2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十八講 圓的基本性質(zhì)

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第十八講圓的基本性質(zhì) 到定點(diǎn)（圓心）等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進(jìn)程中打下深深的烙印． 圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對(duì)稱性，圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一中心對(duì)稱圖形．用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意： 1．熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化．熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論： 例題求解】 【例1】在半徑為1的00中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為和，則ZBAC

2、度數(shù)為 作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系. 注：由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié)合起來(lái). 圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，注意圓的對(duì)稱性，可提高解與圓相關(guān)問(wèn)題周密性. 【例2】如圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為（） A.B.C.D. 思路點(diǎn)撥所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過(guò)圓形的某些頂點(diǎn)，通過(guò) 設(shè)未知數(shù)求解. 【例3】如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在00上,AB=BD，BM丄AC于M,求

3、證:AM=DC+CM. 思路點(diǎn)撥用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC)證明，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān) 鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它． 【例4】如圖甲，00的直徑為AB, 分別作直線CD、ED,交直線AB于點(diǎn)F,M. ⑴求ZC0A和ZFDM的度數(shù)； (2) 求證：AFOMsA； (3) 如圖乙，若將垂足G改取為半徑0B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED,分別交直線AB于點(diǎn)F、M,試判斷：此時(shí)是否有△FDMsA?證明你的結(jié)論. 思路點(diǎn)撥⑴在RtACOG中，利用OG=OA=OC；(2)證明Z=ZFDM，ZCMO= ZFMD；(3)利用圖甲的啟示思考.

4、 注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問(wèn)題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來(lái)，認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問(wèn)題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似). 【例5】已知：在厶ABC中，AD為ZBAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M,且ZB=ZCAE,EF：FD=4：3. (1) 求證:AF=DF； ⑵求ZAED的余弦值； ⑶如果BD=10，求△ABC的面積. 思路點(diǎn)撥(1)證明ZADE=ZDAE；(2)作AN丄BE于N,cosZAED=，設(shè)FE=4x

5、,FD=3x，利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值. 注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵. 學(xué)歷訓(xùn)練 1.D是半徑為5cm的00內(nèi)一點(diǎn)，且0D=3cm，則過(guò)點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB=. 2?閱讀下面材料： 對(duì)于平面圖形A,如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋. 對(duì)于平面圖形A,如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則

6、稱圖形A被這些圓所覆蓋. 例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋． 回答下列問(wèn)題： (1) 邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm； (2) 邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm； (3) 長(zhǎng)為2cm，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm. 3．世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬(wàn)物才顯得富有生機(jī)，以下來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓 它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性． (1) 請(qǐng)問(wèn)以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有，是中心對(duì)稱圖形的有 (分別用下面三個(gè)

7、圖的代號(hào)a，b，c填空). 徒手畫均可，但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)． (2) 請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或 a. 是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形. b. 既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 4. 如圖，AB是00的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距 A．12cm B．10cmC．8cm 6cm D． 離之和為() 5. —種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為() A．2B．C．3D． 6. 如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB

8、B、cD、EF?如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大 小關(guān)系是() 7. 電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片,叫“晶圓片”.現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長(zhǎng)、寬都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圓片的直徑為10.05cm，問(wèn)：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請(qǐng)說(shuō)明你的方法和理由(不計(jì)切割損耗)． B (第7題)(第8題) 8. 如圖，已知GO的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2,求ZOAC的度數(shù)． 9. 不過(guò)圓心的直線交GO于C、D兩點(diǎn)，AB是GO的直徑，AE

9、丄，垂足為E，BF丄，垂足為F． (1) 在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形； (2) 請(qǐng)你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過(guò)程)； (3) 請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論． 10. 以AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2=ACXBC， 則ZCAB=. 11. 如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A'上，若BC=5，則折痕 在厶ABC內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為. 12.如圖，已知AB為00的弦，直徑

10、MN與AB相交于00內(nèi)，MC丄AB于C,ND丄AB于D,若MN=20,AB=,則MC—ND=. （第11題）（第12題〉（第13題） 13. 如圖，已知00的半徑為R,C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96°,BD 的度數(shù)為36°，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為. 14. 如圖1,在平面上，給定了半徑為r的圓0,對(duì)于任意點(diǎn)P,在射線0P上取一點(diǎn)P',使得0PX0Pz=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P'的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P'叫做互為反演點(diǎn)． 八、、? （1）如圖2,00內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B,它們的反演點(diǎn)分別為A'和B',求證：ZA，=ZB； （2

11、）如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形． ① 選擇：如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)0的直線與00相交，那么它關(guān)于00的反演圖形是（） A.一個(gè)圓B.—條直線C.一條線段D.兩條射線 ② 填空：如果直線與00相切，那么它關(guān)于00的反演圖形是,該圖形與圓0的位 置關(guān)系是. 15. 如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓0,對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為P,AB=BD，且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長(zhǎng). 16. 如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC,D為1BAC的中點(diǎn)，DE丄AB于E,求證：BD2-AD2=AB （第15題）

12、（第16題） 17．將三塊邊長(zhǎng)均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi),則圓碟的直徑至少是多少？（不考慮其他因素，精確到0.1cm） 18.如圖，直徑為13的00',經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段0A、0B（0A>0B）的長(zhǎng)分別是方程的兩根. （1）求線段0A、0B的長(zhǎng)； ⑵已知點(diǎn)C在劣弧0A上，連結(jié)BC交0A于D,當(dāng)0C2=CDXCB時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)； （3）在00,上是否存在點(diǎn)P,使S^pod=S^abd?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 例4(l)ZCOA=60°，ZEDM=120°t 【例題求解】 例1 參考答案 15°或75

13、°分AB、AC在圓心0同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論. fa?+]=' （2—小2+（*）2=/ 選D如圖，得 解得 _13_5717 a_16，r16-' 延長(zhǎng)DC至N.使CN=CM.連結(jié)BN,則/BCN二ZBAD=ZBDA=ZBCA，可證得厶BCN也ABCM, RtABA/Vf^RtABDN. r/ a X (2)由RtA

14、CGM^RtAEGM,得ZGMC=ZGME,又ZGME,:.Z.OMC=^DMF,:.△FDMs/\COM； (3)ZFDM=ZCOA,先證RtACGM^RtA^GM,得ZGMC=ZGJWE,「?△FDMsACOM.故結(jié)論仍成立. 例5如圖. (1) 由ZADE=ZDAE,得EA=ED,又ZDFE=90°,.?.AF=DF； (2) 過(guò)A點(diǎn)作AN丄BE于N,設(shè)FE=lx,FD=3r,則DE=5y,；.AE=DE=5m,AF=FD=3h. *?'S/\ade=-|~AD?EF=*DE?AN,(3jt+3t)?4工=5才?AN,AAN=^j. 7 由勾股定理得，EN=-^J-,.,.

15、cosZA￡D=^=^—=^; 5AEox25 (3〉由ZCAE=ZB^ZAEC=ZBEA?得厶CAEs△ABE. AAE2=BE-CE,BP(5t)2=(10+5x)*寺工解得工=2, AN= 24 ?BC=BD+DC—15nS/^Afjc= S一 yBC-AN=72. 【學(xué)力訓(xùn)練】 2.(1 3?(1)axb>c；a>aC2)略 7?可以切割出66個(gè)小正方形?按下列方式疊放：4X94-2X8+2X6+2X1=66(個(gè)〉 8.設(shè)①o的半徑為r,則AB=?r,BC=?,以B為圓心,拆&為半徑作圓，與QO交于兩點(diǎn)C,C',連BC,BC\AC,AC

16、',延長(zhǎng) BO交?O于D,連CD,CD=”,BD=2CD，ZOAC=I5°或ZOAC=75°. 圖1 圖2 圏3 圖4 13. 73R設(shè)D'是D點(diǎn)關(guān)于直徑AB對(duì)稱的點(diǎn)，連CD'交AB于P,則P點(diǎn)使CP+PD最小,ZCOD’=120°,CP+PD=CP+PD'=CD'=^R. 14. (1)VA.B的反演點(diǎn)分別是A\Br,:.OA?OA',OB?OB'=r2:.OA-OA^OB?OB\即汾=閤，又 ZO=ZO,：.△ABMAB'A'O,ZA'=ZB(2)①A；②圓；內(nèi)切. 15. 連BO并延長(zhǎng)交AD于H,則BH丄AD.:.CD//BHf^=~,得CD=1,AD=2吃,A

17、H=d，OH=*,BH=2,AB= ■/^，BC=s/^'，所求四邊形周長(zhǎng)為1+2雄+箱+慮. 16.BD2-AD2=(BE2+EZ)2)-(AE2+ED2)=(BE+AE)(BE-AE)^AB?(BE-AE). 只需證明AC=BE-AE即可，在BA上截取BF=AC,連DF可證明△DBF^^\DCA，則DF^AC,AE=EF. 17-通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，我們可以探索性地畫出下列四類情形： E y B 2' X 圖1、圖2不符合要求. 可見(jiàn)，選擇圖4來(lái)“放”煎餅，圓碟的直徑最小，約是25.8cm. 解得OD=^,S“d=*AD?BO=罟，???SAWD-y,APOD中0D邊

18、上的髙為13,即點(diǎn)P到工軸距離為13,V ?(/上的點(diǎn)到工軸的最大距離為9 …??點(diǎn)P不在OC/上9即在G)O上不存在點(diǎn)P，使S^pou—S^abd? 直徑為2?OB=2?/(10+x)2t-52=2^/(10+y)2+5225.8(cm) 18.(1)OA+OB=~k,OA?OB=60,OA2+OB2=AB2=132.解得人=一17,OA=12,()B=5. (2)連結(jié)(YC,交AO于E,可證明△OCBsADCO,dd=A^,O，C丄OA,OE=AE=6,CE=4 (3)假設(shè)在G)O’上存在點(diǎn)P,使=Ssbd? ???OB//EC,:.HOBWHECD、：.焉=鋁，即y= 若按圖3放.每個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)為1072,圓碟直徑為20^28.3(cm)； 若按圖4放，考慮到它的軸對(duì)稱性，圓碟的圓心O應(yīng)在正方形的邊DE上，設(shè)DO=rcm,如圖3(4),DC=10,OC=10+±,BC=5,OE=10—工，EF=10,OB=OF，由勾股定理得(10+工嚴(yán)+5?=(10-乂嚴(yán)+|10S解得x=y.