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1、第一章 計數原理
本章整合
知識網絡
專題探究
專題一：正確運用兩個計數原理
【應用1】 從集合{O，P，Q，R，S}與{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2個元素排成一排(字母和數字均不能重復)．每排中字母O，Q和數字0至多只出現一個的不同排法種數是__________．(用數字作答)
解析：把排法分成三類：
①當無字母O，Q和數字0時，有排法C·C·A種；
②當無字母O，Q，但有數字0時，有排法C·C·A種；
③當無數字0，但有字母O，Q其中之一時，有排法C·C·C·A種．
綜上，符合題意的不同排法種數是C·C·A＋C·C·A＋C·C·C·A＝8
2、424.
答案：8 424
【應用2】 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容．交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現．那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？
提示：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個牌照的字母和數字可以分6個步驟．
解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．
字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數字：
第1步，從26個字母中選1個，放在首位，
3、有26種選法；
第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；
第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；
第4步，從10個數字中選1個，放在第4位，有10種選法；
第5步，從剩下的9個數字中選1個，放在第5位，有9種選法；
第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法．
根據分步乘法計數原理，字母組合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(個)．
同理，字母組合在右的牌照也有11 232 000個．
所以，共能給11 232 000＋11 232 000＝22 464 000輛汽車上牌照．
專題二：
4、解排列組合應用題
區(qū)別排列與組合的重要標志是“有序”與“無序”，無序的問題用組合知識解答，有序的問題屬于排列問題．解含有約束條件的排列、組合問題，應先觀察取出的元素是否有順序，從而確定是排列問題還是組合問題，然后仔細審題，弄清怎樣才算完成一件事，從而確定是分類完成，還是分步完成．分類時需要滿足兩個條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復)；(2)總數要完備(保證不遺漏)．分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分步，做到步與步之間相互獨立、互不干擾，并確保連續(xù)性．
解決受條件限制的排列、組合問題的一般策略有：
(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；
(2)正難則反、等價轉化的策略；
(3)相鄰問題捆
5、綁處理的策略；
(4)不相鄰問題插空處理的策略；
(5)定序問題排除法處理的策略；
(6)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；
(7)平均分組問題運用除法處理的策略；
(8)構造模型的策略．
【應用1】 7名學生站成一排，下列情況各有多少種不同排法？
(1)甲、乙必須排在一起；
(2)甲不在排頭，乙不在排尾；
(3)甲、乙、丙互不相鄰；
(4)甲、乙之間必須隔一人．
解：(1)(捆綁法)先將甲、乙看作一個人，有A種排法，然后對甲、乙進行排列，所以不同的排法有A·A＝1 440(種)．
(2)(間接法)甲在排頭或乙在排尾排法共2A種，其中都包含甲在排頭且乙在排尾的情形
6、，故有不同的排法A－2A＋A＝3 720(種)．
(3)(插空法)把甲、乙、丙插入其余4名學生產生的5個空中，有A·A＝1 440(種)排法．
(4)先從其余5人中選1人有5種選法，放在甲、乙之間，將三人看作一個整體有A種排法，然后甲乙換位有A種，共有5A·A＝1 200(種)排法．
【應用2】 有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內．
(1)共有多少種放法？
(2)恰有一個盒不放球，有多少種放法？
(3)恰有一個盒內有2個球，有多少種放法？
解：(1)一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數原理，放法共有44＝256(種)．
(2)為保
7、證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，即將4個球分成2,1,1的三組，有C種分法；然后再從三個盒子中選一個放兩個球，其余兩個球，兩個盒子，全排列即可．由分步乘法計數原理，共有放法：C·C·C·A＝144(種)．
(3)“恰有一個盒內放2個球”，即另外三個盒子中恰有一個空盒．因此，“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事．故也有144種放法．
【互動探究】 本例中的4個小球若只放入4個盒子中的兩個盒子，即只有兩個空盒子，共有多少種放法？
解：先從四個盒子中任意拿走兩個有C種，問題轉化為：“4個球，兩個盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數目看，可分為(3,
8、1)，(2,2)兩類．第一類：可從4個球中先選3個，然后放入指定的一個盒子中即可，有C·C種放法；第二類：有C種放法．因此共有C·C＋C＝14(種)．由分步乘法計數原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有C·14＝84(種)．
專題三：二項式定理應用
【應用1】 8的展開式中x4的系數是( )
A．16 B．70 C．560 D．1 120
解析：設二項展開式的第(r＋1)項含有x4，則Tr＋1＝C(x2)8－rr＝C·2r·x16－3r，令16－3r＝4，求得r＝4.
所以x4的系數為C·24＝1 120.
答案：D
【應用2】 若n展開式的二項式系數之和為64，則展
9、開式的常數項為( )
A．10 B．20 C．30 D．120
解析：利用二項式系數的性質和通項公式求常數項.n展開式的二項式系數和為C＋C＋C＋…＋C＝64＝2n，解得n＝6.設第(r＋1)項為常數項，則Tr＋1＝C·x6－r·r＝C·x6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以Tr＋1＝T4＝C＝20.
答案：B
【應用3】 設(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：采用賦值法，要使等式右邊為a0＋a1＋a2＋…＋a11，應該令x＋2＝1，即x＝－1，于是可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝2×(－1)9＝－2.答案： A
高中數學 第一章 計數原理本章整合素材 新人教B版選修2-3（通用）
