【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第7講　正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例教案 理 新人教版

《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第7講　正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例教案 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第7講　正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例教案 理 新人教版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例 【2020年高考會(huì)這樣考】 考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題中的角度、方向、距離及測(cè)量問(wèn)題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．本講聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模過(guò)程，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法． 2．加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力．　　 基礎(chǔ)梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型 測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等． 2．實(shí)際問(wèn)題中的常用角 (1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1))． (2)

2、方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖(2))． (3)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏東60°等． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)． 一個(gè)步驟 解三角形應(yīng)用題的一般步驟： (1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系． (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型． (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解． (4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等． 兩種情形 解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形 (

3、1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　)． A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解

4、析　由正弦定理得＝，又∵B＝30° ∴AB＝＝＝50(m)． 答案　A 2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為(　　)． A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析　根據(jù)仰角與俯角的定義易知α＝β. 答案　B 3．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(　　)． A．北偏東15° B．北偏西15° C．北偏東10° D．北偏西10° 解析　如圖． 答案　B 4．一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后

5、，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)(　　)． A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 解析　如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)， 在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)， 于是這艘船的速度是＝10(海里/時(shí))． 答案　C 5．海上有A，B，C三個(gè)小島，測(cè)得A，B兩島相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，則B，C間的距離是________海里． 解析　由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)． 答案　5 　　 考向一

6、　測(cè)量距離問(wèn)題 【例1】?如圖所示， 為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這岸定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，試求AB的長(zhǎng)． [審題視點(diǎn)] 在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB. 解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45° 在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a. 在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)椤螦CB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝＝a. (1)利用示意圖

7、把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解． 【訓(xùn)練1】 如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離． 解　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂

8、線，所以BD＝BA. 又∵∠ABC＝15° 在△ABC中，＝， 所以AB＝＝(km)， 同理，BD＝(km)． 故B、D的距離為 km. 考向二　測(cè)量高度問(wèn)題 【例2】?如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測(cè)得山頂C的仰角為60°，在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD. [審題視點(diǎn)] 過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB，延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)E，在△AEC中建立關(guān)系． 解　 如圖，設(shè)CD＝x m， 則AE＝x－20 m， tan 60°＝， ∴BD＝＝＝x (m)． 在△AEC中，x－20＝x， 解得x＝10(3＋) m．故山高CD為10(3＋)

9、 m. (1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念； (2)分清已知和待求，分析(畫(huà)出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理． 【訓(xùn)練2】 如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB. 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. 考向三　正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用 【例3】?如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB

10、＝45°，求BD的長(zhǎng)． [審題視點(diǎn)] 由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，關(guān)鍵是確定∠BAD的正弦值．在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB ＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依據(jù)∠ABC與∠BAD互補(bǔ)確定sin∠BAD即可． 解　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得＝， sin∠ABC＝＝＝. ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC， 于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝. 同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝， ∠ADB＝45°，由正弦定理：＝， 解得BD＝.

11、故BD的長(zhǎng)為. 要利用正、余弦定理解決問(wèn)題，需將多邊形分割成若干個(gè)三角形，在分割時(shí)，要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理． 【訓(xùn)練3】 如圖，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長(zhǎng)． 解　在△ADC中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°. 在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝＝5. 　　 規(guī)范解答9——如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn) 【問(wèn)題研究】 (1)解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步

12、驟是：審題——建模(準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形)——求解——檢驗(yàn)作答.,(2)三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的類型：,①實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解；,③實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.,【解決方案】 航海、測(cè)量問(wèn)題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過(guò)這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目

13、標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中. 【示例】?(本題滿分12分) 如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問(wèn)：乙船每小時(shí)航行多少海里？ (1)分清已知條件和未知條件(待求)．(2)將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中．(3)利用正、余弦定理求解． [解答示范] 如圖，連接A1B2由已知A2B2＝10， A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－1

14、20°＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度為×60＝30(海里/時(shí))．(12分) 利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題要注意根據(jù)條件畫(huà)出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題進(jìn)行求解． 【試一試】 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，求cos θ. [嘗試解答]　如圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20. 由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝. 故cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30° ＝×－×＝.