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1、2019-2020年九年級數學競賽輔導講座第一講走進追問求根公式
形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式內涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數、何時有實根等基本問題；它展示了數學的簡潔美．
降次轉化是解方程的基本思想，有些條件中含有（或可轉化為）一元二次方程相關的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當的變形來代換，從而使問題易于解決．解題時常用到變形降次、整體代入、構造零值多項式
2、等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足的整數n有個.
思路點撥從指數運算律、±1的特征人手，將問題轉化為解方程．
【例2】設、是二次方程的兩個根，那么的值等于（）
A.一4B.8C.6D.0
思路點撥求出、的值再代入計算，則計算繁難，解題的關鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如，.
例3】解關于的方程.
思路點撥因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論.
【例4】設方程，求滿足該方程的所有根之和.
思路點撥通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解
【例5】已知實數、、互不相等，且a+~=b+丄=c+丄=d+丄=x,試求的值.bcda
3、思路點撥運用連等式，通過迭代把、、用的代數式表示，由解方程求得的值.
注：一元二次方程常見的變形形式有：
(1) 把方程()直接作零值多項式代換；
(2) 把方程()變形為，代換后降次；
(3) 把方程()變形為或，代換后使之轉化關系或整體地消去．解合字母系數方程時，在未指明方程類型時，應分及兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質，如．
學歷訓練
1. 已知、是實數，且，那么關于的方程的根為.
2. 已知，那么代數式的值是
3. 若，，則的值為.
4．若兩個方程和只有一個公共根，則()
A．B．C．D．
5．當分式有意義時，的取值范圍是()
A
4、.B.C.D.且
6．方程的實根的個數是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列關于的方程：
(1) (m一1)x2+(2m一1)x+m一3=0；
(2) ；(3)．
8. 已知，求代數式(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)的值.
9. 是否存在某個實數m，使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由.
注：解公共根問題的基本策略是：當方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當方程的根不便于求出時，可設出公共根，設而不求，通過消去二次項尋找解題突破口.
10. 若，則=.
11. 已知、是有
5、理數，方程有一個根是，則的值為.
12．
已知是方程的一個正根。則代數式3+
2000
2000
‘2000
1+
的值為
13?對于方程，如果方程實根的個數恰為3個，則m值等于()
A．1n．2C．D．2．514.自然數滿足(n2-2n-2)“2+47=⑺2-2n-2)16n-16，這樣的的個數是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是負實數，且，那么的值是()
A．B．
16．已知，求的值
C．
D．
17. 已知m、n是一元二次方程的兩個根，求(m2+2000m+6)(m2+2002n+8)的值.
18. 在一個面積為l的正方形中構造一個如下
6、的小正方形：將正方形的各邊等分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結起來，如圖所示，若小正方形面積為，求的值.
19. 已知方程的兩根、也是方程的根，求、的值.
2°?如圖，銳角△ABC中，PQRS是厶ABC的內接矩形，且S^c=S矩形pQRs，其中為不小于3的自然數.求證：需為無理數.
DC,C
參考答案
①追問求根公式
【例題求解】
例14提示：由力+2=0,刃2—并一1H0得w——2,由n2~n^~1=1猖n~—l?w=2；由n?~n—1=-^1且n+2為偶數，得n
=0.
例2選A由題意有Jr?+xj—3=0,xl+x2—3=0,即xi=3—xtt-tz=3—x2
7、?原式=4?（3—jti）—4（3—）+19=3xi—廿+4^2十7=3工1—（3—工［）+4x2+7=4（jti+比〉+4=4X（—1）+4=0
例3（1）當a=l時，方程的根為乂=*；當a>0且a^l時"方程有兩個不相等的實數根E二字￥，乜=牛乎；當
時，方程有兩個相等實根孫=竝=0；當a<0時.方程沒有實數根-
例4當2r-l>0即乂>寺吋，原方程化為十一2工一3=0,解得乃=3,比=-1（舍去卄當2乂一1=0即x=~時，代人原方程不合，舍去；當2o--l<0即x
8、5由已知有：b=—*c=~-~，代入<■+￡=j~得~-~-+A-=0,即dr3——（2<7~a）j-+ad+l—0,
x~~at—clt一1ajt—ajr—1a
乂由J+—=t得ad+l=az,代人上面方程得（c/?a）（x3—2攵）=0,由已知“一“H0,故—2兀=0,若無=0,則a=ca
矛盾；故有^2=2,即工=±雄
【學力訓練】
1?1土2.23?一7或6兩方程相力口，得（兀+丿），+（j■十y）—42=04?D5-D
6. A當云>0時山=一1（舍去），當一1￡*<0時，原方程沒有實根，當才<一1時舍去.
7. （1）當心1時”2；當曲1且Q卷時5語戸；當心］且心||
9、時“7=5；當心1且X
fl時，方程無實數根.（2）山/—|乂|—］=0,&|=氣企或|別=12奔（舍去），故工2=土匕詐.（3）劃=工2=-1,吧.<=
—3士2岳.
8, 1原式=3（云一2刃一5=1.
9. 假設存在符合條件的實數椀，且設這兩個方程的公共實根為宀則
（a+ma+2=0①①一②，得（m-2）（a-l）=0
ta"+2a+m=0②m—2或a=l.
當m=2時，已知兩個方程為同一個方程，且沒有實數根，故m=2舍去；當a=l時.代入①得3,求得公共根為x=l.
10. 6j-2+1=5j-,——5—x.
X
—(9—2m+n=0
11?3代人有(9一2也+料
10、〉+(加一4對^=0?則｛，解得血=4山=一1.
［加一4=0
.提示：/—a+2000?a2—a=2000
13*B工=1士/n—1或jt=—1±y/m—1
14.C+47=16斤一16或〃'一2“一2=1fn2—2n—2=—L15.C
16?工二/(4二/SV=4_a/5\得x2+8jt+13=0,代人原式=5?17?亦+2001加+7=0?卅+2005+7=0,
原式=(亦+2001?n+7—?n—1)(n2+2001打+7+并+1)=(—加一1)(ri+1)
=-(nwi+巾+n+l)=-(7-2001+1)=1993.
18. A,B=口,CG=g,AjC^/p+C—
11、)2,過C作CP丄AiC于P,則RtAA,BCsRt/XCPG.得GP=笛茫
丹丹￥"AiC
宓〕2”+1，:務=為；G戸=2點一;卄］=爲得(九―41)5+40)=0,故”=41.
19. x2-3x-1,則才=(3工一1嚴=9土一6工十1代人第二個方程得
9工'一6才+1—衛(wèi)工z+g=O,整理為(9~^6x+(g+1)=0(*)
(*)方程與方程^2-3r+l=0是同解方程，則￥=弓=中，解得方=7,g=l.
20. 如圖，設BC=a,BC邊上的高AD=h,PS=a:,RS^y,由厶ASRc^/\ABC,得耳=子
■h_戈
'：S^abc=z?S矩形?:^-ah=nxy=njc?—■蘭*。，整理得2nx2—27?t/i+A2=0-
2〃(才)—2n?-^-+1=0./.才=*±舟/22_2力?顯然n2—2n<(?—1)2,又打豪3,
???X—2打＞5—2)2,故rr-2n不是完全平方數.為無理數，從而三為無理數?于是靂=￡?為無理數.nd/\n
2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第一講 走進追問求根公式
