＜4.又原不等式的解集為＜x＜，且＜＜，則1,2一定為所求的整數(shù)解，所以2＜≤3，得k的取值范圍為. 答案： 8．若0＜a＜1，則不等

25、式(a－x)＞0的解集是________． 解析：原不等式為(x－a)＜0，由0＜a＜1得a＜，∴a＜x＜. 答案： 9．已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則不等式f(x)＜4的解集為________． 解析：若x＞0，則－x＜0，則f(－x)＝bx2＋3x.因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝當(dāng)x≥0時，由x2－3x＜4解得0≤x＜4；當(dāng)x＜0時，由－x2－3x＜4解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集為(－∞，4)． 答案：(－∞，4) 10．(2018·鹽城中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇

26、函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f(x)＝－x2－3x，則不等式f(x－1)＞－x＋4的解集是________． 解析：由題意得f(x)＝ f(x－1)＝ 即f(x－1)＝ 所以不等式f(x－1)＞－x＋4可化為 或解得x＞4. 答案：(4，＋∞) 二、解答題 11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解關(guān)于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集為(－1,3)，求實數(shù)a，b的值． 解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6， ∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0， 即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2. ∴

27、不等式的解集為{a|3－2＜a＜3＋2}． (2)∵f(x)＞b的解集為(－1,3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3， ∴解得 故a的值為3＋或3－，b的值為－3. 12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x＞0)的最小值； (2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍． 解：(1)依題意得y＝＝＝x＋－4. 因為x＞0，所以x＋≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，即x＝1時，等號成立． 所以y≥－2. 所以當(dāng)x＝1時，y＝的最小值為－2. (2)因為f(x)－a＝x2－2ax

28、－1， 所以要使得“對任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1， 則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可． 所以即 解得a≥.則a的取值范圍為. 第二節(jié)二元一次不等式(組) 與簡單的線性規(guī)劃問題 本節(jié)主要包括3個知識點： 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域； 2.簡單的線性規(guī)劃問題； 3.線性規(guī)劃的實際應(yīng)用. 突破點(一)　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By

29、＋C＞0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法步驟 以上簡稱為“直線定界，特殊點定域”. 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 求平面區(qū)域的面積 1.求平面區(qū)域的面積，要先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積． 2．求平面區(qū)域的面積問題，平面區(qū)域形狀為三角形的居多，尤其當(dāng)△ABC為等腰直角三角形(A為直角)時，點B到直線AC的距離即△ABC的腰長|AB|.由點到直線的距離公式求得|A

30、B|，面積便可求出． [例1]　不等式組表示的平面區(qū)域的面積為________． [解析]　 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即所求．求出點A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. [答案]　1 [方法技巧] 解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟 (1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域； (2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點坐標(biāo)、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補法求解． [提醒]　求面積時應(yīng)考慮圓、平

31、行四邊形等圖形的對稱性．　　 根據(jù)平面區(qū)域滿足的條件求參數(shù) 不等式組中的參數(shù)影響平面區(qū)域的形狀，如果不等式組中的不等式含有參數(shù)，這時它表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線，此時要根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定這條直線的變化趨勢、傾斜角度、上升還是下降、是否過定點等，確定區(qū)域的可能形狀，進而根據(jù)題目要求求解；如果是一條曲線與平面區(qū)域具有一定的位置關(guān)系，可以考慮對應(yīng)的函數(shù)的變化趨勢，確定極限情況求解；如果目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則要根據(jù)這個目標(biāo)函數(shù)的特點考察參數(shù)變化時目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的關(guān)系，在運動變化中求解． [例2]　若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是________． [解

32、析]　不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)．由得A，；由得B(1,0)．若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線x＋y＝a中a的取值范圍是0＜a≤1或a≥. [答案]　(0,1]∪ [易錯提醒] 此類問題的難點在于參數(shù)取值范圍的不同導(dǎo)致平面區(qū)域或者曲線位置的改變，解答的思路可能會有變化，所以求解時要根據(jù)題意進行必要的分類討論及對特殊點、特殊值的考慮．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1.設(shè)動點P(x，y)在區(qū)域Ω：上，過點P任作直線l，設(shè)直線l與區(qū)域Ω的公共部分為線段AB，則以AB為直徑的圓的面積的最大值為________． 解析：作出不等式組所表示的可行域

33、如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，AB長度的最大值為4，則以AB為直徑的圓的面積為最大值S＝π×2＝4π. 答案：4π 2.若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為________． 解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示， 易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，，D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)． 答案：1 3.不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知S△

34、ABC＝×2×(2＋2)＝4. 答案：4 4.若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為________． 解析： 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a＝0時，只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；當(dāng)a＝－1時，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5個整點，此時，整點的個數(shù)共9個，故整數(shù)a＝－1. 答案：－1 突破點(二)　簡單的線性規(guī)劃問題 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 1．線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成

35、的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 　　2.簡單線性規(guī)劃問題的圖解法 在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、答”．即 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 線性目標(biāo)函數(shù)的最值

36、[例1]　(1)(2017·山東高考)已知x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值是________． (2)(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是________． [解析]　(1)作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，將直線y＝－＋進行平移，顯然當(dāng)該直線過點A時z取得最大值，由解得即A(－3,4)，所以zmax＝－3＋8＝5. (2)法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當(dāng)直線z＝2x＋y過點B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15. 法二

37、：易求可行域頂點A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出對應(yīng)的z的值依次為1，－15,9，故最小值為－15. [答案]　(1)5　(2)－15 [方法技巧] 求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的常用方法 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值．　　 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 [例2]　(1)(2018·無錫期初測試)已知變量x，y滿足條件則的取值范圍是_

38、_______． (2)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是________． [解析]　(1)畫出可行域如圖所示，等價于點(x，y)到點(2,0)連線的斜率，又kAB＝－2，kBO＝0，從而∈[－2,0]． (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方，由得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10. [答案]　(1)[－2,0]　(2)10 [方法技巧] 非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及求法 (1)距離平方型：目標(biāo)函數(shù)為z＝(x－a)2＋(y－b)2時，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(

39、x，y)與點(a，b)之間的距離的平方求解． (2)斜率型：對形如z＝(ac≠0)型的目標(biāo)函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先變形為z＝·　　 的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與點連線的斜率的倍的取值范圍、最值等． (3)點到直線距離型：對形如z＝|Ax＋By＋C|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z＝·的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍的最值. 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 [例3]　已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝________. [解析]　畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若z＝ax＋y的最大值為4

40、，則最優(yōu)解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，經(jīng)檢驗知x＝2，y＝0符合題意，∴2a＋0＝4，此時a＝2. [答案]　2 [方法技巧] 求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法 (1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍； (2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________． 解析： 畫出不等式組 所表示的可行域如

41、圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線y＝x－過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得 ∴zmin＝－5. 答案：－5 2.已知(x，y)滿足則k＝的最大值為________． 解析： 如圖，不等式組表示的平面區(qū)域為△AOB的邊界及其內(nèi)部區(qū)域，k＝＝表示平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)和點(－1,0)連線的斜率．由圖知，平面區(qū)域內(nèi)的點(0,1)和點(－1,0)連線的斜率最大，所以kmax＝＝1. 答案：1 3.(2018·銀川模擬)設(shè)z＝x＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為________． 解析： 作出實數(shù)x，y滿足的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示

42、，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過點C(k，k)時，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過點B(－6,3)時，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3. 答案：－3 4.(2018·蘇州月考)設(shè)x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為2，則＋的最小值為________． 解析： 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線ax＋by＝z(a＞0，b＞0)過直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點(4,6)時，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值2，即2a＋3b＝1，而＋(2a＋3b)＝13＋6≥25. 答

43、案：25 5.設(shè)x，y滿足約束條件則z＝(x＋1)2＋y2的最大值為________． 解析： 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． (x＋1)2＋y2可看作點(x，y)到點P(－1，0)的距離的平方，由圖可知可行域內(nèi)的點A到點P(－1，0)的距離最大． 解方程組得A點的坐標(biāo)為(3,8)， 代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80 突破點(三)　線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 [

44、典例]　某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900 元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． [解析]　設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即 目標(biāo)函數(shù)為z＝2 100x＋900y， 由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分． 作直線2 100x＋90

45、0y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得B(60,100)． 則zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案]　216 000 [方法技巧] 求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個注意點 (1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號． (2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負數(shù)等． (3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1．某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若

46、a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)校今年計劃招聘教師最多x名，則x＝________. 解析： 如圖所示，畫出約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線b＋a＝0，并平移，結(jié)合a，b∈N，可知當(dāng)a＝6，b＝7時，a＋b取最大值，故x＝6＋7＝13. 答案：13 2．A，B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品．已知A產(chǎn)品需要在甲機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；B產(chǎn)品需要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時．在一個工作日內(nèi)，甲機器至多只能使用11小時，乙機器至多只能使用9小時．A產(chǎn)品每件利潤300元，B產(chǎn)品每件利潤400元，則這兩臺機器在一個工作日內(nèi)創(chuàng)造的

47、最大利潤是________元． 解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則x，y滿足約束條件生產(chǎn)利潤為z＝300x＋400y.畫出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點，顯然z＝300x＋400y在點M或其附近的整數(shù)點處取得最大值， 由方程組解得則zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利潤是1 700元． 答案：1 700 3．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為________萬元. 甲 乙 原料限額 A(

48、噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 解析： 設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影部分所示， 由圖形可知，當(dāng)直線z＝3x＋4y經(jīng)過點A(2,3)時，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18. 答案：18 4．制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能出的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項

49、目各投資多少萬元才能使可能的盈利最大？ 解：設(shè)分別向甲、乙兩項目投資x萬元，y萬元，由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y，作出可行域如 圖所示，作直線l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直線l0的一組直線x＋0.5y＝z，z∈R，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且與直線x＋0.5y＝0的距離最大，這里M點是直線x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點，解方程組解得x＝4，y＝6， 此時z＝1×4＋0.5×6＝7(萬元) ∵ 7＞0，∴當(dāng)x＝4，y＝6時z取得最大值． ∴投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最

50、大． [課時達標(biāo)檢測] 　　 重點保分課時——一練小題夯雙基，二練題點過高考　 [練基礎(chǔ)小題——強化運算能力] 1．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________． 解析：平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.∴S△ABC＝××1＝. 答案： 2．若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為________． 解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示．作直線x＋2y＝0并上下平移，易知當(dāng)直線過點A(0,1)時，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2. 答案：2 3．若x，y滿足約束條件則(x＋2)2＋(y＋

51、3)2的最小值為________． 解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，由題意可知點P(－2，－3)到直線x＋y＋2＝0的距離為＝，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值為2＝. 答案： 4．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為________． 解析：根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，當(dāng)該直線經(jīng)過點A(2,2)時，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4. 答案：4 5．(2018·常州月考)已知實數(shù)x，y滿足條件則y－x的最大值為________． 解析：令z＝y(tǒng)－x，作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，作出指數(shù)函數(shù)y

52、＝x，平移函數(shù)y＝x的圖象，可知當(dāng)函數(shù)y＝x＋z的圖象經(jīng)過點A時z取最大值．由得A(1,1)，所以x＝y(tǒng)＝1時，y－x取最大值. 答案： [練?？碱}點——檢驗高考能力] 一、填空題 1．(2018·東臺中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a＝________. 解析： 不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示． 則A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a＞－1， ∵ S△ABC＝2，∴ (1＋a)×1＝2，解得a＝3. 答案：3 2．(2018·江蘇八市高三質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋2y的最小值是10，則

53、z的最大值是________． 解析： 由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，作出不等式組所表示可行域的大致圖形如圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)直線y＝－3x＋經(jīng)過點C時，直線的縱截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由解得即C(2，－1)，將其代入直線方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直線方程為－2x＋y＋5＝0，平移直線3x＋y＝0，當(dāng)直線經(jīng)過點D時，直線的縱截距最大，此時z取最大值，由得即D(3,1)，將點D的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20. 答案：20 3．(2017·浙江高考)若x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的取值范圍是________．

54、 解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－x＋， ∴是直線y＝－x＋在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當(dāng)直線y＝－x＋過A點時，取得最小值．由得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此時，z＝4，∴z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)． 答案：[4，＋∞) 4．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)若x，y滿足約束條件則z＝y(tǒng)－x的取值范圍為________． 解析： 作出可行域如圖所示，設(shè)直線l：y＝x＋z，平移直線l，易知當(dāng)l過直線3x－y＝0與x＋y－4＝0的交點(1,3)時，z取得最大值2；當(dāng)l與拋物線y＝x2相切時，z取得最小值，由消去y得x2－2x－

55、2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－，故－≤z≤2. 答案： 5．在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點在直線x＋y－2＝0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|＝________. 解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，過點C，D分別作直線x＋y－2＝0的垂線，垂足分別為A，B，則四邊形ABDC為矩形，由得C(2，－2)．由得D(－1,1)．所以|AB|＝|CD|＝＝3. 答案：3 6．若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：作出不等式組表示的平

56、面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)a＝0時，顯然成立． 當(dāng)a＞0時，直線ax＋2y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，a＜2. 當(dāng)a＜0時，k＝－＜kAB＝2，∴ a＞－4.綜上可得－4＜a＜2. 答案：(－4,2) 7．若直線y＝2x上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為________． 解析：約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示．當(dāng)直線x＝m從如圖所示的實線位置運動到過A點的虛線位置時，m取最大值．解方程組得A點坐標(biāo)為(1,2)，∴m的最大值是1. 答案：1 8．(2018·如東中學(xué)月考)當(dāng)實數(shù)x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________

57、． 解析：作出不等式組所表示的區(qū)域如圖所示，由1≤ax＋y≤4得，a≥0，且在(1,0)點取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a≥1,2a＋1≤4，故a取值范圍為. 答案： 9．已知x，y滿足則的取值范圍是________． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，因為＝＝1＋，而表示平面區(qū)域內(nèi)的點與點A(4,2)連線的斜率，由圖知斜率的最小值為0，最大值為kAB＝＝，所以1＋的取值范圍是，即的取值范圍是. 答案： 10．實數(shù)x，y滿足不等式組則z＝|x＋2y－4|的最大值為________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． z＝|x＋2y－4|＝·，即

58、其幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線x＋2y－4＝0的距離的倍． 由得B點坐標(biāo)為(7,9)，顯然點B到直線x＋2y－4＝0的距離最大，此時zmax＝21. 答案：21 二、解答題 11．若x，y滿足約束條件 (1)求目標(biāo)函數(shù)z＝x－y＋的最值； (2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍． 解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)． 平移初始直線x－y＋＝0，可知z＝x－y＋過A(3,4)時取最小值－2，過C(1,0)時取最大值1. 所以z的最大值為1，最小值為－2. (2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得

59、最小值，由圖象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2. 故所求a的取值范圍為(－4,2)． 12．(2017·天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時長(分鐘) 廣告播放時長(分鐘) 收視人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．

60、(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ 解：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點． (2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時，z的值最大． 又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 解方程組得點M的坐標(biāo)為(

61、6,3)． 所以電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多． 第三節(jié)基本不等式 本節(jié)主要包括2個知識點： 1.利用基本不等式求最值； 2.基本不等式的綜合問題. 突破點(一)　利用基本不等式求最值 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． 2．幾個重要的不等式 不等式 成立條件 等號成立條件 a2＋b2≥2ab a，b∈R a＝b ＋≥2 a，b同號 a＝b ab≤2 a，b∈R a＝b ≥2 a，b∈R a＝

62、b 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4．利用基本不等式求最值問題 已知x＞0，y＞0，則： (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 通過拼湊法利用基本不等式求最值　 [例1]　(1)已知0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為________． (2)已知x＜，則f(

63、x)＝4x－2＋的最大值為________． [解析]　(1)∵0＜x＜1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時，等號成立． (2)因為x＜，所以5－4x＞0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時，等號成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. [答案]　(1)　(2)1 [方法技巧] 通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略 拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題： (1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，

64、做到等價變形； (2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)； (3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．　　 通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值 [例2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為________． [解析]　∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立． [答案]　4 [方法技巧] 常數(shù)代換法求最值的方法步驟 常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為： (1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))； (2)把確定的定值(常數(shù))變形為1； (3)把“1”

65、的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式； (4)利用基本不等式求解最值．　　 　通過消元法利用基本不等式求最值 [例3]　已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________． [解析]　因為xy＋2x＋y＝4，所以x＝.由x＝＞0，得－2＜y＜4，又y＞0，則0＜y＜4，所以x＋y＝＋y＝＋(y＋2)－3≥2－3，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)＋2(0＜y＜4)，即y＝－2時取等號． [答案]　2－3 [方法技巧] 通過消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的

66、問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1.(2018·?？谡{(diào)研)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，則ab的最大值為________． 解析：∵a，b∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立． 答案： 2.已知函數(shù)y＝x－4＋(x＞－1)，當(dāng)x＝a時，y取得最小值b，則a＋b＝________. 解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因為x＞－1，所以x＋1＞0，＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＝2時取等號，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案：3 3.已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________． 解析：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號，令x＋3y＝t，則t＞0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6. 答案：6 4.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則的最小值為________． 解析：＝＝