江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 規(guī)范答題示例6 應(yīng)用題學(xué)案

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 規(guī)范答題示例6 應(yīng)用題學(xué)案 典例6　 (14分)某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點(diǎn))，與左右兩邊相交(F，G為其中兩個(gè)交點(diǎn))，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1 m，且≥.設(shè)∠EOF＝θ，透光區(qū)域的面積為S. (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域； (2)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊AB的長(zhǎng)度． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→→→→ 規(guī) 范 解 答·分 步

2、得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)過點(diǎn)O作OH⊥FG于點(diǎn)H，則∠OFH＝∠EOF＝θ， 所以O(shè)H＝OFsin θ＝sin θ， FH＝OFcos θ＝cos θ，2分 所以S＝4S△OFH＋4S扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×θ＝sin 2θ＋2θ，4分 因?yàn)椤?，所以sin θ≥， 所以定義域?yàn)?6分 (2)矩形窗面的面積S矩形＝AD·AB＝2×2sin θ＝4sin θ.7分 則透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值為＝＋.8分 設(shè)f(θ)＝＋，≤θ<. 則f′(θ)＝－sin θ＋ ＝＝＝，10分 因?yàn)椤堞?，所以sin 2θ≤，所以sin 2θ－

3、θ<0，故f′(θ)<0， 所以函數(shù)f(θ)在上單調(diào)遞減． 所以當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)有最大值＋，此時(shí)AB＝2sin θ＝1(m).13分 答　(1)S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S＝sin 2θ＋2θ，定義域?yàn)椋? (2)當(dāng)透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)，邊AB的長(zhǎng)度為1 m．14分 第一步 細(xì)審題，找關(guān)系：通過閱讀題目，抓住關(guān)鍵信息，找出題目中影響結(jié)論的變量及其相互關(guān)系； 第二步 設(shè)變量，建模型：用字母表示變量，建立函數(shù)或其他數(shù)學(xué)模型； 第三步 用數(shù)學(xué)，解模型：利用函數(shù)或者其他數(shù)學(xué)知識(shí)方法解決數(shù)學(xué)模型； 第四步 要檢驗(yàn)，來作答：檢驗(yàn)問題的實(shí)際意義，最后進(jìn)行作答. 評(píng)分細(xì)

4、則　(1)求出OH，F(xiàn)H的長(zhǎng)度給2分； (2)求出S的表達(dá)式給2分，無定義域扣2分； (3)求出總面積的表達(dá)式給1分； (4)求出f(θ)的表達(dá)式給1分； (5)正確求導(dǎo)f′(θ)，給2分； (6)求出f(θ)的最大值給3分，無最后結(jié)論扣1分． 跟蹤演練6　(2018·啟東期末)如圖，在圓心角為90°，半徑為60 cm的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鐵皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗)，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB＝x cm，圓柱形鐵皮罐的容積為V cm3. (1)求圓柱形鐵皮罐的容積

5、V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積V最大？最大容積是多少？ (圓柱體積公式：V＝Sh，S為圓柱的底面枳，h為圓柱的高) 解　(1)連結(jié)OB，在Rt△OAB中，由AB＝x，利用勾股定理可得OA＝， 設(shè)圓柱底面半徑為r， 則＝2πr， 即4π2r2＝3 600－x2， 所以V(x)＝πr2x＝π··x＝， 即鐵皮罐的容積V(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為V(x)＝，定義域?yàn)?0,60)． (2)由V ′(x)＝＝0，x∈(0,60)，得x＝20. 當(dāng)x變化時(shí)，V(x)，V′(x)的變化情況如表所示： x (0,20) 20 (20，60) V′(x) ＋ 0 － V(x)  極大值V(20)  所以當(dāng)x＝20時(shí)，V(x)有極大值，也是最大值. 答　當(dāng)x為20 cm時(shí)，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是 cm3.