【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第2章章末綜合檢測 蘇教版必修4

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1、 (時(shí)間：120分鐘；滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，把答案填在題中橫線上) 1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，則實(shí)數(shù)m的值為__________． 解析：由a·b＝0，得3×2＋m×(－1)＝0，∴m＝6. 答案：6 2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝__________. 解析：法一：∵a∥b，∴1·m＝2×(－2)，即m＝－4， ∴b＝(－2，－4)， ∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 法二：∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb， ∴(1,

2、2)＝λ(－2，m)，即(1,2)＝(－2λ，λm)． ∴解得 ∴b＝(－2，－4)， ∴2a＋3b＝－b＋3b＝2b＝(－4，－8)． 答案：(－4,8) 3．已知|a|＝4，|b|＝6，a與b的夾角為60°，則|3a－b|＝__________. 解析：由|3a－b|2＝9a2－6a·b＋b2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a－b|＝6. 答案：6 4．在△ABC中，AB＝AC＝4，且·＝8，則這個(gè)三角形的形狀是__________． 解析：由·＝||||cosA＝8，得cosA＝，所以A＝60°，△ABC是等邊三角形． 答案：等邊三角形．

3、 5．若A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則x＝__________. 解析：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線．所以存在實(shí)數(shù)k，使得＝k.又因?yàn)锳(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，所以＝(5,10)，＝(6，x＋2)，所以(5,10)＝k(6，x＋2)．所以解得 答案：10 6．已知向量a＝(6,2)與b＝(－3，k)的夾角是鈍角，則k的取值范圍是__________． 解析：因?yàn)閍，b的夾角θ是鈍角，所以－1＜cosθ＜0.又因?yàn)閍＝(6,2)，b＝(－3，k)，所以cosθ＝＝，即－1＜＜0.解得k＜9且k≠－1.故所求k的取值范圍為

4、(－∞，－1)∪(－1,9)． 答案：(－∞，－1)∪(－1,9) 7．若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a＝__________. 解析：設(shè)向量a的坐標(biāo)為(m，n)，則a＋b＝(m＋2，n－1)，由題設(shè)，得解得或∴a＝(－1,1)或(－3,1)． 答案：(－1,1)或(－3,1) 8．如圖，半圓O中AB為其直徑，C為半圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)P為AB的中垂線上任一點(diǎn)，且||＝4，||＝3，則·＝__________. 解析：·＝·(＋)＝·＋·＝(－)·＋·＝(－)·＋0＝(||2－||2)＝(32－42)＝－. 答案：－ 9．給出下列命題：

5、 ①若a與b為非零向量，且a∥b時(shí)，則a－b必與a或b中之一的方向相同；②若e為單位向量，且a∥e，則a＝|a|e；③a·a·a＝|a|3；④若a與b共線，又b與c共線，則a與c必共線，其中假命題有__________． 解析：①命題中a－b有可能為0，其方向是任意的，故錯(cuò)；③命題中三個(gè)向量的數(shù)量積應(yīng)為向量，故為假命題． 答案：①②③④ 10．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝__________. 解析：n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－5＝2. 答案：2 11．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2

6、成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為__________． 解析：由于質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，所以F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝F＝[－(F1＋F2)]2＝F＋2F1·F2＋F＝22＋42＋2×2×4×＝4＋16＋8＝28，所以F3＝2. 答案：2 12．(2020年高考四川卷改編)設(shè)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，則||等于__________． 解析：∵||2＝16，∴||＝4.又|－|＝||＝4，∴|＋|＝4.∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)，∴||＝|＋|＝2. 答案：2 13．(2020年高

7、考遼寧卷改編)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于__________． 解析：設(shè)a、b間的夾角為θ，則S△OAB＝|a||b|·sinθ＝|a||b|·＝|a||b| ＝|a||b|· ＝. 答案： 14．(2020年高考山東卷改編)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說法錯(cuò)誤的是__________． ①若a與b共線，則a⊙b＝0； ②a⊙b＝b⊙a(bǔ)； ③對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)； ④(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2. 解析：若a＝(m，n)與

8、b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運(yùn)算“⊙”知a⊙b＝0，即①正確．由于a⊙b＝mq－np，且b⊙a(bǔ)＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a(bǔ)，即②不正確．對(duì)于③，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，即③正確．對(duì)于④，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，即④正確．故選②. 答案：② 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分1

9、4分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k的值； (2)設(shè)d＝(x，y)滿足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d. 解：(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， ∴k＝－. (2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，∴ 解得或 ∴d＝或d＝. 16．(本小題滿分14分)＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥. (1)求x與y的關(guān)系式； (

10、2)若有⊥，求x、y的值及四邊形ABCD的面積． 解：(1)∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4,2－y)． 又∥，＝(x，y)， ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. (2)∵＝＋＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)， 且⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 又由(1)的結(jié)論x＋2y＝0， ∴(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 化簡得y2－2y－3＝0， ∴y＝3或y＝－1. 當(dāng)y＝3時(shí)

11、，x＝－6.于是有 ＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)． ∴||＝4，||＝8. ∴S四邊形ABCD＝||·||＝16. 同理y＝－1時(shí)，x＝2. 于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)． ∴||＝8，||＝4. ∴S四邊形ABCD＝||·||＝16. 即或 S四邊形ABCD＝16. 17．(本小題滿分14分)如圖所示，一艘小船從河岸A處出發(fā)渡河，小船保持與河岸垂直的方向行駛，經(jīng)過10 min到達(dá)正對(duì)岸下游120 m的C處，如果小船保持原來的速度逆水向上游與岸成α角的方向行駛，則經(jīng)過12.5 min恰好到達(dá)正對(duì)岸B處，求河的寬度d. 解：由題意作出

12、示意圖．圖1為船第一次運(yùn)動(dòng)速度合成圖． 圖2為船第二次運(yùn)動(dòng)速度合成圖． 設(shè)河水流速為v水，船速為v船， 由題意，得兩次運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1＝，t2＝. 沿河岸方向有BC＝|v水|t1； 由第二次垂直河岸，有|v船|cosα＝|v水|. 將t1＝10 min，t2＝12.5 min，BC＝120 m代入以上各式，解得d＝200 m. 所以河的寬度為200 m. 18．(本小題滿分16分)已知a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a與b的夾角θ； (2)是否存在實(shí)數(shù)k，使ka＋b與a－2b垂直？ 解：(1)因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以a＋b＝－

13、c，所以|a＋b|＝|c|，所以(a＋b)2＝|c|2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，所以a·b＝＝，所以cosθ＝＝，所以θ＝60°. (2)若存在實(shí)數(shù)k，使ka＋b與a－2b垂直，則(ka＋b)·(a－2b)＝ka2－2b2－2ka·b＋a·b＝－6k－＝0，解得k＝－.所以存在實(shí)數(shù)k使得ka＋b與a－2b垂直． 19．(本小題滿分16分)以原點(diǎn)和A(5,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，若B＝90°，求點(diǎn)B和的坐標(biāo)． 解：設(shè)B(x，y)，則||＝. ∵B(x，y)，A(5,2)， ∴||＝， ∴＝， 即10x＋4y＝29.① 又∵⊥， ∴·＝0， 又∵＝(x，y)

14、，＝(x－5，y－2)， ∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2－5x＋y2－2y＝0.② 由①②組成方程組為 解得或 ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為或. ∴＝或＝. 20．(本小題滿分16分)如圖所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問與夾角θ取何值時(shí)，·的值最大？并求出這個(gè)最大值． 解：法一：∵⊥，∴·＝0， ∵＝－，＝－，＝－， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝－a2－·＋·＝－a2＋·(－) ＝－a2＋·＝－a2＋a2·cosθ. 故當(dāng)cosθ＝1即θ＝0(與方向相同)時(shí)，·最大，其最大值為0. 法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊AB、AC分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖． 設(shè)||＝c，||＝b， 則A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)， 且||＝2a，||＝a， 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－x，－y)， ∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)， ＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)． ∴·＝(x－c)·(－x)＋y(－y－b) ＝－(x2＋y2)＋cx－by＝－a2＋cx－by. ∵cosθ＝＝， ∴cx－by＝a2·cosθ， ∴·＝－a2＋a2cosθ. 故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0(與方向相同)時(shí)，·最大，其最大值為0.