4、圓弧運(yùn)動(dòng)的快慢，角速度側(cè)重于描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。
[注3] 轉(zhuǎn)速n和頻率f含義相同，只是單位不同。
[注4] 向心加速度的方向也在時(shí)刻改變。
[注5] 物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是偏離圓形軌道完全是由實(shí)際提供的向心力和所需的向心力間的大小關(guān)系決定的。
[深化理解]
1．對(duì)公式v＝ωr的理解
(1)當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比。
(2)當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比。
(3)當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比。
2．對(duì)a＝＝ω2r的理解
(1)當(dāng)v一定時(shí)，a與r成反比。
(2)當(dāng)ω一定時(shí)，a與r成正比。
3．關(guān)于向心力的兩點(diǎn)注意
(1)向心力是效果力，在分析完物體受到的重力、彈力、摩擦力等
5、性質(zhì)力后，不能另外添加一個(gè)向心力。
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力由合外力提供，物體做什么樣的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，就需要什么樣的合外力，這就給對(duì)物體進(jìn)行受力分析以及求解合力提出了“條件要求”和“思維方向”。
[基礎(chǔ)自測(cè)]
一、判斷題
(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度是不變的。(√)
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其合外力是不變的。(×)
(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與半徑成反比。(×)
(4)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是產(chǎn)生向心加速度的原因。(√)
(5)比較物體沿圓周運(yùn)動(dòng)的快慢看線速度，比較物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，看周期或角速度。(√)
(6)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)合外力突然減
6、小時(shí)，物體將沿切線方向飛出。(×)
(7)摩托車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大就會(huì)向外發(fā)生滑動(dòng)，這是摩托車受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外的離心力作用的緣故。(×)
二、選擇題
1．如圖所示，一正方形木板繞其對(duì)角線上O1點(diǎn)在ABCD平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。關(guān)于木板邊緣的各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是( )
A．A點(diǎn)角速度最大
B．B點(diǎn)線速度最小
C．C、D兩點(diǎn)線速度相同
D．A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)速相同
解析：選D 正方形木板繞O1點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木板邊緣各點(diǎn)的角速度和轉(zhuǎn)速均相同，由于B點(diǎn)不是木板邊緣上離O1點(diǎn)最近的點(diǎn)，所以半徑也不是最小，根據(jù)v＝ωr可知線速度不是最小，故D正確，A、B錯(cuò)誤。C、D兩點(diǎn)雖然離O1點(diǎn)的距離相等，
7、但轉(zhuǎn)動(dòng)過程中線速度的方向不同，兩點(diǎn)線速度只是大小相等，故C錯(cuò)誤。
2． [粵教版必修2 P37 T2] (多選)如圖為甲、乙兩球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度隨半徑變化的關(guān)系圖線，甲圖線為雙曲線的一支，乙圖線為直線。由圖像可以知道( )
A．甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變
B．甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變
C．乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變
D．乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變
解析：選AD 題圖的圖線甲中a與r成反比，由a＝ 可知，甲球的線速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，角速度逐漸減小，A正確，B錯(cuò)誤；題圖的圖線乙中a與r成正比，由a＝ω2r可知，乙球運(yùn)動(dòng)的角速度
8、大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，線速度大小增大，C錯(cuò)誤，D正確。
3．(多選)如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球在拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，拉力F發(fā)生變化。下列關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)情況的說法中正確的是( )
A．若拉力突然消失，小球?qū)⒀剀壽EPa做直線運(yùn)動(dòng)
B．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)
C．若拉力突然變大，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)
D．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPc做向心運(yùn)動(dòng)
解析：選AB 在水平面上，細(xì)繩的拉力提供小球所需的向心力，當(dāng)F＝mω2r時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力突然消失時(shí)，小球?qū)⒀厍芯€Pa方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A正確；當(dāng)拉
9、力突然減小時(shí)，小球?qū)⒀豍b做離心運(yùn)動(dòng)，B正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)拉力突然增大時(shí)，小球?qū)⒀豍c做向心運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤。
高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要集中在描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量及其之間的關(guān)系、向心力公式及其應(yīng)用、對(duì)物體做離心運(yùn)動(dòng)條件的理解，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般。而與平拋運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律等知識(shí)相綜合也可以計(jì)算題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上。
考點(diǎn)一 描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量[基礎(chǔ)自修類]
[題點(diǎn)全練]
1．[摩擦傳動(dòng)類圓周運(yùn)動(dòng)問題]
如圖所示，水平放置的兩個(gè)用相同材料制成的輪P和Q靠摩擦傳動(dòng)(兩輪之間不相對(duì)滑動(dòng))，兩輪的半徑R∶r＝2∶1。當(dāng)主動(dòng)輪Q勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在Q輪邊緣上放置的小木塊恰
10、能相對(duì)靜止在Q輪邊緣上，此時(shí)Q輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1，木塊的向心加速度為a1；若改變轉(zhuǎn)速，把小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，此時(shí)Q輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2，木塊的向心加速度為a2，則( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：選C 根據(jù)題述， a1＝ω12r，ma1＝μmg，聯(lián)立解得μg＝ω12r。小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，μg＝ω2R＝2ω2r。由ωR＝ω2r聯(lián)立解得＝，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤。又因?yàn)閙a＝μmg，所以＝，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。
2．[同軸傳動(dòng)類圓周運(yùn)動(dòng)問題]
汽車后備廂蓋一般都配有可伸縮的液壓桿，如圖甲所示，其示意圖如圖乙所示，可伸縮液壓桿上端固定于后蓋
11、上A點(diǎn)，下端固定于箱內(nèi)O′點(diǎn)，B也為后蓋上一點(diǎn)，后蓋可繞過O點(diǎn)的固定鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)。在合上后備廂蓋的過程中( )
A．A點(diǎn)相對(duì)O′點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)
B．A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小相等
C．A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小相等
D．A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度大小相等
解析：選C 在合上后備廂蓋的過程中，O′A的長(zhǎng)度是變化的，因此A點(diǎn)相對(duì)O′點(diǎn)不是做圓周運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；在合上后備廂蓋的過程中，A點(diǎn)與B點(diǎn)都是繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，相同的時(shí)間繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度相同，即A點(diǎn)與B點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的角速度相等，又由于OB大于OA，根據(jù)v＝rω，可知B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大，故B錯(cuò)誤，C正
12、確；根據(jù)向心加速度a＝rω2可知，B點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的向心加速度大于A點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的向心加速度，故D錯(cuò)誤。
3．[圓周運(yùn)動(dòng)中的追及相遇(共線)問題]
如圖所示，質(zhì)點(diǎn)a、b在同一平面內(nèi)繞質(zhì)點(diǎn)c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的周期之比Ta∶Tb＝1∶k(k＞1，為正整數(shù))。從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中( )
A．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k次
B．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k＋1次
C．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k次
D．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k－2次
解析：選D 設(shè)每隔時(shí)間T，a、b相距最近，
則(ωa－ωb)T＝2π，所以T＝＝＝
故b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b相距最近的次數(shù)為：
13、
n＝＝＝＝k－1
即a、b距離最近的次數(shù)為k－1次，故A、B均錯(cuò)誤。
設(shè)每隔時(shí)間t，a、b、c共線一次，則(ωa－ωb)t＝π，
所以t＝＝＝；
故b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)為：
n＝＝＝＝2k－2
故C錯(cuò)誤，D正確。
[名師微點(diǎn)]
1．圓周運(yùn)動(dòng)各物理量間的關(guān)系
2．常見的三類傳動(dòng)方式及特點(diǎn)
(1)皮帶傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖丙、丁所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無(wú)打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同軸傳動(dòng)：如圖戊、己所示，繞
14、同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比。
考點(diǎn)二 水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)[師生共研類]
1．水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)軌跡是圓且在水平面內(nèi)。
2．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)
(1)物體所受合外力大小不變，方向總是指向圓心。
(2)合外力充當(dāng)向心力。
3．解答勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般步驟
(1)選擇研究對(duì)象，找出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑。
(2)分析物體受力情況，其合外力提供向心力。
(3)由Fn＝m或Fn＝mrω2或Fn＝mr列方程求解。
[典例] (多選)(2016·浙江高考)如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)水平“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半
15、徑R＝90 m的大圓弧和r＝40 m的小圓弧，直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100 m。賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍。假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。要使賽車不打滑，繞賽道一圈時(shí)間最短(發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，則賽車( )
A．在繞過小圓弧彎道后加速
B．在大圓弧彎道上的速率為45 m/s
C．在直道上的加速度大小為5.63 m/s2
D．通過小圓弧彎道的時(shí)間為5.58 s
[解析] 賽車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由F＝m知，在小圓弧上的速度小，故賽車?yán)@過小圓弧后加速，
16、選項(xiàng)A正確；在大圓弧彎道上時(shí)，根據(jù)F＝m知，其速率v＝ ＝ ＝45 m/s，選項(xiàng)B正確；同理可得在小圓弧彎道上的速率v′＝30 m/s。如圖所示，由邊角關(guān)系可得α＝60°，直道的長(zhǎng)度x＝Lsin 60°＝50 m，據(jù)v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50 m/s2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小彎道對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為s＝，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝≈2.79 s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
[答案] AB
[延伸思考]
(1)要使賽車?yán)@賽道一圈所用時(shí)間最短，賽車在彎道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度應(yīng)達(dá)到什么要求？此時(shí)的向心力應(yīng)由什么力提供？
(2)賽車由大圓弧賽道向小圓弧賽道運(yùn)動(dòng)時(shí)，若不減速，會(huì)發(fā)生什么情況？
17、
(3)賽車以最短時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)，在兩直道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大小相等嗎？為什么？
提示：(1)要使賽車?yán)@賽道一圈所用時(shí)間最短，賽車在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度必須達(dá)到最大速度，此時(shí)賽車的向心力由最大靜摩擦力提供。
(2)賽車由大圓弧賽道向小圓弧賽道運(yùn)動(dòng)時(shí)，若不減速，賽車在小圓弧賽道上最大靜摩擦力小于所需要的向心力，賽車將做離心運(yùn)動(dòng)，滑出賽道。
(3)因賽車在直道兩端的速度大小相等，直道長(zhǎng)度相等，由t＝可知賽車在兩直道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大小相等。
[一題悟通]
通過例題及延伸思考讓學(xué)生明白物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力來(lái)源及其臨界極值問題的分析方法。
幾何分析
目的是確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑等
18、
運(yùn)動(dòng)分析
目的是確定圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界所提供的向心力
[題點(diǎn)全練]
1．[車輛水平轉(zhuǎn)彎問題]
如圖所示為公路自行車賽中運(yùn)動(dòng)員在水平路面上急轉(zhuǎn)彎的情景。運(yùn)動(dòng)員在通過彎道時(shí)如果控制不當(dāng)會(huì)發(fā)生側(cè)滑而摔離正常比賽路線。將運(yùn)動(dòng)員與自行車看成整體，下列說法正確的是( )
A．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎所需向心力由重力與地面對(duì)車輪的支持力的合力提供
B．運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎所需向心力由地面對(duì)車輪的摩擦力提供
C．發(fā)生側(cè)滑是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員受到的合力方向背離圓心
D．發(fā)生側(cè)滑是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員受到的合外力大于所需的向心力
解析：選
19、B 轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力為沿半徑方向的合力。運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎時(shí)，地面對(duì)車輪的摩擦力提供所需的向心力，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)f<，即靜摩擦力不足以提供所需向心力時(shí)，就會(huì)發(fā)生側(cè)滑，故C、D錯(cuò)誤。
2．[圓錐擺問題]
(多選)如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球。給小球一個(gè)合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)圓錐擺，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ。下列說法中正確的是( )
A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和繩的拉力作用
C．θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的速率越大
D．θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的周期越大
解析：選BC 小球受重力、繩的拉力作用
20、，二者合力提供向心力，由牛頓第二定律可得：Fcos θ＝mg，F(xiàn)sin θ＝m，T＝，可求得v＝，T＝2π ，可見θ越大，v越大，T越小。綜上所述，可知選項(xiàng)B、C正確，A、D錯(cuò)誤。
3．[水平轉(zhuǎn)盤上的圓周運(yùn)動(dòng)問題]
(多選)如圖甲所示，將質(zhì)量為M的物塊A和質(zhì)量為m的物塊B沿同一半徑方向放在水平轉(zhuǎn)盤上，兩者用長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平輕繩連接。物塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的k倍，物塊A與轉(zhuǎn)軸的距離等于輕繩長(zhǎng)度，整個(gè)裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，輕繩恰好伸直但無(wú)彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度緩慢增大，繩中張力FT與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的平方ω2的關(guān)系如圖乙所示，當(dāng)角速度的平方ω2超過3
21、ω12時(shí)，物塊A、B開始滑動(dòng)。若圖乙中的F1、ω1及重力加速度g均為已知，下列說法正確的是( )
A．L＝ B．L＝
C．k＝ D．m＝M
解析：選BC 開始轉(zhuǎn)速較小時(shí)，A、B兩物塊的向心力均由靜摩擦力提供，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到一定程度時(shí)，B的靜摩擦力不足以提供向心力時(shí)，繩子開始有拉力，當(dāng)轉(zhuǎn)速再增大到一定程度，A的最大靜摩擦力也不足時(shí)，兩者開始做離心運(yùn)動(dòng)，由題圖乙可得：kmg＝m·2ω12·2L，F(xiàn)1＋kmg＝m·3ω12·2L，可解得：L＝，k＝，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B、C均正確；對(duì)物塊A分析，kMg－F1＝M·3ω12·L，可推得M＝2m，D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)三 豎直面內(nèi)的
22、圓周運(yùn)動(dòng)[方法模型類]
[典例] 如圖所示，輕桿長(zhǎng)3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L(zhǎng)處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力。忽略空氣阻力，則球B在最高點(diǎn)時(shí)( )
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mg
D．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg
[典例識(shí)模]
題干信息
吹“沙”見“金”
光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L(zhǎng)處的O點(diǎn)
球A圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L(zhǎng)，球B圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為2L
球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力
球B在最高點(diǎn)只受重力作
23、用，重力恰好提供向心力
[解析] 球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故A錯(cuò)誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小v′＝，故B錯(cuò)誤；球B到最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無(wú)彈力，此時(shí)球A受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯(cuò)誤。
[答案] C
[系統(tǒng)建模]
輕“繩”模型
輕“桿”模型
情景圖示
彈力
特征
彈力可能向下，也可能等于零
彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
力學(xué)方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
臨界特征
FT＝0，即mg＝m
24、，得v＝
v＝0，即F向＝0，此時(shí)FN＝mg
模型關(guān)鍵
(1)繩只能對(duì)小球施加向下的力
(2)小球通過最高點(diǎn)的速度至少為
(1)“桿”對(duì)小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通過最高點(diǎn)的速度最小可以為0
[熟練用模]
1．[輕“桿”模型]
如圖所示，輕桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端固定在水平軸上的O點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且能通過最高點(diǎn)，g為重力加速度。下列說法正確的是( )
A．小球通過最高點(diǎn)時(shí)速度可能小于
B．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力不可能為零
C．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而增大
25、D．小球通過最高點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而減小
解析：選A 小球在最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球可以表現(xiàn)為支持力，由牛頓第二定律得：mg－F＝m，則得v＜，故A正確。當(dāng)小球速度為時(shí)，由重力提供向心力，桿的作用力為零，故B錯(cuò)誤。輕桿在最高點(diǎn)可以表現(xiàn)為拉力，此時(shí)根據(jù)牛頓第二定律有mg＋F＝m，則知v越大，F(xiàn)越大，即隨小球速度的增大，桿的拉力增大；小球通過最高點(diǎn)時(shí)桿對(duì)球的作用力也可以表現(xiàn)為支持力，當(dāng)表現(xiàn)為支持力時(shí)，有mg－F＝m，則知v越大，F(xiàn)越小，即隨小球速度的增大，桿的支持力減小，故C、D錯(cuò)誤。
2．[輕“繩”模型]
(多選)如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，
26、B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m。現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)。為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起(不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力)，則瞬時(shí)速度v必須滿足( )
A．最小值為 B．最大值為
C．最小值為 D．最大值為
解析：選CD 要保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)最小速度滿足mg＝m，由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由機(jī)械能守恒得mvmin2＝mg·2r＋mv02，可得小球在最低點(diǎn)瞬時(shí)速度的最小值為，A錯(cuò)誤，C正確；為了使環(huán)不會(huì)在豎直方向上跳起，則在最高點(diǎn)球有最大速度時(shí)，對(duì)環(huán)
27、的壓力為2mg，滿足3mg＝m，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由機(jī)械能守恒得mvmax2＝mg·2r＋mv12，可得小球在最低點(diǎn)瞬時(shí)速度的最大值為，B錯(cuò)誤，D正確。
3．[“雙繩”模型]
如圖所示，長(zhǎng)均為L(zhǎng)的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間的距離也為L(zhǎng)。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，若小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí)，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí)，每根輕繩的拉力大小為( )
A．mg B．mg
C．3mg D．2mg
解析：選A 小球在運(yùn)動(dòng)過程中，A、B兩點(diǎn)與小球所在位置構(gòu)成等
28、邊三角形，由此可知，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝L·sin 60°＝L，兩繩與小球運(yùn)動(dòng)半徑方向間的夾角為30°，由題意，小球在最高點(diǎn)的速率為v時(shí)，mg＝m，當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為2v時(shí)，應(yīng)有：F＋mg＝m，可解得：F＝3mg。由2FTcos 30°＝F，可得兩繩的拉力大小均為FT＝mg，A項(xiàng)正確。
考點(diǎn)四 實(shí)驗(yàn)：探究影響向心力大小的因素
1．實(shí)驗(yàn)探究：利用如圖所示的簡(jiǎn)易裝置，采用控制變量法粗略感知影響向心力大小的因素。
(1)保持小球的質(zhì)量m和半徑r不變，探究向心力F與角速度ω的關(guān)系，則當(dāng)ω增大時(shí)，F(xiàn)增大。
(2)保持小球的質(zhì)量m和角速度ω不變，探究向心力F與半徑r的關(guān)系，則當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)增
29、大。
(3)保持小球的角速度ω和半徑r不變，探究向心力F與質(zhì)量m的關(guān)系，則當(dāng)m增大時(shí)，F(xiàn)增大。
2．結(jié)論：物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力與物體的質(zhì)量、半徑、角速度都有關(guān)。
3．拓展：根據(jù)公式F＝mrω2和ω＝，可得F＝m，所以可以進(jìn)一步探究感知向心力的大小與線速度的關(guān)系。
[典例] (2019·天水質(zhì)檢)某同學(xué)用圓錐擺驗(yàn)證向心力公式F＝mRω2。先在一張白紙上以O(shè)為圓心畫一組同心圓，再將白紙鋪在水平桌面上，在O點(diǎn)正上方距桌面高為h處的O1處用鐵架臺(tái)(圖中未畫出)懸掛一質(zhì)量為m的小球，設(shè)法使小球沿著半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)但恰不與紙面接觸。
(1)現(xiàn)用刻度尺測(cè)得R、h，用天平測(cè)得m，用g表示重力
30、加速度，則小球所受的合力F1＝________。
(2)為了測(cè)出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω，先用停表測(cè)得小球完成n次圓周運(yùn)動(dòng)共用時(shí)t，則由向心力公式F＝mRω2求得小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F2＝________，代入數(shù)值，驗(yàn)證F1＝F2是否成立。
[思路點(diǎn)撥]
(1)小球做圓周運(yùn)動(dòng)中所受的合力提供向心力，由平行四邊形定則求合力的表達(dá)式，根據(jù)T＝求得周期。
(2)再利用公式F＝man＝求向心力，若能大致滿足F1＝F2，就可達(dá)到粗略驗(yàn)證向心力表達(dá)式的目的。
[解析] (1)設(shè)擺線與豎直方向的夾角為α，則有tan α＝，小球做圓周運(yùn)動(dòng)中所受合力的表達(dá)式為F1＝mgtan α＝。
(2)小球做
31、圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝，向心加速度的表達(dá)式為an＝＝，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F2＝man＝m，所以若能大致滿足F1＝F2，就可達(dá)到粗略驗(yàn)證向心力表達(dá)式的目的。
[答案] (1) (2)m
[基礎(chǔ)考法]
1．(2019·泉州九中模擬)為驗(yàn)證向心力公式，某探究小組設(shè)計(jì)了如圖所示的演示實(shí)驗(yàn)，在米尺的一端鉆一個(gè)小孔，使小孔恰能穿過一根細(xì)線，線下端掛一質(zhì)量為m，直徑為d的小鋼球。將米尺固定在水平桌面上，測(cè)量出懸點(diǎn)到鋼球的細(xì)線長(zhǎng)度l，使鋼球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，待鋼球的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，用眼睛從米尺上方垂直于米尺往下看，讀出鋼球外側(cè)到O點(diǎn)的距離r，并用秒表測(cè)量出鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)n圈用的時(shí)間t。則：
32、(1)小鋼球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝________。
(2)小鋼球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F＝________。
解析：(1)鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)n圈用的時(shí)間為t，則周期為：T＝。
(2)鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R＝r－，
根據(jù)向心力公式得
F＝m2R＝m。
答案：(1) (2)m
2．(2019·北京順義區(qū)模擬)如圖甲所示是某同學(xué)探究做圓周運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量、向心力、軌道半徑及線速度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)裝置，圓柱體放置在水平光滑圓盤上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。力傳感器測(cè)量向心力F，速度傳感器測(cè)量圓柱體的線速度v，該同學(xué)通過保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑不變，來(lái)探究向心力F與線速度v的關(guān)系。
(1)該同學(xué)采用的實(shí)驗(yàn)方法為________
33、。
A．等效替代法
B．控制變量法
C．理想化模型法
(2)改變線速度v，多次測(cè)量，該同學(xué)測(cè)出了五組F、v數(shù)據(jù)，
如下表所示：
v/(m·s－1)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90
該同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)分析后，在圖乙坐標(biāo)紙上描出了五個(gè)點(diǎn)。
①在圖乙中作出F-v2圖線；
②若圓柱體運(yùn)動(dòng)半徑r＝0.2 m，由作出的F-v2的圖線可得圓柱體的質(zhì)量m＝________ kg。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
解析：(1)實(shí)驗(yàn)中研究向心力和速度的關(guān)系，保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑不變，采用的實(shí)驗(yàn)方法是控制變
34、量法，故選B。
(2)①作出F-v2圖線，如圖所示。
②根據(jù)F＝m知，圖線的斜率k＝，則有：＝，代入數(shù)據(jù)解得m＝0.18 kg。
答案：(1)B (2)①見解析圖?、?.18
“形同質(zhì)異”慎解題——斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、繩控制、桿控制，物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同。下面列舉三類實(shí)例。
(一)靜摩擦力控制下的斜面圓周運(yùn)動(dòng)
1．如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5 m處有一小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(設(shè)最
35、大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10 m/s2。則ω的最大值是( )
A． rad/s B． rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：選C 物體隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)最容易滑動(dòng)，因此物體在最低點(diǎn)且剛好要滑動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為最大值，這時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s，C項(xiàng)正確，A、B、D項(xiàng)錯(cuò)誤。
(二)輕桿控制下的斜面圓周運(yùn)動(dòng)
2．如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)＝0.8 m 的輕桿，一端固定在O點(diǎn)，另一端系
36、一質(zhì)量為m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)。g取10 m/s2。若要小球能通過最高點(diǎn)A，則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是( )
A．4 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
解析：選A 小球受輕桿控制，在A點(diǎn)的最小速度為零，由動(dòng)能定理得2mgLsin α＝mvB2，可得vB＝4 m/s，A正確。
(三)輕繩控制下的斜面圓周運(yùn)動(dòng)
3．(多選)如圖所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，能繞水平固定軸MN自由轉(zhuǎn)動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角。板上
有一根長(zhǎng)為l＝0.5 m的輕繩，一端系住一個(gè)質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球，另一端固定在板上的O點(diǎn)。當(dāng)平板
37、傾角為α?xí)r，先將輕繩平行于水平軸MN拉直，然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0＝2 m/s，g取10 m/s2，則( )
A．若α＝0°，則輕繩對(duì)小球的拉力大小為FT＝4 N
B．若α＝90°，則小球相對(duì)于初始位置可上升的最大高度為0.3 m
C．小球能在平板上繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，α必須滿足的條件為sin α≤
D．小球能在平板上繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，α必須滿足的條件為sin α≤
解析：選AD 小球在平板上運(yùn)動(dòng)時(shí)受輕繩的拉力、重力和平板的彈力。在垂直平板方向上合力為零，重力沿平板方向的分力為mgsin α，小球在最高點(diǎn)時(shí)，由輕繩的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，
有FT＋mgsin α＝m ①
研究小球從釋放點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，據(jù)動(dòng)能定理有
－mglsin α＝mv12－mv02 ②
若恰好通過最高點(diǎn)，輕繩拉力FT＝0，聯(lián)立①②解得
sin α＝＝，
故C錯(cuò)誤，D正確；
若α＝0°，則輕繩對(duì)小球的拉力大小為
FT＝m＝4 N，故A正確；
若α＝90°，小球不能到達(dá)最高點(diǎn)，假設(shè)能夠上升0.3 m，重力勢(shì)能的增加量mgh＝1.5 J，初動(dòng)能mv02＝1 J，機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤。
（新課改省份專用）2022年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第四章 第4節(jié) 圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案（含解析）
