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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題七 應(yīng)用題 規(guī)范答題示例6 應(yīng)用題學案
典例6 (14分)某景區(qū)修建一棟復古建筑,其窗戶設(shè)計如圖所示.圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合,且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點),與左右兩邊相交(F,G為其中兩個交點),圖中陰影部分為不透光區(qū)域,其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1 m,且≥.設(shè)∠EOF=θ,透光區(qū)域的面積為S.
(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)根據(jù)設(shè)計要求,透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當該比值最大時,求邊AB的長度.
審題路線圖 (1)→→
(2)→→→→→
規(guī) 范 解 答·分 步
2、得 分
構(gòu) 建 答 題 模 板
解 (1)過點O作OH⊥FG于點H,則∠OFH=∠EOF=θ,
所以O(shè)H=OFsin θ=sin θ,
FH=OFcos θ=cos θ,2分
所以S=4S△OFH+4S扇形OEF
=2sin θcos θ+4×θ=sin 2θ+2θ,4分
因為≥,所以sin θ≥,
所以定義域為.6分
(2)矩形窗面的面積S矩形=AD·AB=2×2sin θ=4sin θ.7分
則透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值為=+.8分
設(shè)f(θ)=+,≤θ<.
則f′(θ)=-sin θ+
===,10分
因為≤θ<,所以sin 2θ≤,所以sin 2θ-
3、θ<0,故f′(θ)<0,
所以函數(shù)f(θ)在上單調(diào)遞減.
所以當θ=時,f(θ)有最大值+,此時AB=2sin θ=1(m).13分
答 (1)S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S=sin 2θ+2θ,定義域為;
(2)當透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時,邊AB的長度為1 m.14分
第一步
細審題,找關(guān)系:通過閱讀題目,抓住關(guān)鍵信息,找出題目中影響結(jié)論的變量及其相互關(guān)系;
第二步
設(shè)變量,建模型:用字母表示變量,建立函數(shù)或其他數(shù)學模型;
第三步
用數(shù)學,解模型:利用函數(shù)或者其他數(shù)學知識方法解決數(shù)學模型;
第四步
要檢驗,來作答:檢驗問題的實際意義,最后進行作答.
評分細
4、則 (1)求出OH,F(xiàn)H的長度給2分;
(2)求出S的表達式給2分,無定義域扣2分;
(3)求出總面積的表達式給1分;
(4)求出f(θ)的表達式給1分;
(5)正確求導f′(θ),給2分;
(6)求出f(θ)的最大值給3分,無最后結(jié)論扣1分.
跟蹤演練6 (2018·啟東期末)如圖,在圓心角為90°,半徑為60 cm的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料OABC,其中點O為圓心,點B在圓弧上,點A,C在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鐵皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長AB=x cm,圓柱形鐵皮罐的容積為V cm3.
(1)求圓柱形鐵皮罐的容積
5、V關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)當x為何值時,才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積V最大?最大容積是多少? (圓柱體積公式:V=Sh,S為圓柱的底面枳,h為圓柱的高)
解 (1)連結(jié)OB,在Rt△OAB中,由AB=x,利用勾股定理可得OA=,
設(shè)圓柱底面半徑為r,
則=2πr,
即4π2r2=3 600-x2,
所以V(x)=πr2x=π··x=,
即鐵皮罐的容積V(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為V(x)=,定義域為(0,60).
(2)由V ′(x)==0,x∈(0,60),得x=20.
當x變化時,V(x),V′(x)的變化情況如表所示:
x
(0,20)
20
(20,60)
V′(x)
+
0
-
V(x)
極大值V(20)
所以當x=20時,V(x)有極大值,也是最大值.
答 當x為20 cm時,做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大,最大容積是 cm3.