2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第三講活力的韋達(dá)定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的． 韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等．韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路．韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法．

2、【例題求解】 【例1】已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為. 思路點(diǎn)撥所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例 【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為() A.B.或2C.D.或2 思路點(diǎn)撥可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件． 注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧： (1) 恰當(dāng)組合； (2) 根據(jù)根的定義降次； (3) 構(gòu)造對(duì)稱式． 【例3】已知關(guān)于的方程： (1) 求證：無論m取

3、什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根. (2) 若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、. 思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類討論入手． 【例4】設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值. 思路點(diǎn)撥利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(△三。)進(jìn)行的. 注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式420這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價(jià)性． 【例5】已知：四邊形ABCD中，AB〃CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的

4、兩個(gè)根. (1)當(dāng)m=2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由. ⑵若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ=1,且AB〈CD,求AB、CD的長(zhǎng).(xx年哈爾濱市中考題) 思路點(diǎn)撥對(duì)于(2),易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式. 注：在處理以線段的長(zhǎng)為根的一元二次方程問題時(shí)，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．(1)已知和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)取值范

5、圍是? (2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍. 2. 已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為. 3. CD是RtAABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是. 4. 設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，貝X的值分別等于() A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，3 5. 在RtAABC中，ZC=90°,a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對(duì)邊，a、b是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是() A.B.C.5D.2 6. 方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是() A.1B.-lC.D. 7.若關(guān)于的一元二次

6、方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：x(x+1)+乂2(乂2+1)=(x+1)(乂2+1)，判斷是否正確? 8. 已知關(guān)于的方程. (1) 當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根； (2) 若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足：，求的值. 9. 已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為. 10. 已知、是方程的兩個(gè)根，則的值為 11. AABC的一邊長(zhǎng)為5,另兩邊長(zhǎng)恰為方程的兩根，則m的取值范圍是. 12. 兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的值是()A．9413B．C．D． 13．設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為() A．B． C．D． 14. 如果方程的三根可以

7、作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.0WmW1B.m2C.D.WmWl 15. 如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10,且AB、BC(AB〉BC)的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根． (1)求rn的值； (2)若E是AB上的一點(diǎn)，CF丄DE于F,求BE為何值時(shí)，ACEF的面積是厶CED的面積的, 請(qǐng)說明理由． 16.設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程工x2 +2（m一2）x+m2-3m+ D 實(shí)數(shù)根、.c (1) 若，求m的值. (2) 求的最大值./\ 17. 如圖，已知在厶ABC中，ZACB=90°,過C作CD丄AB于D,且AD么，BD=n，AC2

8、：BC2=2：1；又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、呼的值第］7?) 18. 設(shè)、、為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和和有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程和也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求的值． 參考答案 ③充滿活力的韋達(dá)定理 【例題求解】 例10原式=a+1—p—2a=l—(a+p)=l—1=0 例2選B當(dāng)a=b時(shí)，原式=2,當(dāng)a工bg、b為方程x2~13x+m=0的兩個(gè)根p+b=13<、b只能為2或11?原式=夢(mèng)+ 2_1258 n~~22* 例3(1)4=2(加一1)2+2>0(2)xix2=-^<0,則gMO口2$0,或 ① 若工1￡0,工2豪0,則忌=—4

9、+2,x\+垃=2,:5—2=2、得皿=4,無=1士岳； ② 若4$0,工2=0,則一乜=Q+2,.??勸+可=—2,???加一2=—2,得加=0,工】=0,工2=—2. 9 例4由△=(一4加尸一4X2X(2砒2+3加一2)^0,得加￡手 4+Z2=2加，X!X2=如?礙必—-...42+乜2=(zt+乂2)2一2Z1工2=2(孕—)2+$. 匕.'4o 當(dāng)Zrt-y時(shí)心+z異取得最小值，且最小值為尋. 例5(1》當(dāng)771=2時(shí)，zl=0「.AB上CD,故四邊形ABCD是平行四邊形.當(dāng)m>2時(shí),△=〃一2〉0,乂AB+CD=2mT 17 AB?CD=(加一豆嚴(yán)+忑>0,..

10、.ABHCD,而AB〃CD,故四邊形ABCD是梯形. (2)PQ=^-DC-^-ABi=l,：.DC-AB=2 ELj ???(DC—AB)2=(DC+ABF—4DC?ABA22=(2m)2-4(m2-,n+2)得也=3,從而AB=2,CD=4. 【學(xué)力訓(xùn)練】 I. (1)——(2)m^>72.—33.6 4.C5.B6.CX|X2=1997,X|=1,x2=1997,p=—

11、從而4ab+lW4.即〈a+6)'W4. &(1WW齋；(2)由心比=疋+1>0知x,、兀同號(hào)，分4>0,花>0及q<0、Z2<0情況討論，得上=0. 9.30,210.5設(shè)A=J+3/?,B=F+3a,由A+B=10及A—B=0,得A=5. II. 弓■SM18設(shè)另兩邊為6,c.則由\b~c\=y(64-c)2-4Ac<5及Q0,解得yl4 15. (l)w=8；

12、(2)AB=8,BC=6,由評(píng)竺=￡,得DE=3EF 又厶DAE^^CFD,得語=器,AE=D；JE=籍設(shè)亦=$,則dF=人廳+AF=36+",.“二即b_i2y+36=0,解得y=6,故BE=2. 16?△=—4刃+4>0,得刃<1，結(jié)合題設(shè)知：一1=加VI. (1)乳+j?亦=(r+x,)?-2x.x.,=2mz-10m+10=6.解得巾=5土岡川千一1VmLi一場(chǎng)e= ②，把①代入②得”W2. 4n2-mz-8n+4<0③, 當(dāng)加=一1時(shí)，佇-+罟二的最大值為10. 1—X]L—X2 —~~—"y-，即m~2n(D,A=4nz~~m2—8"+16>0 又丁1+x2—8(?j—l),X|jr2=4(n?2—12),由(4~Xi)J<19z,得 把①代入③，得y