2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十六講 銳角三角函數(shù)

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1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第十六講銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國數(shù)學(xué)家為了測量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個大小不同的直角三角形中，只要有一個銳角相等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊的比值一定相等．正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式． 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)： 1．單調(diào)性； 2．互余三角函數(shù)間的關(guān)系； 3．同角三角函數(shù)間的關(guān)系． 平方關(guān)系：sima+cos2a=1；商數(shù)關(guān)

2、系：tga=，ctga=；倒數(shù)關(guān)系：tgactga=1． 例題求解】 【例1】已知在AABC中，ZA、ZB是銳角，且sinA=,tanB=2,AB=29cm, △ABC 思路點(diǎn)撥過C作CD丄AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設(shè)CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值. 注：設(shè)△ABC中，a、b、c為ZA、ZB、ZC的對邊，R為AABC外接圓的半徑，不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論： (1) S二丄besinA=丄acsinB=丄absinC； △ABC222 （2）. 【例2】 A. 如圖，在△

3、ABC中.ZACB=90°,ZABC=15°,BC=1,則AC=() B.C.0.3D. 思路點(diǎn)撥由15°構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化. 注：（1）求（已知）非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形. （2）求（已知）銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)線段比,有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換 【例3】如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,過BC的中點(diǎn)D作DE丄AB于 E,連結(jié)CE,求sinZACE的值. 思路點(diǎn)撥作垂線把ZACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比. 【例4】如圖，在△ABC中，

4、AD是BC邊上的高，tanB=cosZDAC, (1) 求證:AC=BD； (2) 若sinC=,BC=12，求AD的長. 思路點(diǎn)撥(1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明(2)sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC=13. 【例5】已知：在RtAABC中，ZC=90°,sinA、sinB是方程的兩個根. (1) 求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件； (2) 若、滿足(1)的條件，方程的兩個根是否等于RtAABC中兩銳角A、B的正弦？ 思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建 立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件. 學(xué)歷訓(xùn)練

5、 1. 已知a為銳角，下列結(jié)論①sina+cosa=l；②如果a>45°，那么sina>cosa；③如 果cosa>，那么a〈60°；④.正確的有. 2. 如圖，在菱形ABCD中，AE丄BC于E，BC=1，cosB，則這個菱形的面積為 3. 如圖，ZC=90°,ZDBC=30°,AB=BD，利用此圖可求得tan75°=. 4．化簡 (1)=. (2)sin2l°+sin22°+???+sin288°+sin289°=. 5?身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽?三人放出風(fēng)箏線長、線與地面夾角如下 表（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），則三人所放的風(fēng)箏中（） A.甲的最高B.丙的

6、最高C.乙的最低D.丙的最低 學(xué) 狀 甲 乙 丙 放出風(fēng)箏線長（H1） 100 10Q 90 線與地面夾角（°） 40 45 60 6. 已知sinacosa二，且0°

7、10. 如圖，D是厶ABC的邊AC上的一點(diǎn)，CD=2AD，AE丄BC于E,若BD=8，sinZCBD=，求AE的長. 11. 若0°

8、A．2B．C．1D． 16.如圖，在△ABC中，ZA=30°, tanB=,AC=,則AB的長是( A．B．C．5D． 17.己在△ABC中，a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對邊，且c=，若關(guān)于的方程 （5、；3+b）x2+2ax+（5*3-b）=0有兩個相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)根的平方和為6,求厶ABC 的面積. 18. 如圖，已知AB=CD=1,ZABC=90°,ZCBD°=30。，求AC的長. 19. 設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 20. 如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動. (1)當(dāng)厶ABC滾

9、動一周到△A1B1C］的位置，此時A點(diǎn)所運(yùn)動的路程為,約為(精確到 0.1,n=3.14) (2滾動240°,C點(diǎn)的位置為C",^ABC滾動480°時，A點(diǎn)的位置在A",請你 利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(a+B)=(tana+tanp)三(1-tana?tanp)，求出ZCAC"+ZCAA"的度數(shù). 參考答案 固銳角三角函數(shù) 【例題求解】 145BJD=r?=孚加，二AD=a/AC2_CI?=\Z(13yn)2(5m)2—12zw,從而得AB=AD+BD=12m-ym= 2Z￡ 魯耐，由29=ym,得耐=2,CD=10,Sg=*AB?CD=1

10、45.選B作ZBAD=15°,交BC于D,則AD二BD，ZADC=30°. 過E作EF±BD于F.設(shè)BE=a.則BD=CD=2Qa,BC=4y?a?DF=EF=^=QsCF=CD十DF=3竝a?CE= 2應(yīng)，cosZECF=^=sinZACE. (l)tanB=箸,cosZ?C=第，???器=器，...AC=BD；⑵由sinC=||,可設(shè)AD=】2虹則AC=13趴...CDT. 又由(1)知BD=AC=13&,.113上+5方=12,得k=—& (1)p、g應(yīng)滿足以下條件 4心0 sinA+sinB=—p sinA?sinB=g 1OVsinAVl 0

11、in2A+cos2A=1, 7><0 由此推得^0<9

12、條件得ZC=9O° [jrc；當(dāng)兀=2時，有a2+b2=c2i當(dāng)川孑3時+證明如下；VsinA=—,cosA=—,0