（文理通用）2022屆高考數(shù)學大二輪復習 第1部分 專題4 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習

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1、（文理通用）2022屆高考數(shù)學大二輪復習 第1部分 專題4 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習 A組 1．(2018·唐山模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8＝( D ) A．18　　　 B．12　　　　 C．9　　　 D．6 [解析]　本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式． 由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故選D． 2．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝( C ) A．31 B．32

2、 C．63 D．64 [解析]　解法一：由條件知：an>0，且 ∴ ∴q＝2. ∴a1＝1，∴S6＝＝63. 解法二：由題意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63. 3．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于( D ) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析]　由題可得所以a>0，b>0，不妨設a>b，所以等比數(shù)列為a，－2，b或b，－2，a從而得到ab＝

3、4＝q，等差數(shù)列為a，b，－2或－2，b，a從而得到2b＝a－2，兩式聯(lián)立解出a＝4，b＝1，所以p＝a＋b＝5，所以p＋q＝4＋5＝9. 4．(2017·山西四校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝( C ) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 [解析]　本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列． ∵a1，a3,2a2成等差數(shù)列，∴a3×2＝a1＋2a2， 即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)， ∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 5．正項等比數(shù)列{an}滿足：a3＝a2＋2a1，若存在am

4、，an，使得am·an＝16a，m，n∈N*，則＋的最小值為( C ) A．2 B．16 C． D． [解析]　設數(shù)列{an}的公比為q，a3＝a2＋2a1?q2＝q＋2?q＝－1(舍)或q＝2，∴an＝a1·2n－1，am·an＝16a?a·2m＋n－2＝16a?m＋n＝6，∵m，n∈N*，∴(m，n)可取的數(shù)值組合為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，計算可得，當m＝2，n＝4時，＋取最小值. 6．已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝，d＝－1. [解析]　由題可得(a1＋2d)2＝(

5、a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因為2a1＋a2＝1，即3a1＋d＝1，聯(lián)立可得d＝－1，a1＝. 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，對于任意的n>1，n∈N，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，則S10＝91. [解析]　因為任意的n>1，n∈N，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2， 所以an＋1＝an＋2，因為a3＝a2＋2＝4， 所以an＝a2＋(n－2)×2＝2＋(n－2)×2＝2n－2，n≥2， 所以S10＝a1＋a2＋a3…＋a10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2

6、×9＋×2＝91. 8．(2018·江蘇無錫一模)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4，則a8的值為2. [解析]　∵等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4， ∴ 解得a1q＝8，q3＝－， ∴a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝2. 9．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－p(n∈N*)，其中p是不為零的常數(shù)． (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)當p＝3時，若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項公式． [解析]　(1

7、)證明：因為Sn＝4an－p(n∈N*)， 則Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)， 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 整理得an＝an－1. 由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝. 所以{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列． (2)因為a1＝1，則an＝()n－1， 由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()n－1， 當n≥2時，由累加法得 bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) ＝2＋＝3·()n－1－1， 當n＝1時，上式也成立．∴bn＝3·()n－1－1.

8、10．(文)(2017·蚌埠質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a3＝3，S3＝9. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1. [解析]　(1)設該等比數(shù)列的公比為q， 則根據(jù)題意有3·(1＋＋)＝9， 從而2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. 當q＝1時，an＝3； 當q＝－時，an＝3·(－)n－3. (2)證明：若an＝3，則bn＝0，與題意不符， 故an＝3(－)n－3， 此時a2n＋3＝3·(－)2n， ∴bn＝2n，符合題意． ∴cn

9、＝ ＝ ＝－， 從而c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－<1. (理)設n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. [解析]　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2，從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標 xn＝1－＝. (2)證明：由題設和(1)中的計算結(jié)果知 Tn＝xx…x＝22…2. 當n＝1時，T1＝； 當n≥2時， 因為x＝2＝

10、＞ ＝＝， 所以Tn＞2×××…×＝. 綜上可得，對任意的n∈N*，均有Tn≥. B組 1．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S1＝1，＝4，則的值為( A ) A．　　 B．　　　 C．　　 D．4 [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，由＝4得＝3，則S6－S4＝5S2， 所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝. 2．(文)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且4a3－a6＝0，則＝( D ) A．－5 B．－3 C．3 D．5 [解析]　∵4a3－a6＝0，∴4a1q2＝a1q5，∵a1≠0，q≠0， ∴q3＝

11、4，∴＝＝＝1＋q3＝5. (理)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( C ) A． B．－ C． D．－ [解析]　∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1， a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9， 又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3，∴a3＝1， 又a3＝9a1，故a1＝. 3．(2018·湖南岳陽一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝，則a2018＝( B ) A．2017 B．2018 C．4034 D．4036 [解析]　∵a1＝1，Sn＝， ∴當n≥2

12、時，an＝Sn－Sn－1＝－， 即＝， ∴＝＝…＝＝1，∴an＝n. ∴a2018＝2018. 4．(2018·浙江卷，10)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則( B ) A．a(chǎn)1a3，a2a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4 [解析]　由x>0，ln x≤x－1，得a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，a4≤－1，所以公比q<0，當q≤－1時，a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)<0，此時a1＋a2

13、＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1，ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾，所以－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0. 5．(2018·南昌二模)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝( D ) A．10 B．15 C．－5 D．20 [解析]　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3n－3＝4n－5，a1＝S1＝－1適合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)，因為p－q＝5，所以ap－aq＝20. 6．(2017·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測)設數(shù)

14、列{an}的前n和為Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}為等差數(shù)列，則an＝( A ) A． B． C． D． [解析]　設bn＝nSn＋(n＋2)an，則b1＝4，b2＝8， {bn}為等差數(shù)列，所以bn＝4n，即nSn＋(n＋2)an＝4n， Sn＋(1＋)an＝4. 當n≥2時，Sn－Sn－1＋(1＋)an－(1＋)an－1＝0，所以an＝·an－1，即2·＝，又因為＝1，所以{}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以＝()n－1(n∈N*)，an＝(n∈N*)．故選A． 7．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，則S4＝6

15、6. [解析]　本題主要考查數(shù)列的通項公式與求和． 依題an＝2Sn－1＋3(n≥2)，與原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可見，數(shù)列{an}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，a2＝5，所以S4＝1＋＝66. 8．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝50. [解析]　∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1·a20＝e5. 又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)] ＝ln(e5)10＝lne

16、50＝50. 注意等比數(shù)列性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq，對數(shù)的性質(zhì)logamn＝nlogam. 9．設數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記數(shù)列的前n項和為Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值． [解析]　(1)由已知Sn＝2an－a1， 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)． 從而a2＝2a1，a3＝4a1. 又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)． 所以a1＋

17、4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 故an＝2n. (2)由(1)得＝. 所以Tn＝＋＋＋…＋＝ ＝1－. 由|Tn－1|<得<，即2n>1 000. 因為29＝512<1 000<1 024＝210， 所以n≥10. 于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值為10. 10．已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*，又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝2an－λ(log2an＋1)2，若數(shù)列{bn}為遞

18、增數(shù)列，求λ的取值范圍． [解析]　(1)由Sn＋1＝qSn＋1?、? 可得，當n≥2時，Sn＝qSn－1＋1?、? ①－②得：an＋1＝qan. 又S2＝qS1＋1且a1＝1， 所以a2＝q＝q·a1， 所以數(shù)列{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列． 又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列， 所以2a3＝2a2＋a2＋2＝3a2＋2， 即2q2＝3q＋2. 所以2q2－3q－2＝0， 解得q＝2或q＝－(舍)， 所以數(shù)列{an}的通項公式為：an＝2n－1(n∈N*)． (2)由題意得：bn＝2·2n－1－λ(log22n)2＝2n－λn2， 若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，則有 bn＋1－bn＝2n＋1－λ(n＋1)2－2n＋λn2＝2n－2nλ－λ>0，即λ<. 因為＝>1， 所以數(shù)列{}為遞增數(shù)列． 所以≥，所以λ<.