【優(yōu)化方案】2020高中數學 第2章章末綜合檢測 蘇教版必修4

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1、 (時間:120分鐘;滿分:160分) 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,把答案填在題中橫線上) 1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,則實數m的值為__________. 解析:由a·b=0,得3×2+m×(-1)=0,∴m=6. 答案:6 2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則2a+3b=__________. 解析:法一:∵a∥b,∴1·m=2×(-2),即m=-4, ∴b=(-2,-4), ∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 法二:∵a∥b,∴存在實數λ,使a=λb, ∴(1,

2、2)=λ(-2,m),即(1,2)=(-2λ,λm). ∴解得 ∴b=(-2,-4), ∴2a+3b=-b+3b=2b=(-4,-8). 答案:(-4,8) 3.已知|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為60°,則|3a-b|=__________. 解析:由|3a-b|2=9a2-6a·b+b2=9×42-6×4×6×cos60°+62=108,可求得|3a-b|=6. 答案:6 4.在△ABC中,AB=AC=4,且·=8,則這個三角形的形狀是__________. 解析:由·=||||cosA=8,得cosA=,所以A=60°,△ABC是等邊三角形. 答案:等邊三角形.

3、 5.若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三點共線,則x=__________. 解析:因為A,B,C三點共線,所以,共線.所以存在實數k,使得=k.又因為A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),所以=(5,10),=(6,x+2),所以(5,10)=k(6,x+2).所以解得 答案:10 6.已知向量a=(6,2)與b=(-3,k)的夾角是鈍角,則k的取值范圍是__________. 解析:因為a,b的夾角θ是鈍角,所以-1<cosθ<0.又因為a=(6,2),b=(-3,k),所以cosθ==,即-1<<0.解得k<9且k≠-1.故所求k的取值范圍為

4、(-∞,-1)∪(-1,9). 答案:(-∞,-1)∪(-1,9) 7.若平面向量a,b滿足|a+b|=1,a+b平行于x軸,b=(2,-1),則a=__________. 解析:設向量a的坐標為(m,n),則a+b=(m+2,n-1),由題設,得解得或∴a=(-1,1)或(-3,1). 答案:(-1,1)或(-3,1) 8.如圖,半圓O中AB為其直徑,C為半圓上任一點,點P為AB的中垂線上任一點,且||=4,||=3,則·=__________. 解析:·=·(+)=·+·=(-)·+·=(-)·+0=(||2-||2)=(32-42)=-. 答案:- 9.給出下列命題:

5、 ①若a與b為非零向量,且a∥b時,則a-b必與a或b中之一的方向相同;②若e為單位向量,且a∥e,則a=|a|e;③a·a·a=|a|3;④若a與b共線,又b與c共線,則a與c必共線,其中假命題有__________. 解析:①命題中a-b有可能為0,其方向是任意的,故錯;③命題中三個向量的數量積應為向量,故為假命題. 答案:①②③④ 10.若向量=(3,-1),n=(2,1),且n·=7,那么n·=__________. 解析:n·=n·(-)=n·-n·=7-5=2. 答案:2 11.一質點受到平面上的三個力F1,F2,F3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F2

6、成60°角,且F1,F2的大小分別為2和4,則F3的大小為__________. 解析:由于質點處于平衡狀態(tài),所以F1+F2+F3=0,則F3=-(F1+F2),所以|F3|2=F=[-(F1+F2)]2=F+2F1·F2+F=22+42+2×2×4×=4+16+8=28,所以F3=2. 答案:2 12.(2020年高考四川卷改編)設M是線段BC的中點,點A在直線BC外,||2=16,|+|=|-|,則||等于__________. 解析:∵||2=16,∴||=4.又|-|=||=4,∴|+|=4.∵M為BC的中點,∴=(+),∴||=|+|=2. 答案:2 13.(2020年高

7、考遼寧卷改編)平面上O,A,B三點不共線,設=a,=b,則△OAB的面積等于__________. 解析:設a、b間的夾角為θ,則S△OAB=|a||b|·sinθ=|a||b|·=|a||b| =|a||b|· =. 答案: 14.(2020年高考山東卷改編)定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np.下面說法錯誤的是__________. ①若a與b共線,則a⊙b=0; ②a⊙b=b⊙a; ③對任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b); ④(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2. 解析:若a=(m,n)與

8、b=(p,q)共線,則mq-np=0,依運算“⊙”知a⊙b=0,即①正確.由于a⊙b=mq-np,且b⊙a=np-mq,因此a⊙b=-b⊙a,即②不正確.對于③,由于λa=(λm,λn),因此(λa)⊙b=λmq-λnp,又λ(a⊙b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,即③正確.對于④,(a⊙b)2+(a·b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,即④正確.故選②. 答案:② 二、解答題(本大題共6小題,共90分,解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分1

9、4分)已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求實數k的值; (2)設d=(x,y)滿足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d. 解:(1)∵(a+kc)∥(2b-a),且a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, ∴k=-. (2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴ 解得或 ∴d=或d=. 16.(本小題滿分14分)=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),∥. (1)求x與y的關系式; (

10、2)若有⊥,求x、y的值及四邊形ABCD的面積. 解:(1)∵=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),∴=-=(-x-4,2-y). 又∥,=(x,y), ∴x(2-y)-y(-x-4)=0,即x+2y=0. (2)∵=+=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1), =+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3), 且⊥,∴·=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 又由(1)的結論x+2y=0, ∴(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0, 化簡得y2-2y-3=0, ∴y=3或y=-1. 當y=3時

11、,x=-6.于是有 =(-6,3),=(0,4),=(-8,0). ∴||=4,||=8. ∴S四邊形ABCD=||·||=16. 同理y=-1時,x=2. 于是有=(2,-1),=(8,0),=(0,-4). ∴||=8,||=4. ∴S四邊形ABCD=||·||=16. 即或 S四邊形ABCD=16. 17.(本小題滿分14分)如圖所示,一艘小船從河岸A處出發(fā)渡河,小船保持與河岸垂直的方向行駛,經過10 min到達正對岸下游120 m的C處,如果小船保持原來的速度逆水向上游與岸成α角的方向行駛,則經過12.5 min恰好到達正對岸B處,求河的寬度d. 解:由題意作出

12、示意圖.圖1為船第一次運動速度合成圖. 圖2為船第二次運動速度合成圖. 設河水流速為v水,船速為v船, 由題意,得兩次運動時間分別為t1=,t2=. 沿河岸方向有BC=|v水|t1; 由第二次垂直河岸,有|v船|cosα=|v水|. 將t1=10 min,t2=12.5 min,BC=120 m代入以上各式,解得d=200 m. 所以河的寬度為200 m. 18.(本小題滿分16分)已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7. (1)求a與b的夾角θ; (2)是否存在實數k,使ka+b與a-2b垂直? 解:(1)因為a+b+c=0,所以a+b=-

13、c,所以|a+b|=|c|,所以(a+b)2=|c|2,即a2+2a·b+b2=c2,所以a·b==,所以cosθ==,所以θ=60°. (2)若存在實數k,使ka+b與a-2b垂直,則(ka+b)·(a-2b)=ka2-2b2-2ka·b+a·b=-6k-=0,解得k=-.所以存在實數k使得ka+b與a-2b垂直. 19.(本小題滿分16分)以原點和A(5,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB,若B=90°,求點B和的坐標. 解:設B(x,y),則||=. ∵B(x,y),A(5,2), ∴||=, ∴=, 即10x+4y=29.① 又∵⊥, ∴·=0, 又∵=(x,y)

14、,=(x-5,y-2), ∴x(x-5)+y(y-2)=0,即x2-5x+y2-2y=0.② 由①②組成方程組為 解得或 ∴B點的坐標為或. ∴=或=. 20.(本小題滿分16分)如圖所示,在Rt△ABC中,已知BC=a,若長為2a的線段PQ以點A為中點,問與夾角θ取何值時,·的值最大?并求出這個最大值. 解:法一:∵⊥,∴·=0, ∵=-,=-,=-, ∴·=(-)·(-) =·-·-·+· =-a2-·+·=-a2+·(-) =-a2+·=-a2+a2·cosθ. 故當cosθ=1即θ=0(與方向相同)時,·最大,其最大值為0. 法二:以A為坐標原點,兩直角邊AB、AC分別為x軸、y軸建立直角坐標系,如圖. 設||=c,||=b, 則A(0,0),B(c,0),C(0,b), 且||=2a,||=a, 設點P(x,y),則Q(-x,-y), ∴=(x-c,y),=(-x,-y-b), =(-c,b),=(-2x,-2y). ∴·=(x-c)·(-x)+y(-y-b) =-(x2+y2)+cx-by=-a2+cx-by. ∵cosθ==, ∴cx-by=a2·cosθ, ∴·=-a2+a2cosθ. 故當cosθ=1,即θ=0(與方向相同)時,·最大,其最大值為0.

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