高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理本章整合素材 新人教B版選修2-3(通用)

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1、第一章 計數(shù)原理 本章整合 知識網(wǎng)絡(luò) 專題探究 專題一:正確運(yùn)用兩個計數(shù)原理 【應(yīng)用1】 從集合{O,P,Q,R,S}與{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2個元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù)).每排中字母O,Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是__________.(用數(shù)字作答) 解析:把排法分成三類: ①當(dāng)無字母O,Q和數(shù)字0時,有排法C·C·A種; ②當(dāng)無字母O,Q,但有數(shù)字0時,有排法C·C·A種; ③當(dāng)無數(shù)字0,但有字母O,Q其中之一時,有排法C·C·C·A種. 綜上,符合題意的不同排法種數(shù)是C·C·A+C·C·A+C·C·C·A=8

2、424. 答案:8 424 【應(yīng)用2】 隨著人們生活水平的提高,某城市家庭汽車擁有量迅速增長,汽車牌照號碼需要擴(kuò)容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法,每個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字,并且3個字母必須合成一組出現(xiàn),3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn).那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照? 提示:按照新規(guī)定,牌照可以分為2類,即字母組合在左和字母組合在右.確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟. 解:將汽車牌照分為2類,一類的字母組合在左,另一類的字母組合在右. 字母組合在左時,分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字: 第1步,從26個字母中選1個,放在首位,

3、有26種選法; 第2步,從剩下的25個字母中選1個,放在第2位,有25種選法; 第3步,從剩下的24個字母中選1個,放在第3位,有24種選法; 第4步,從10個數(shù)字中選1個,放在第4位,有10種選法; 第5步,從剩下的9個數(shù)字中選1個,放在第5位,有9種選法; 第6步,從剩下的8個字母中選1個,放在第6位,有8種選法. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,字母組合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11 232 000(個). 同理,字母組合在右的牌照也有11 232 000個. 所以,共能給11 232 000+11 232 000=22 464 000輛汽車上牌照. 專題二:

4、解排列組合應(yīng)用題 區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”,無序的問題用組合知識解答,有序的問題屬于排列問題.解含有約束條件的排列、組合問題,應(yīng)先觀察取出的元素是否有順序,從而確定是排列問題還是組合問題,然后仔細(xì)審題,弄清怎樣才算完成一件事,從而確定是分類完成,還是分步完成.分類時需要滿足兩個條件:(1)類與類之間要互斥(保證不重復(fù));(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏).分步時應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分步,做到步與步之間相互獨(dú)立、互不干擾,并確保連續(xù)性. 解決受條件限制的排列、組合問題的一般策略有: (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略; (2)正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略; (3)相鄰問題捆

5、綁處理的策略; (4)不相鄰問題插空處理的策略; (5)定序問題排除法處理的策略; (6)“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略; (7)平均分組問題運(yùn)用除法處理的策略; (8)構(gòu)造模型的策略. 【應(yīng)用1】 7名學(xué)生站成一排,下列情況各有多少種不同排法? (1)甲、乙必須排在一起; (2)甲不在排頭,乙不在排尾; (3)甲、乙、丙互不相鄰; (4)甲、乙之間必須隔一人. 解:(1)(捆綁法)先將甲、乙看作一個人,有A種排法,然后對甲、乙進(jìn)行排列,所以不同的排法有A·A=1 440(種). (2)(間接法)甲在排頭或乙在排尾排法共2A種,其中都包含甲在排頭且乙在排尾的情形

6、,故有不同的排法A-2A+A=3 720(種). (3)(插空法)把甲、乙、丙插入其余4名學(xué)生產(chǎn)生的5個空中,有A·A=1 440(種)排法. (4)先從其余5人中選1人有5種選法,放在甲、乙之間,將三人看作一個整體有A種排法,然后甲乙換位有A種,共有5A·A=1 200(種)排法. 【應(yīng)用2】 有4個不同的球,四個不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi). (1)共有多少種放法? (2)恰有一個盒不放球,有多少種放法? (3)恰有一個盒內(nèi)有2個球,有多少種放法? 解:(1)一個球一個球地放到盒子里去,每只球都可有4種獨(dú)立的放法,由分步乘法計數(shù)原理,放法共有44=256(種). (2)為保

7、證“恰有一個盒子不放球”,先從四個盒子中任意拿出去1個,即將4個球分成2,1,1的三組,有C種分法;然后再從三個盒子中選一個放兩個球,其余兩個球,兩個盒子,全排列即可.由分步乘法計數(shù)原理,共有放法:C·C·C·A=144(種). (3)“恰有一個盒內(nèi)放2個球”,即另外三個盒子中恰有一個空盒.因此,“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事.故也有144種放法. 【互動探究】 本例中的4個小球若只放入4個盒子中的兩個盒子,即只有兩個空盒子,共有多少種放法? 解:先從四個盒子中任意拿走兩個有C種,問題轉(zhuǎn)化為:“4個球,兩個盒子,每盒必放球,有幾種放法?”從放球數(shù)目看,可分為(3,

8、1),(2,2)兩類.第一類:可從4個球中先選3個,然后放入指定的一個盒子中即可,有C·C種放法;第二類:有C種放法.因此共有C·C+C=14(種).由分步乘法計數(shù)原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有C·14=84(種). 專題三:二項(xiàng)式定理應(yīng)用 【應(yīng)用1】 8的展開式中x4的系數(shù)是(  ) A.16 B.70 C.560 D.1 120 解析:設(shè)二項(xiàng)展開式的第(r+1)項(xiàng)含有x4,則Tr+1=C(x2)8-rr=C·2r·x16-3r,令16-3r=4,求得r=4. 所以x4的系數(shù)為C·24=1 120. 答案:D 【應(yīng)用2】 若n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展

9、開式的常數(shù)項(xiàng)為(  ) A.10 B.20 C.30 D.120 解析:利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng).n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C+C+C+…+C=64=2n,解得n=6.設(shè)第(r+1)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則Tr+1=C·x6-r·r=C·x6-2r,令6-2r=0,解得r=3,所以Tr+1=T4=C=20. 答案:B 【應(yīng)用3】 設(shè)(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a0+a1+a2+…+a11的值為(  ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:采用賦值法,要使等式右邊為a0+a1+a2+…+a11,應(yīng)該令x+2=1,即x=-1,于是可得a0+a1+a2+…+a11=2×(-1)9=-2.答案: A

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