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1、2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4-5第2課時(shí)知能演練輕松闖關(guān) 新人教版
一、填空題
1．設(shè)a，b∈R，若a2＋b2＝5，則(a＋2b)2的最大值為________．
解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時(shí)等號(hào)成立)．
因?yàn)閍2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25.
答案：25
2．(2020·黃岡質(zhì)檢)若x＋2y＋4z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·，
∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值為.
答案：
二、解答題
3．(2020·高考福建卷)設(shè)不等式|2x－
2、1|<1的解集為M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。?
解：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00，
故ab＋1>a＋b.
4．已知m>0，a，b∈R求證：2≤.
證明：因?yàn)閙>0，
所以1＋m>0，所以要證2≤，
即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即證m(a2－2ab＋b2)≥0，
即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，
故2≤.
5．
3、已知x，y，z均為正數(shù)，求證：＋＋≥＋＋.
證明：因?yàn)閤，y，z都為正數(shù)，
所以＋＝(＋)≥.
同理可得＋≥，＋≥，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立．
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，
得＋＋≥＋＋.
6．已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3＋y3≥x2y＋xy2.
證明：法一：∵(x3＋y3)－(x2y＋xy2)
＝x2(x－y)＋y2(y－x)
＝(x－y)(x2－y2)＝(x－y)2(x＋y)，
又∵x，y∈(0，＋∞)，
∴(x－y)2≥0，x＋y>0，∴(x－y)2(x＋y)≥0，
∴x3＋y3≥x2y＋xy2.
法二：∵x2＋y2≥2xy，
4、又∵x，y∈(0，＋∞)，∴x＋y>0，
∴(x2＋y2)(x＋y)≥2xy(x＋y)，展開得x3＋y3＋x2y＋xy2≥2x2y＋2xy2，
移項(xiàng)，整理得x3＋y3≥x2y＋xy2.
7．設(shè)m是|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|>m時(shí)，
求證：|＋|<2.
證明：由已知m≥|a|，m≥|b|，m≥1.
又|x|>m，
∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，
∴≤＋
＝＋<＋
＝1＋<1＋＝2.
∴<2.
8．設(shè)a、b、c為正數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．
解：(a＋2b＋3c)[()2＋12＋2]
≥(·＋·1＋·)2
＝(＋＋)2.
∴(＋＋)2≤.
∴＋＋≤.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)．
又a＋2b＋3c＝13，
即a＝9，b＝，c＝時(shí)．
＋＋有最大值.
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