【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第7講　正弦定理、余弦定理應用舉例教案 理 新人教版

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1、第7講　正弦定理、余弦定理應用舉例 【2020年高考會這樣考】 考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題． 【復習指導】 1．本講聯(lián)系生活實例，體會建模過程，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法． 2．加強解三角形及解三角形的實際應用，培養(yǎng)數(shù)學建模能力．　　 基礎梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等． 2．實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1))． (2)

2、方位角 指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖(2))． (3)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏東60°等． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)． 一個步驟 解三角形應用題的一般步驟： (1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系． (2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型． (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解． (4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等． 兩種情形 解三角形應用題常有以下兩種情形 (

3、1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為(　　)． A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解

4、析　由正弦定理得＝，又∵B＝30° ∴AB＝＝＝50(m)． 答案　A 2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為(　　)． A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析　根據(jù)仰角與俯角的定義易知α＝β. 答案　B 3．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的(　　)． A．北偏東15° B．北偏西15° C．北偏東10° D．北偏西10° 解析　如圖． 答案　B 4．一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后

5、，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(　　)． A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 解析　如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)， 在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)， 于是這艘船的速度是＝10(海里/時)． 答案　C 5．海上有A，B，C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，則B，C間的距離是________海里． 解析　由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)． 答案　5 　　 考向一

6、　測量距離問題 【例1】?如圖所示， 為了測量河對岸A，B兩點間的距離，在這岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，試求AB的長． [審題視點] 在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB. 解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45° 在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a. 在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為AB＝＝a. (1)利用示意圖

7、把已知量和待求量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學模型的解． 【訓練1】 如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離． 解　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂

8、線，所以BD＝BA. 又∵∠ABC＝15° 在△ABC中，＝， 所以AB＝＝(km)， 同理，BD＝(km)． 故B、D的距離為 km. 考向二　測量高度問題 【例2】?如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD. [審題視點] 過點C作CE∥DB，延長BA交CE于點E，在△AEC中建立關系． 解　 如圖，設CD＝x m， 則AE＝x－20 m， tan 60°＝， ∴BD＝＝＝x (m)． 在△AEC中，x－20＝x， 解得x＝10(3＋) m．故山高CD為10(3＋)

9、 m. (1)測量高度時，要準確理解仰、俯角的概念； (2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個三角形內應用正、余弦定理． 【訓練2】 如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB. 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. 考向三　正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用 【例3】?如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB

10、＝45°，求BD的長． [審題視點] 由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，關鍵是確定∠BAD的正弦值．在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB ＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依據(jù)∠ABC與∠BAD互補確定sin∠BAD即可． 解　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得＝， sin∠ABC＝＝＝. ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC， 于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝. 同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝， ∠ADB＝45°，由正弦定理：＝， 解得BD＝.

11、故BD的長為. 要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形，在分割時，要注意有利于應用正、余弦定理． 【訓練3】 如圖，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長． 解　在△ADC中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°. 在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝＝5. 　　 規(guī)范解答9——如何運用解三角形知識解決實際問 【問題研究】 (1)解三角形實際應用問題的一般步

12、驟是：審題——建模(準確地畫出圖形)——求解——檢驗作答.,(2)三角形應用題常見的類型：,①實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形，這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解；,③實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.,【解決方案】 航海、測量問題利用的就是目標在不同時刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標系中就構成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標在一定的時間內的運動距離，因此解題的關鍵就是通過這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測量目

13、標歸入到一個可解三角形中. 【示例】?(本題滿分12分) 如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．問：乙船每小時航行多少海里？ (1)分清已知條件和未知條件(待求)．(2)將問題集中到一個三角形中．(3)利用正、余弦定理求解． [解答示范] 如圖，連接A1B2由已知A2B2＝10， A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－1

14、20°＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度為×60＝30(海里/時)．(12分) 利用解三角形知識解決實際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結合示意圖構造三角形，然后轉化為解三角形的問題進行求解． 【試一試】 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，求cos θ. [嘗試解答]　如圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20. 由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝. 故cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30° ＝×－×＝.