北師大版八年級下冊 三角形手拉手模型 專題講義(無答案)

手拉手模型 1、等邊三角形 條件：△OAB，△OCD均為等邊三角形 結(jié)論：；； 導(dǎo)角核心：八字導(dǎo)角 2、等腰直角三角形 條件：△OAB，△OCD均為等腰直角三角形 結(jié)論：；； 導(dǎo)角核心： 3、任意等腰三角形 條件：△OAB，△OCD均為等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 結(jié)論：；； 核心圖形： 核心條件：；； 例題講解： A類 1：在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD， 等邊三角形要得到哪些結(jié)論？ 要聯(lián)想到什么模型？ 證明：（1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）AE與DC的夾角為60°； （4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB； （6）BH平分∠AHC； 解題思路： 1：出現(xiàn)共頂點的等邊三角形，聯(lián)想手拉手模型 2：利用邊角邊證明全等； 3：八字導(dǎo)角得角相等； 2：如圖兩個等腰直角三角形ADC與EDG，連接AG,CE,二者相交于H. 等腰直角三角形要得到哪些結(jié)論？ 要聯(lián)想到什么模型？ 問 （1）△ADG≌△CDE是否成立？ （2）AG是否與CE相等？ （3）AG與CE之間的夾角為多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？ 解題思路： 1：出現(xiàn)共頂點的等腰直角三角形，聯(lián)想手拉手模型 2：利用邊角邊證明全等； 3：八字導(dǎo)角得角相等； 3：如圖，分別以△ABC 的邊AB、AC 同時向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD， 等腰直角三角形要得到哪些結(jié)論？ 要聯(lián)想到什么模型？ ∠BAE =∠CAD=90°，點G為BC中點，點F 為BE 中點，點H 為CD中點。探索GF 與 多個中點，一般考慮什么？ GH 的位置及數(shù)量關(guān)系并說明理由。 解題思路： 1：有兩個共頂點的等腰直角三角形，聯(lián)想手拉手全等，連接BD，CE，△BAD≌△EAC 2：多個中點，聯(lián)想中位線，得線段關(guān)系 B類 1：如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD任意一點（P與A不重合）， 出現(xiàn)等邊三角形，要想到哪些？ 連結(jié)CP，將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)QB并延長交直線AD于點E. 旋轉(zhuǎn)60°，要做什么？ （1）如圖1，猜想∠QEP=_______°； （2）如圖2，3，若當∠DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明； （3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長． 有特殊的鈍角，需要做什么？ 求線段長有哪些方法？ 解題思路： 1：旋轉(zhuǎn)60°，出現(xiàn)等邊三角形 2：兩個共頂點的三角形，聯(lián)想手拉手全等 3：求線段長度，利用勾股定理 2：在中，，，BD為斜邊AC上的中線，將繞點D 等腰直角三角形斜邊的中線可以得到什么？ 順時針旋轉(zhuǎn)()得到，其中點A的對應(yīng)點為點E，點B的對應(yīng)點為點F， 等腰直角三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)，是什么模型？ BE與FC相交于點H. （1）如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系：____________; （2）如圖2，M、N分別為EF、BC的中點.求證：; 出現(xiàn)中點要想到什么？ （3）連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系：. 線段的關(guān)系都有哪些？ 解題思路： 1：等腰直角三角形斜邊的中線把三角形分成兩個相同的等腰直角三角形 2：等腰直角三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)，聯(lián)想手拉手模型 3：等腰直角三角形中出現(xiàn)中點，聯(lián)想斜邊中點 4：利用勾股定理得線段關(guān)系 3：在Rt△ABC中，，D是AB的中點，DE⊥BC于E，連接CD． 直角+中點，聯(lián)想什么？ （1）如圖1，如果，那么DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系是___________． （2）如圖2，在（1）的條件下，P是線段CB上一點，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 旋轉(zhuǎn)60°，要做什么，還要聯(lián)想什么？ 線段關(guān)系，一般有哪些？ （3）如圖3，如果（），P是射線CB上一動點（不與B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段DF，連接BF，請直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）． 解題思路： 1：直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半 2：30°的直角三角形，得到等邊三角形 3：線段關(guān)系一般有和差倍，勾股定理 4：等腰三角形共頂點旋轉(zhuǎn)，聯(lián)想手拉手模型 C類 1：已知：在△ABC中，∠BAC=60°． （1）如圖1，若AB=AC，點P在△ABC內(nèi)，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點B處，得到△ADB，連接DP 旋轉(zhuǎn)60°，要做什么，還要聯(lián)想什么？ ①依題意補全圖1； ②直接寫出PB的長； （2）如圖2，若AB=AC，點P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度數(shù)； 給出共頂點的三條線段，要做什么？ 當看到3，4，5，要來你想什么？ （3）如圖3，若AB=2AC，點P在△ABC內(nèi)，且PA=，PB=5，∠APC=120°，請直接寫出PC的長． 圖1 圖2圖3 解題思路： 1：共點的三條線段，利用旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，使之放在同一三角形中 2：勾股定理，勾股數(shù) 3：沿用前兩問思路，構(gòu)造手拉手相似 2：在□ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG. （1）如圖1，當EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG =AG+BG； （2）如圖2，當EF與AB相交時，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）； （3）如圖3，當EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解題思路： 1：有60°角，聯(lián)想等邊三角形，聯(lián)想手拉手 2：線段和差，聯(lián)想截長補短 3：等腰三角形，構(gòu)造手拉手模型 4：三條線段的關(guān)系：和差倍、勾股定理 課堂練習(xí) A類 1：如圖，已知和都是等邊三角形，、、在一條直線上，試說明與相等的理由． 2：如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN． （1）求證：AE=BD； （2）求證：MN∥AB． 3：已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點． （1）求證：AD=BE； （2）求∠DOE的度數(shù)； （3）求證：△MNC是等邊三角形． 　 B類 1：在中，，，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段BD． （1）如圖1，直接寫出的大小（用含的式子表示）； （2）如圖2，，，判斷的形狀并加以證明； （3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若，求的值 2.如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對角線BD. （1）將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE. ①依題意補全圖1； ②試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）在（1）的條件下，直接寫出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系； （3）如圖2，F(xiàn)是對角線BD上一點，且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明. （圖1） （圖2） 3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，AE，BD． （1）依題意補全圖1； （2）判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明； （3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE與BD相交于點G，求點G到直線AB的距離的最大值．請寫出求解的思路（可以不寫出計算結(jié)果）． C類 1:已知：，以為一邊做正方形，使P、D兩點落在直線的兩側(cè)。（1）如圖，當時，求及的長 （2）當變化， 且其它條件不變時，求的最大值，及相應(yīng)的的大小 方法總結(jié)： 手拉手輔助線構(gòu)造方法： 14