高中數(shù)學(xué) 第二章 概率本章整合素材 新人教B版選修2-3（通用）

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1、第二章 概率 本章整合 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專題探究 專題一：相互獨(dú)立事件的概率與條件概率 【應(yīng)用】 某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題．競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8,0.7,0.6，且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響． (1)求這名同學(xué)得300分的概率； (2)求這名同學(xué)至少得300分的概率． 提示：本小題考查概率知識(shí)．(1)同學(xué)得300分必是第一、二題一對(duì)一錯(cuò)，這樣得100分，而第三題一定答對(duì)，所以一共得分是300分． (2)至少300分，意思是得300分或多于300

2、分，而本題包括兩種情況：一種是得300分，另一種是得400分，兩種概率相加即可． 解：記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件Ai(i＝1,2,3)， 則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6. (1)這名同學(xué)得300分的概率為 P1＝P(A1 A3)＋P(A2A3) ＝P(A1)·P()·P(A3)＋P()·P(A2)·P(A3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)這名同學(xué)至少得300分的概率為 P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564. 專題二

3、：離散型隨機(jī)變量的分布列 求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是解決兩個(gè)問(wèn)題：一是隨機(jī)變量的可能取值；二是隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．針對(duì)于不同的題目，應(yīng)認(rèn)真分析題意，明確隨機(jī)變量，正確計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．求概率主要有兩種類型：(1)古典概型，利用排列組合知識(shí)求解；(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即X～B(n，p)，由P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k計(jì)算． 一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和，利用這一性質(zhì)可以由概率的分布列求出隨機(jī)變量在所給區(qū)間的概率． 【應(yīng)用】 如圖是一個(gè)從A→B的“闖關(guān)”游戲． 規(guī)則規(guī)定：每過(guò)一關(guān)前都要拋擲一個(gè)在各面上分

4、別標(biāo)有1,2,3,4的均勻的正四面體．在過(guò)第n(n＝1,2,3)關(guān)時(shí)，需要拋擲n次正四面體，如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n，則闖關(guān)成功． (1)求闖第一關(guān)成功的概率； (2)記闖關(guān)成功的關(guān)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列． 解：(1)拋一次正四面體，面朝下的數(shù)字有1,2,3,4四種情況，大于2的有兩種情況，故闖第一關(guān)成功的概率為. (2)記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n”為事件An，則P(A1)＝，拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖所示，易知P(A2)＝＝. 設(shè)拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為：x，y，z， 考慮x＋y＋z＞8的情況， 當(dāng)x

5、＝1時(shí)，y＋z＞7有1種情況； 當(dāng)x＝2時(shí)，y＋z＞6有3種情況； 當(dāng)x＝3時(shí)，y＋z＞5有6種情況； 當(dāng)x＝4時(shí)，y＋z＞4有10種情況． 故P(A3)＝＝. 由題意知，X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝P()＝， P(X＝1)＝P(A1)＝×＝， P(X＝2)＝P(A1A2)＝××＝， P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝××＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 專題三：離散型隨機(jī)變量的期望與方差 期望和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在期望這一概念之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的期望的集中與離

6、散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛． 求離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的步驟： (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值； (2)求X取每個(gè)值的概率或求出P(X＝k)； (3)寫出X的分布列； (4)由分布列和期望的定義求出E(X)； (5)由方差的定義求D(X)． 若X～B(n，p)，則可直接利用公式求： E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【應(yīng)用1】 設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨

7、機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 提示：(1)在分析取到兩球的顏色時(shí)，要注意是有放回地抽取，即同一個(gè)球可能兩次都能抽到；(2)根據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望與方差的公式計(jì)算，尋找a，b，c之間的關(guān)系． 解：(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝， 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為

8、 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝2·＋2·＋2·＝，化簡(jiǎn)得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 【應(yīng)用2】 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審．若能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為0.3.各專家獨(dú)立評(píng)審． (1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率； (2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)

9、，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 提示：本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、分布列及期望的相關(guān)知識(shí)． 解：(1)記A表示事件：稿件能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審； B表示事件：稿件恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審； C表示事件：稿件能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審； D表示事件：稿件被錄用． 則D＝A＋BC，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3， P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC) ＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40. (2)X～B(4,0.4)，所以 P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.129 6

10、， P(X＝1)＝C×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6， P(X＝2)＝C×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6， P(X＝3)＝C×0.43×(1－0.4)＝0.153 6， P(X＝4)＝0.44＝0.025 6. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.129 6 0.345 6 0.345 6 0.153 6 0.025 6 期望E(X)＝4×0.4＝1.6. 專題四：數(shù)學(xué)期望在風(fēng)險(xiǎn)與決策中的應(yīng)用 在日常生活中，人們經(jīng)常要面臨“風(fēng)險(xiǎn)”．為了減少風(fēng)險(xiǎn)，我們決策時(shí)必須平衡極大化期望和極小化風(fēng)險(xiǎn)這樣矛盾的要求，還必須在一個(gè)多階段

11、過(guò)程的每一階段作出決策．但是始終有一條指導(dǎo)性原則：盡你的最大努力去決定各種結(jié)果在每一階段出現(xiàn)的概率及這些結(jié)果的價(jià)值或效用，計(jì)算每一種行動(dòng)方案的期望效應(yīng)并斷定給出最大期望效應(yīng)的策略．這也就是說(shuō)利用隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算期望值后，就可以選擇能給出最大期望值的行動(dòng)． 【應(yīng)用】 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失，現(xiàn)有甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少． (總費(fèi)用＝采取預(yù)防措施的費(fèi)

12、用＋發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值) 解：(1)不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用損失期望為400×0.3＝120(萬(wàn)元)； (2)若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9＝0.1，損失期望值為400×0.1＝40(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為45＋40＝85(萬(wàn)元)； (3)若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85＝0.15，損失期望值為400×0.15＝60(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為30＋60＝90(萬(wàn)元)； (4)若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45＋30＝75(萬(wàn)元)，發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，損失期望值為400×0.015＝6(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為75＋6＝81(萬(wàn)元)． 綜合(1)，(2)，(3)，(4)，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少．