北師大版八年級(jí)下冊(cè) 三角形手拉手模型 專題講義(無答案)

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1、手拉手模型 1、等邊三角形 條件：△OAB，△OCD均為等邊三角形 結(jié)論：；； 導(dǎo)角核心：八字導(dǎo)角 2、等腰直角三角形 條件：△OAB，△OCD均為等腰直角三角形 結(jié)論：；； 導(dǎo)角核心： 3、任意等腰三角形 條件：△OAB，△OCD均為等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 結(jié)論：；； 核心圖形： 核心條件：；； 例題講解： A類 1：在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD， 等邊三角形要得到哪些結(jié)論？ 要聯(lián)想到什么模型？ 證明：（1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）AE與DC的

2、夾角為60°； （4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB； （6）BH平分∠AHC； 解題思路： 1：出現(xiàn)共頂點(diǎn)的等邊三角形，聯(lián)想手拉手模型 2：利用邊角邊證明全等； 3：八字導(dǎo)角得角相等； 2：如圖兩個(gè)等腰直角三角形ADC與EDG，連接AG,CE,二者相交于H. 等腰直角三角形要得到哪些結(jié)論？ 要聯(lián)想到什么模型？ 問 （1）△ADG≌△CDE是否成立？ （2）AG是否與CE相等？ （3）AG與CE之間的夾角為多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？ 解題思路： 1：出現(xiàn)共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，聯(lián)想手拉手模型 2：利用邊角邊證

3、明全等； 3：八字導(dǎo)角得角相等； 3：如圖，分別以△ABC 的邊AB、AC 同時(shí)向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD， 等腰直角三角形要得到哪些結(jié)論？ 要聯(lián)想到什么模型？ ∠BAE =∠CAD=90°，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F 為BE 中點(diǎn)，點(diǎn)H 為CD中點(diǎn)。探索GF 與 多個(gè)中點(diǎn)，一般考慮什么？ GH 的位置及數(shù)量關(guān)系并說明理由。 解題思路： 1：有兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，聯(lián)想手拉手全等，連接BD，CE，△BAD≌△EAC 2：多個(gè)中點(diǎn)，聯(lián)想中位線，得線段關(guān)系 B類 1：如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為

4、射線AD任意一點(diǎn)（P與A不重合）， 出現(xiàn)等邊三角形，要想到哪些？ 連結(jié)CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)QB并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)E. 旋轉(zhuǎn)60°，要做什么？ （1）如圖1，猜想∠QEP=_______°； （2）如圖2，3，若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明； （3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長(zhǎng)． 有特殊的鈍角，需要做什么？ 求線段長(zhǎng)有哪些方法？ 解題思路： 1：旋轉(zhuǎn)60°，出現(xiàn)等邊三角形 2：兩個(gè)共頂點(diǎn)的三角形，聯(lián)想手拉手全等 3：求

5、線段長(zhǎng)度，利用勾股定理 2：在中，，，BD為斜邊AC上的中線，將繞點(diǎn)D 等腰直角三角形斜邊的中線可以得到什么？ 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)()得到，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F， 等腰直角三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是什么模型？ BE與FC相交于點(diǎn)H. （1）如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系：____________; （2）如圖2，M、N分別為EF、BC的中點(diǎn).求證：; 出現(xiàn)中點(diǎn)要想到什么？ （3）連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系：. 線段的關(guān)系都有哪些？ 解題思路： 1：等腰直角三角形斜邊

6、的中線把三角形分成兩個(gè)相同的等腰直角三角形 2：等腰直角三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，聯(lián)想手拉手模型 3：等腰直角三角形中出現(xiàn)中點(diǎn)，聯(lián)想斜邊中點(diǎn) 4：利用勾股定理得線段關(guān)系 3：在Rt△ABC中，，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，連接CD． 直角+中點(diǎn)，聯(lián)想什么？ （1）如圖1，如果，那么DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系是___________． （2）如圖2，在（1）的條件下，P是線段CB上一點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 旋轉(zhuǎn)60°，要做什么，還要聯(lián)想什么？ 線段關(guān)系，一般有哪些？

7、 （3）如圖3，如果（），P是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）． 解題思路： 1：直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半 2：30°的直角三角形，得到等邊三角形 3：線段關(guān)系一般有和差倍，勾股定理 4：等腰三角形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，聯(lián)想手拉手模型 C類 1：已知：在△ABC中，∠BAC=60°． （1）如圖1，若AB=AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處，得到△ADB，連接DP

8、 旋轉(zhuǎn)60°，要做什么，還要聯(lián)想什么？ ①依題意補(bǔ)全圖1； ②直接寫出PB的長(zhǎng)； （2）如圖2，若AB=AC，點(diǎn)P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度數(shù)； 給出共頂點(diǎn)的三條線段，要做什么？ 當(dāng)看到3，4，5，要來你想什么？ （3）如圖3，若AB=2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=，PB=5，∠APC=120°，請(qǐng)直接寫出PC的長(zhǎng)． 圖1 圖2圖3 解題思路： 1：共點(diǎn)的三條線段，利用旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，使之放在同一三角形中 2：勾股定理，勾股數(shù) 3：沿用前兩問思路，

9、構(gòu)造手拉手相似 2：在□ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG. （1）如圖1，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若∠EAB=60°，求證：EG =AG+BG； （2）如圖2，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），請(qǐng)你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）； （3）如圖3，當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且∠EAB=90°，請(qǐng)你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解題思路： 1：有60°角，聯(lián)想等邊三角形，聯(lián)想手拉手 2：線段和差，聯(lián)想截長(zhǎng)補(bǔ)短 3：等腰三角形，構(gòu)

10、造手拉手模型 4：三條線段的關(guān)系：和差倍、勾股定理 課堂練習(xí) A類 1：如圖，已知和都是等邊三角形，、、在一條直線上，試說明與相等的理由． 2：如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN． （1）求證：AE=BD； （2）求證：MN∥AB． 3：已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)． （1）求證：AD=BE； （2）求∠DOE的度數(shù)； （3）求證：△MNC是等邊三角形．

11、 　 B類 1：在中，，，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD． （1）如圖1，直接寫出的大小（用含的式子表示）； （2）如圖2，，，判斷的形狀并加以證明； （3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若，求的值 2.如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對(duì)角線BD. （1）將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE. ①依題意補(bǔ)全圖1； ②試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）在（1）的條件下，直接寫出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系； （3）如圖2，F(xiàn)是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，

12、且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明. （圖1） （圖2） 3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，AE，BD． （1）依題意補(bǔ)全圖1； （2）判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明； （3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE與BD相交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值．請(qǐng)寫出求解的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）． C類 1:已知：，以為一邊做正方形，使P、D兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè)。（1）如圖，當(dāng)時(shí)，求及的長(zhǎng) （2）當(dāng)變化， 且其它條件不變時(shí)，求的最大值，及相應(yīng)的的大小 方法總結(jié)： 手拉手輔助線構(gòu)造方法： 14