時變電磁場 電磁場與電磁波 謝處方課件

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1、第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫1 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 4.1 波動方程波動方程 4.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定理電磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時諧電磁場時諧電磁場第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫24.1 波動方程波動方程 在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無損耗的均勻媒在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無源區(qū)的波動方程無源區(qū)的波動方程 波動方程波動方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性揭示電磁場的波動性 麥克斯韋方程麥

2、克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場與磁場一階矢量微分方程組，描述電場與磁場 間的相互作用關(guān)系間的相互作用關(guān)系 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動方程波動方程 問題的提出問題的提出0222tHH0222tEE電磁波動方程電磁波動方程第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫30222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得 推證推證第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫4222222222222:000 xxxxyyyyzzzzEEEExyztEEEExyztEEEExyzt分量表示第4章電磁場與電磁波電磁場

3、與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫54.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù) 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫6引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。 引入位函數(shù)的意義引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義ABtAE0)(tA0 BtBA定義為矢量位AEt為 標(biāo) 量 位第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫7 位函數(shù)的不確定性位函數(shù)的不

4、確定性）、（A 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和和 能描述同能描述同一個電磁場問題。一個電磁場問題。）、（AAAt 為任意可微函數(shù)為任意可微函數(shù)()()()AAAAAAtttt A 原因：未規(guī)定原因：未規(guī)定 的散度的散度第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫8第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫9庫侖條件庫侖條件 洛倫茲條件洛倫茲條件 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定位函數(shù)的不確定性，可

5、通過規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。以簡化。AA0 A0tA第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫10tDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJBJtAA222 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程BHEDtAEABAAA2)(0tA第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫11 D)(tA222t同樣同樣tAEED、0tA第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫12222t 說明說明JtAA222 若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程? 具有什么特點

6、具有什么特點? 問題問題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點：應(yīng)用洛侖茲條件的特點： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱 的，且比較簡單，易求解；的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確解的物理意義非常清楚，明確地地 反映出電磁場具有有限的傳遞速度；反映出電磁場具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標(biāo)，標(biāo) 量位只決定于量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出這對求解方程特別有利。只需解出A，無需，無需 解出解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。 電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析

7、求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位和標(biāo)量位 的解也不相同，但最的解也不相同，但最終終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫134.3 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量坡印廷矢量第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫14電場能量密度電場能量密度：DEwe21磁場能量密度磁場能量密度：BHwm21電磁能量密度電磁能量密度：BHDEwwwme2121空間區(qū)

8、域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量：VVVBHDEVwWd)2121(d 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWtVS第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫15 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量內(nèi)損耗的能量 特點特點：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系：第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫16 其中其中： 單位時間內(nèi)體積單位時間內(nèi)

9、體積V 中所增加中所增加 的電磁能量的電磁能量 單位時間內(nèi)電場對體積單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所作的功；中的電流所作的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率內(nèi)總的損耗功率 通過曲面通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率的電磁功率 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式積分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()( 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫17 將以上兩

10、式相減，得到將以上兩式相減，得到tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH 推證推證第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫18在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時間在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時間變化時，則有變化時，則有)21()(21DttttD)21()(21BHttHHtHHtBH第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫19即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：)(HHHJBHDtH)2121()(第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫20在任意閉曲面在任

11、意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對上式兩端上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式積分形式VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)( 物理意義：物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面單位時間內(nèi)，通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等的電磁能量等于體積于體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。和。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫21 定義：定義： ( W/m2 )HS 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较騍

12、的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫22 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過的電流為，導(dǎo)體中流過的電流為I

13、。（。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬ㄇ闆r下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫23 解：解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理

14、和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫24電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源向負(fù)載，如圖所示。即由電源向負(fù)載，如圖所示。2d2d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿過任意橫截面的功率為穿過

15、任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫25 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場部存在沿電流方向的電場內(nèi)內(nèi)2zJIEea在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為zzEE外 內(nèi)2ln()zaUIEeeab aa外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）第

16、4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫262aIHea外磁場則仍為磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫2722122320()d2d2SaIIPSSa zRIaa外e21Ra式中式中 是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的

17、坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。向分量，如圖所示。 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)模瑢?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫284. 4 惟一性定理惟一性定理 在以閉曲面在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域內(nèi)為邊界的有界區(qū)域內(nèi)

18、V，如果給定如果給定t0時刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度時刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 時，給定邊界面時，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在 t 0 時，區(qū)域時，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解

19、條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題?？怂鬼f方程的解的惟一問題。 惟一性問題惟一性問題VS第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫29012EEE012HHH 惟一性定理的證明惟一性定理的證明 利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解一的，那么至少存在兩組解 、 和和 、 滿足同樣的麥克斯韋滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。令方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。

20、令1E2H2E1H000EHEt00HEt0()0H0()0E則在區(qū)域則在區(qū)域V 內(nèi)內(nèi) 和和 的初始值為零；在邊界面的初始值為零；在邊界面S 上電場強(qiáng)度上電場強(qiáng)度 的的切向分量為零或磁場強(qiáng)度切向分量為零或磁場強(qiáng)度 的切向分量為零，且的切向分量為零，且 和和 滿足麥滿足麥克斯韋方程克斯韋方程0E0H0E0H0E0H第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫30根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有22200000d11()d()ddd22nSVVEHe SHEVEVt222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以，得所以，得由于的初始值為零，將上式兩邊對由于的初始值

21、為零，將上式兩邊對 t 積分，可得積分，可得222000011()d(d)d022tVVHEVEVt 000000()()()0nnnSSSEHeeEHHeE根據(jù)根據(jù) 和和 的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為0E0H第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫3100,E 00H 12,EE12HH上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證畢）（證畢）即即 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場 問題的求解提

22、供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的 應(yīng)用。應(yīng)用。 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫324. 5 時諧電磁場時諧電磁場 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫33 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念 如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余

23、弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫34 研究時諧電磁場具有重要意義研究時諧電磁場具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。廣播、廣播、電視和通信的載波等都是時諧電磁場。電視和通信的載波等都是時諧電磁場。 任意的時變場在一定的條件下可通過傅立葉分任意的時變場在一定的條件下可通過傅

24、立葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫354.5.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示 時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題得分析得以簡化。數(shù)時諧電磁場問題得分析得以簡化。 設(shè)設(shè) 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間隨時間t t 作正弦變化的場量，它作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成它與時間的關(guān)系可以表示成

25、( , )u r t 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫36( , )( )cos( )mu r turtr()( , )ReRe ( )ejtrjtmu r tu eu r其中其中( )( )ejrmu ru時間因子時間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的um為振幅、為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。( )r 實數(shù)表示法或?qū)崝?shù)表示法或瞬時表示法瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫37照此法，矢量場的各分量照此法，矢量場的各分量Ei（i 表示表示

26、x、y 或或 z）可表示成）可表示成 ( )( , )Re( )eReijtrj tiiimE r tE rE e( , )Re( )ejtmE r tEr( )( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxxmyymzzmEre Er ee Er ee Er e各分量合成以后，電場強(qiáng)度為各分量合成以后，電場強(qiáng)度為 復(fù)矢量復(fù)矢量第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫38 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場 真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達(dá)式真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達(dá)式 由于時間因子是默認(rèn)的，有時它不用寫出來，由

27、于時間因子是默認(rèn)的，有時它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量只用與坐標(biāo)有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫39 例例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式( , )cos()sin()xxmxyymyE z teEt kze Et kz（2）00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta（1）第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫40解：解：（

28、1）由于）由于( , )cos()cos()2xxmxyymyE zteEt kzeEt kz (/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee jE e所以所以第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫41（2）因為）因為 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa故故 00( , , )()sin()s

29、in()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以所以 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫42 例例4.5.2 已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量( )cos()mxxmzEze jEk z解解()2( , )Recos()eRecos()ejtxxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek zt其中其中kz和和Exm為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量cos(

30、)sin()xxmze Ek zt 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫43以電場旋度方程以電場旋度方程 為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得tBERe(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBjBt mmEj B 4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程ReRemmEjB 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫440mmmmmmmmHJjDEjBBD 0tt DHJBEBD0BDBjEDjJHjt 略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)m第4章電磁場與電磁波電磁場與電

31、磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫45 例題例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為：已知正弦電磁場的電場瞬時值為),(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10)( , )0.04 cos(10/ 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中試求：（試求：（1）電場的復(fù)矢量）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫46888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re

32、 0.03e Re 0.04eRe0.03e0.04eexxxxjt kzjt kzxxj kzj kzjxxE z tet kzet kzet kzet kzeeee 810t 解解：（1）因為）因為/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee故電場的復(fù)矢量為故電場的復(fù)矢量為第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫47（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量量jkzjjyjkzjjyxykekezEjezEjzHe e1001. 1e106 . 7e e04. 0e03. 0)(1)(34253200058(

33、 , )Re( )e7.6 10sin(10)j tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz磁場強(qiáng)度瞬時值磁場強(qiáng)度瞬時值第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫48實際的介質(zhì)都存在損耗：實際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗 電介質(zhì)電介質(zhì)受到極化時，存在電極化損耗受到極化時，存在電極化損耗 磁介質(zhì)磁介質(zhì)受到磁化時，存在磁化損耗受到磁化時，存在磁化損耗 損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不一

34、些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略能忽略。4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫49()cjjjj HEEEE 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù) 對于介電常數(shù)為對于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，的導(dǎo)電媒質(zhì)，有有其中其中 c= -j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫50 電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有 ，稱為復(fù)介電，稱為復(fù)介

35、電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。 cj 同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì) 對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為為 (+)cj 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率 對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。 cj第4章電磁場與電磁波

36、電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫51 損耗角正切損耗角正切 工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實部之比，即有復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實部之比，即有 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。tantan，電介質(zhì)電介質(zhì)tan，導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體1 一般導(dǎo)電媒質(zhì)一般導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)

37、體良導(dǎo)體第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫524.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 理想介質(zhì)理想介質(zhì) 在時諧時情況下，將在時諧時情況下，將 、 ，即可得到復(fù)矢即可得到復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。222t jt 瞬時矢量瞬時矢量復(fù)矢量復(fù)矢量222200kkEEHH()k 22222200ttEEHH第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫53導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)()cck 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫544.5.5

38、 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) t BAAE洛侖茲條件洛侖茲條件瞬時矢量瞬時矢量復(fù)矢量復(fù)矢量jBAEAjAtA第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫55達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程222222tt AAJ2222kkAAJ第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫564.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 時諧場中時諧場中二次式的表示方法二次式的表示方法 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代

39、入。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr 設(shè)某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為設(shè)某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為 電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫57則能流密度為則能流密度為 200cos( )tSEHEHr如把電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有如把電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有( )0( )ejrE rE( )0( )ejrH rH( )( )002

40、( )0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )jtjtj tj tjttrrrSEHEHEHEHr( )( )00200ReeReecos( )jtjttrrSEHEHr先取實部，再代入先取實部，再代入 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫58使用二次式時需要注意的問題使用二次式時需要注意的問題 二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式 場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可 場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘先取實后相乘” 如復(fù)數(shù)形式的場量

41、中沒有時間因子，取實前先補充時間因子如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫59 二次式的時間平均值二次式的時間平均值 在時諧電磁場中，常常要在時諧電磁場中，常常要關(guān)心關(guān)心二次式二次式在一個在一個時間周期時間周期 T 中的平均值，即中的平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量0011d()dTTavtEHtTTSS平均電場能量密度平均電場能量密度00111dd2TTeaveww tE D tTT 平均磁場能量密度平均磁場能量密度00111dd2TTmavmww tH B tTT 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌

42、教授王喜昌教授編寫編寫60 在時諧電磁場中，二次式在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計算，有直接由復(fù)矢量計算，有1Re() ,2avEHS1Re()4mavwH B 1Re() ,4eavwE D 第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫61則平均能流密度矢量為則平均能流密度矢量為 02000001()d11cos ( )d2TavTtTtrtTSEHEHEH00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr 例如某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度例如某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度都用都用實數(shù)形式給出實數(shù)形式給出

43、第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫62如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 ( )0( )0( )e( )ejjrrE rEH rH001Re( e) Re(e)2j tj tavavSEHEH*1Re()2avSEH( )( )000011Reee22jjrrEHEH時間平均值與時間無關(guān)時間平均值與時間無關(guān)第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫63 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它時變電磁場；而也適用于其它時變電磁場；而 只適用于時只適用于時諧電磁場。諧

44、電磁場。 ( , ) tS r( )avSr01( )( , )dTavttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 計計算算 ，但不能直接由，但不能直接由 計算計算 ，也，也就是說就是說( , ) tS r( )avSr( )avSr( , ) tS r( , )Re( )ej tavtS rSr 幾點說明幾點說明第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫64 在在 中，中， 和和 都是實都是實數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以 也是時間的函數(shù)，也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個瞬時的取值；而反映的是能流密度在某一個瞬時的取值；而 中的中的 和和 都是

45、復(fù)都是復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以矢量，與時間無關(guān)，所以 也與時間無關(guān)，反映的也與時間無關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , ) tH r( , ) tE r( , ) tS r1( )Re( )( )2avSrE rHr()Er()Hr( )avSr第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫65 例例4.5.4已知無源的自由空間中，電磁場的電場強(qiáng)已知無源的自由空間中，電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為度復(fù)矢量為 ，其中，其中k 和和 E0 為常數(shù)。求：為常數(shù)。求：（1）磁場強(qiáng)度復(fù)

46、矢量）磁場強(qiáng)度復(fù)矢量H ；（；（2）瞬時坡印廷矢量）瞬時坡印廷矢量S ；（；（3）平均平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav 。0( )ejkzyzEEe 解解：（1）由）由 得得0j EH000000011( )( )() (e)1(e)ejkzzyjkzjkzxxzzEjjzkEEjzHEeeee第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫66（2）電場和磁場的瞬時值為）電場和磁場的瞬時值為00( , )Re( )ecos()j txkEz tzt kzHHe0( , ) Re( )ecos()j tyz tzEt kzEEe瞬時坡印廷矢量為瞬時坡印廷矢量為000cos() co

47、s()yxkEEtkztkz SEHee2200cos ()zkEtkze第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫67 （3）平均坡印廷矢量為）平均坡印廷矢量為0002200001Ree(e) 221Re()2zjkzjkzavyxzkEEkEkE Seeee2002222000001dd2cos ()d22TavzzttTkEktkztE SSSee或直接積分，得或直接積分，得第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫68 例例4.5.5 已知真空中電磁場的電場強(qiáng)度和磁場已知真空中電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度矢量分別為強(qiáng)度矢量分別為00( , )cos

48、(),( , )cos()xyz tEtkzz tHtkzEeHe解解:(1)22002222000011()()221cos ()cos ()2emwwwEHEtkzHtkz E DB H其中其中E0、H0 和和 k 為常數(shù)。求：為常數(shù)。求：(1) w 和和 wav ；(2) S 和和 Sav。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫69*22000011Re()()44aveavmavwwwEH E DBH*000000e,e,e,ejkzjkzjkzjkzxxyyEEHHEeDeHeBe由于由于(2)200( , )( , )cos ()zz tz tE HtkzS

49、EHe*0011Re()22avzE HSEHe所以所以第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫70例例4.5.6 已知截面為已知截面為 的矩形金屬波導(dǎo)中電磁的矩形金屬波導(dǎo)中電磁場的復(fù)矢量為場的復(fù)矢量為 bazjzxzjyaxHeaxHajeHaxHajeEe)cossin(esin000式中式中H0 、都是常數(shù)。試求：（都是常數(shù)。試求：（1）瞬）瞬時坡印廷矢量；時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫71 解解：（1） 和和 的瞬時值為的瞬時值為EH)sin(sineRe),(0ztaxHaeEtzxEytj0coscos()zxe Htza0( , , )Re esinsin()j txaxH x z tHeHtza第4章電磁場與電磁波電磁場與電磁波王喜昌教授王喜昌教授編寫編寫72)(sin)sin()()22sin()2sin(4),(),(),(220220ztaxHaeztaxHaetzxHtzxEtzxzxS)(sin)(21Re212202*axHaeHEzavS（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬時坡印廷矢量所以瞬時坡印廷矢量