《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第2講 不等式學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第2講 不等式學(xué)案（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講不等式
考向預(yù)測(cè)
1．利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主；
2．在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問(wèn)題或在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大．
1．不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號(hào)，則其解集在兩根之間．
(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法．
①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．
②≥0(≤0)?f(x)
2、g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
(3)指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
2．幾個(gè)不等式
(1)a2＋b2≥2ab(取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b)．
(2)(a，b∈R)．
(3)≥≥≥(a>0，b>0)．
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)．
3．利用基本不等式求最值
(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)．
(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)．
4．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
解決
3、線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域上的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決．
熱點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)及解法
【例1】(1)(2018·武漢聯(lián)考)已知函數(shù)是上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___．
(2)(2017·江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若
f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析 (1)因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，若，
所以，解不等式組得，
(2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0且f′
4、(x)不恒為0，所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．
又f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，
由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a)，
∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
答案 (1)C (2)
探究提高 1．解一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集．
2．(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
(2)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．
【訓(xùn)練1】(1)(20
5、18·七寶中學(xué))若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____
(2)已知不等式≥|a2－a|對(duì)于x∈[2，6]恒成立，則a的取值范圍是________．
解析 (1)由已知得不等式對(duì)任意恒成立，所以不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，則不等式對(duì)任意不恒成立，所以。所以，即，所以．解得．
(2)設(shè)y＝，，
故y＝在x∈[2，6]上單調(diào)遞減，則ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|對(duì)于x∈[2，6]恒成立等價(jià)于|a2－a|≤恒成立，化簡(jiǎn)得
解得－1≤a≤2，故a的取值范圍是[－1，2]．
答案 (1)R (2)[－1，2]
熱點(diǎn)二 基本不等式
【例2】(1)(20
6、18·天津期末)已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
(2)(2016·江蘇卷改編)已知函數(shù)f(x)＝2x＋，若對(duì)于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______．
解析 (1)∵，，恒成立，且，
，
因?yàn)楹愠闪?，∴?
∴．
故答案為．
(2)由條件知．
∵f(2x)≥mf(x)－6對(duì)于x∈R恒成立，且f(x)>0，
∴對(duì)于x∈R恒成立．
又＝f(x)＋≥2＝4，且，
∴m≤4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4．
答案 (1)8 (2)4
探究提高 1．利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在
7、已知條件下通過(guò)變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號(hào)能夠取得．
2．特別注意：(1)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解．
(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則會(huì)出錯(cuò)．
【訓(xùn)練2】 (1) (2018·新泰一中)若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．
(2)若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為( )
A． B．2 C．2 D．4
解析 (1)∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，
故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合可解得且，故答案為．
(2)依題意知a>0，b>0，則＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a時(shí)，“＝”成立．
∵
8、＋＝，∴≥，即ab≥2，
∴ab的最小值為2．
答案 (1)C (2)C
熱點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
【例3】 (1) (2018·張家口期中)已知，滿足，則的最大值為_(kāi)____．
(2) (2017·池州模擬)已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實(shí)數(shù)a＝( )
A． B．1 C． D．4
解析 (1)根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出可行域，如圖所示：
由解得，
目標(biāo)函數(shù)可看做斜率為3的動(dòng)直線，其縱截距越小，越大，
由圖可知，當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，
故答案是6.
(2)解析 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，
9、∵目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，
由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過(guò)平面區(qū)域的A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2．
由解得A(4，2)，
同時(shí)A(4，2)也在直線ax＋y－4＝0上，
∴4a＝2，則a＝．
答案 (1)D (2)A
探究提高 1．線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得．
2．對(duì)于線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題，需注意：
(1)當(dāng)最值是已知時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時(shí)應(yīng)充
10、分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化．
(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時(shí)，因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動(dòng)的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動(dòng)參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可．
【訓(xùn)練3】 (1) (2019·貴州聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值是__________．
(2)(2017·新鄉(xiāng)模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足且z＝mx－y(m<2)的最小值為－，則m等于( )
A． B．－ C．1 D．
解析 (1)作出不等式組，表示的平面區(qū)域：
得到如圖的陰影部分，得，
設(shè)，將直線進(jìn)行平移，
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，
∴．
故
11、答案為2．
(2)作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值為－，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解過(guò)點(diǎn)A，由解得A，
∴－＝－3，解得m＝1．
答案 (1)C (2)C
1．(2018·全國(guó)I卷)若，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)____________．
2．(2016·山東卷)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
3．(2018·全國(guó)I卷)設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）
A． B． C． D．
4．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為_(kāi)_______．
1．
12、(2018·南陽(yáng)期中)已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若，則的最小值等于（ ?。?
A． B． C． D．
2．(2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是( )
A．[－3，0] B．[－3，2] C．[0，2] D．[0，3]
3．已知當(dāng)x＜0時(shí)，2x2－mx＋1＞0恒成立，則m的取值范圍為( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)
4．已知函數(shù)那么不等式f(x)≥1的解集為_(kāi)_______．
5．設(shè)，，滿足約束條件:的可行域?yàn)椋?
（1）求的最大值與的最小值;
（2）若存在正實(shí)數(shù),使函數(shù)的圖
13、象經(jīng)過(guò)區(qū)域中的點(diǎn),求這時(shí)的取值范圍.
1．已知，滿足約束條件，記（其中）的最小值為，若，則實(shí)數(shù)的最小值為（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，則x2＋y2的取值范圍是________．
3．(2017·長(zhǎng)郡中學(xué)二模)曲線x＝|y－1|與y＝2x－5圍成封閉區(qū)域(含邊界)為Ω，直線y＝3x＋b與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則b的最小值為_(kāi)_______．
4．（2018·莆田一中）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒有．
（1）證明：．
（2）若對(duì)滿足
14、題設(shè)條件的任意，，不等式恒成立，求的最小值．
5．（2018·執(zhí)信中學(xué)）私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向，某人準(zhǔn)備投資1200萬(wàn)元舉辦一所中學(xué)，為了考慮社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，對(duì)該地區(qū)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)，列表如下（以班級(jí)為單位）：
市場(chǎng)調(diào)查表
班級(jí)學(xué)生數(shù)
配備教師數(shù)
硬件建設(shè)費(fèi)（萬(wàn)元）
教師年薪（萬(wàn)元）
初中
高中
根據(jù)物價(jià)部門(mén)的有關(guān)文件，初中是義務(wù)教育階段，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)控制，預(yù)計(jì)除書(shū)本費(fèi)、辦公費(fèi)，初中每生每年可收取元，高中每生每年可收取元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模
15、以至個(gè)班為宜（含個(gè)與個(gè)）.教師實(shí)行聘任制.初、高中的教育周期均為三年.請(qǐng)你合理地安排招生計(jì)劃，使年利潤(rùn)最大，大約經(jīng)過(guò)多少年可以收回全部投資？
參考答案
1．【解題思路】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫(huà)出直線，在上下移動(dòng)的過(guò)程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過(guò)B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.
【答案】根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：
由可得，
畫(huà)出直
16、線，將其上下移動(dòng)，
結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，取得最大值，
由，解得，
此時(shí)，故答案為6.
2．【解題思路】x2＋y2可看做點(diǎn)(x, y)到(0,0)的距離的平方．
【答案】 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：
x2＋y2表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，－1)．
由圖形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10．故選C．
3．【解題思路】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會(huì)有，從而求得結(jié)果.
【答案】 將函數(shù)f(x)的圖像畫(huà)出來(lái)，觀察圖像可知會(huì)有，解得，
所以滿足的的取值范圍是
17、，故選D.
4．【解題思路】直接用兩次均值不等式，本題恰好能同時(shí)取等號(hào)．
【答案】 ∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)．故填4．
1．【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出，由乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．
【答案】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若，
故,故，,
故．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“＝”成立，故選A．
2．【解題思路】畫(huà)出可行域，確定取最小值和最大值時(shí)的點(diǎn)．
【答案】 畫(huà)出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)，
結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)A(0，3)處取得最小值z(mì)＝0－3＝－3，在點(diǎn)B(2，0)處取得最大值z(mì)＝2－0＝
18、2．故選B．
3．【解題思路】利用分離參數(shù)法分離出m，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題．
【答案】 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，
因?yàn)閤＜0，所以m＞＝2x＋．
又2x＋＝－≤－2＝－2．
當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝－，即x＝－時(shí)取等號(hào)，
所以m＞－2．故選C．
4．【解題思路】分類(lèi)討論代入不同的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出x的范圍．
【答案】 當(dāng)x＞0時(shí)，由可得x≥3，當(dāng)x≤0時(shí)，由≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．故填(－∞，0]∪[3，＋∞)．
5．【解題思路】（1）畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為，故最大值，直線縱截距最大，故將直線經(jīng)過(guò)可行域盡可能
19、地向上平移到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入即可，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，觀察可行域內(nèi)的點(diǎn)并將與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)即可；（2）函數(shù)解析式化為，由圖像得只需，解不等式得的取值范圍．
【答案】（1）由，得∴，由，得∴，
由，得，∴，可行域?yàn)槿鐖D，
∵，又∵，∴，是軸的截距，，
∴過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∵是表示區(qū)域M上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方.
如圖使所求距離的平方最小，∴.
（2）∵，過(guò)區(qū)域中的點(diǎn)，而區(qū)域中，
又∵，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，，，
∴滿足過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，只須圖象與射線，有公共點(diǎn).
∴只須時(shí), ，∴，∴所求的取值范圍是.
1．【解題思路】畫(huà)出可行域，確
20、定何時(shí)取最小值.
【答案】
由題畫(huà)出可行域如圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值，
由題，∴，選C．
2．【解題思路】x2＋y2可看做點(diǎn)(x, y)到(0, 0)的距離的平方，也可利用均值不等式．
【答案】 法一 ∵x≥0，y≥0且x＋y＝1．
∴2≤x＋y＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，從而0≤xy≤，
因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1．
法二 可轉(zhuǎn)化為線段AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的范圍，AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的范圍為，則x2＋y2的取值范圍為．
故填?。?
3．【解題思路】y＝3x＋b化為b＝－3x＋y即為目標(biāo)函數(shù)，畫(huà)出可行域，
21、確定取最小值時(shí)的點(diǎn)．
【答案】 作x＝|y－1|與y＝2x－5圍成的平面區(qū)域如圖，
由解得A(6，7)，
平移直線y＝3x＋b，則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y＝3x＋b在y軸上的截距最小，此時(shí)b最小．
∴b＝－3x＋y的最小值為－18＋7＝－11．
故填－11．
4．【解題思路】（1）先求導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn)不等式得，再根據(jù)一元二次不等式恒成立得，最后利用基本不等式得結(jié)論.（2）先討論時(shí)，不等式恒成立，再討論時(shí)，利用變量分離法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即得M的取值范圍，最后確定M的最小值．
【答案】 （1）易知．由題設(shè)，對(duì)任意的，，即恒成立
22、，所以，從而．
于是，且，因此．
（2）由（1）知，．當(dāng)時(shí)，有．
令，則，．而函數(shù)的值域是．
因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合為．
當(dāng)時(shí)，由（1）知，，．
此時(shí)或0，，從而恒成立．
綜上所述，的最小值為．
5．【解題思路】根據(jù)設(shè)初中編個(gè)班，高中編制為個(gè)班，得出二元一次方程組，
又設(shè)年利潤(rùn)為萬(wàn)元，那么，即，
根據(jù)線性規(guī)劃可得年利潤(rùn)最大值，
利用可得大約經(jīng)過(guò)36年可以收回全部投資.
【答案】設(shè)初中編制為個(gè)班，高中編制為個(gè)班.則依題意有，（*）
又設(shè)年利潤(rùn)為萬(wàn)元，那么，即，
在直角坐標(biāo)系中作出（*）所表示的可行域，如圖所示.
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在如圖所示的陰影部分中，求直線在軸上的截距的最大值，
如圖，虛線所示的為一組斜率為的直線，顯然當(dāng)直線過(guò)圖中的點(diǎn)時(shí)，縱截距取最大值.
解聯(lián)立方程組得，
將，代入s中得，，.
設(shè)經(jīng)過(guò)年可收回投資，則
第年利潤(rùn)為（萬(wàn)元）；
第2年利潤(rùn)為（萬(wàn)元），
以后每年的利潤(rùn)均為萬(wàn)元，故依題意應(yīng)有.
解得.
答：學(xué)校規(guī)模以初中個(gè)班、高中個(gè)班為宜，第一年初中招生個(gè)班約人，高中招生個(gè)班約，從第三年開(kāi)始年利潤(rùn)為萬(wàn)元，約經(jīng)過(guò)年可以收回全部投資.
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2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第2講 不等式學(xué)案
