2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 壓軸題（二）文

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1、壓軸題(二) 12．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，對(duì)稱中心為O，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是雙曲線C的一條漸近線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，∠AOF＝∠OAF，△OAF的面積為3，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　因?yàn)閑＝＝，所以＝＝， 所以tan∠AOF＝＝，所以∠AOF＝， 又因?yàn)椤螦OF＝∠OAF， 所以|AF|＝|OF|＝c，∠OAF＝，∠AFO＝. 又因?yàn)镾△OAF＝3， 所以·c·c·sin＝3. 所以c2＝12，a2＝c2＝9，b2＝a2＝3. 所以雙曲線C的方程為－＝1. 16．祖

2、暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高，這句話的意思是兩個(gè)等高的幾何體，若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型，設(shè)某雙曲線型冷卻塔是曲線－＝1(a>0，b>0)與直線x＝0，y＝0和y＝b所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得，如圖所示，試應(yīng)用祖暅原理類比求球體體積公式的方法，求出此冷卻塔的體積為________． 答案　πa2b 解析　如題圖，A點(diǎn)在雙曲線上，B點(diǎn)在漸近線上，則圖中圓環(huán)的面積為πx－πx＝π－π2＝πa2，從而根據(jù)

3、祖暅原理可知，該雙曲線型冷卻塔挖出一個(gè)以漸近線為母線的圓錐后的幾何體的體積等于底面半徑為a、高為b的圓柱的體積，所以此冷卻塔的體積為πa2b＋πa2b＝πa2b. 20．(2019·安徽蚌埠第三次質(zhì)檢)已知點(diǎn)M(－2,0)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)，且橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓C上，求矩形ABCD的面積的最大值． 解　(1)依題意，M(－2,0)是橢圓C的左頂點(diǎn)，所以a＝2. 又e＝＝，所以c＝，b＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)由對(duì)稱性可知，設(shè)A(x0，y0)，其中x0y0≠0，則B(－x0，y

4、0)，C(－x0，－y0)，D(x0，－y0)， 所以|AB|＝2|x0|，|AD|＝2|y0|， S矩形ABCD＝4|x0y0|， 因?yàn)镾＝16xy，又y＝1－， 所以S＝16xy＝－4x＋16x＝－4(x－2)2＋16，而x∈(0,4)，故當(dāng)x＝2時(shí)，S取得最大值16，所以矩形ABCD的面積的最大值為4. 21．(2019·河南開封三模)已知函數(shù)f(x)＝ex－a，g(x)＝a(x－1)(常數(shù)a∈R且a≠0)． (1)當(dāng)g(x)與f(x)的圖象相切時(shí)，求a的值； (2)設(shè)h(x)＝f(x)·g(x)，若h(x)存在極值，求a的取值范圍． 解　(1)設(shè)切點(diǎn)為A(x0，ex0－

5、a)，因?yàn)閒′(x)＝ex，所以過A點(diǎn)的切線方程為y－e x0＋a＝e x0 (x－x0)，即y＝e x0x－x0e x0＋e x0－a， 由題意，得 解得a＝e. (2)依題意，h(x)＝a(x－1)(ex－a)，則h′(x)＝a(xex－a)，當(dāng)a＞0時(shí)，令φ(x)＝xex－a，則φ′(x)＝(x＋1)ex，令φ′(x)＞0，則x＞－1，令φ′(x)＜0，則x＜－1，所以當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，φ(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，φ(x)單調(diào)遞增．若h(x)存在極值，則φ(x)min＝φ(－1)＝－－a＜0，所以a∈(0，＋∞)，又a∈(0，＋∞)時(shí)，φ(a)＝a(ea－1)＞0，所以，a∈(0，＋∞)時(shí)，φ(x)在(－1，＋∞)存在零點(diǎn)x1，且在x1左側(cè)φ(x)＜0，在x1右側(cè)φ(x)＞0，即h′(x)存在變號(hào)零點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，h′(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．若h(x)存在極值，則h′(x)max＝h′(－1)＝a(－－a)>0，即－－a<0， 即a∈，又a∈時(shí)，φ(a)＝a(ea－1)>0，所以a∈時(shí)，φ(x)在(－1，＋∞)存在零點(diǎn)x2，且在x2左側(cè)φ(x)<0，在x2右側(cè)φ(x)>0，即h′(x)存在變號(hào)零點(diǎn)．所以，若h(x)存在極值，a∈∪(0，＋∞)． - 3 -