2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)42 直線、平面平行的判定與性質(zhì)必刷題 理（含解析）

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1、考點(diǎn)42 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 1．（山東省泰安市2019屆高三第二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)理）如圖，在下列四個(gè)正方體中，，，，，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與所在平面平行的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 A中，因?yàn)?所以可得平面,又，可得平面，從而平面平面 B中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）, 如圖： C中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）, 如圖： D中，作截面可得為兩相交直線，因此平面與平面不平行, 如圖： 2．（遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試?yán)恚┤鐖D所示，正方體的棱長(zhǎng)

2、為1，為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體的截面記為S，則下列命題正確的是______ ①當(dāng)且時(shí)，S為等腰梯形； ②當(dāng)分別為，的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為； ③當(dāng)M為中點(diǎn)且時(shí)，S與的交點(diǎn)為R，滿足； ④當(dāng)M為中點(diǎn)且時(shí)，S為五邊形； ⑤當(dāng)且時(shí)，S的面積. 【答案】①② 【解析】對(duì)于①，畫出圖像如下圖所示，過(guò)作，交于，截面為，由于，所以，故，所以，即截面為等腰梯形.故①正確. 對(duì)于②，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直線坐標(biāo)系，則,則,.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故.則點(diǎn)到平面的距離為.而，故，故②命題正確. 對(duì)于③，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，由于，所以，故.

3、由于，所以,故，故③判斷錯(cuò)誤. 對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，截面為三角形，故④判斷錯(cuò)誤. 對(duì)于⑤，延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于，連接,交于，則截面為四邊形.由于,所以，面積比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,邊上的高為,故,所以. 綜上所述，本小題正確的命題有①②. 3．（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三考前模擬練習(xí)數(shù)學(xué)理）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，四邊形是直角梯形，，，. （Ⅰ）證明：平面. （Ⅱ）若平面平面，為的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 【答案】（I）見(jiàn)解析；（II） 【解析】 （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，因?yàn)椋倪呅问侵苯翘菪危? 得

4、且，所以四邊形為平行四邊形，即且. 又因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，進(jìn)而，得為平行四邊形， 即有，又平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中點(diǎn)，在菱形中，，可得.因?yàn)槠矫嫫矫妫? 平面平面，平面，，所以平面. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AN為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 故，，，，，，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即 令可得. 易知平面的一個(gè)法向量為. 設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則, 即所求二面角的余弦值為. 【 4．（天津市河西區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)理）如圖，已知四邊形的直角梯形，,，，為線段的中點(diǎn)，平面，，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）. （Ⅰ）

5、若， （i）求證：平面； （ii）求直線與平面所成的角的大??； （Ⅱ）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得平面與平面所成的銳角為，若存在，確定的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（Ⅰ）（i）見(jiàn)解析（ii）（Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）（i）證明：連接交于點(diǎn)，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形. ∴又∵， ∴又∵平面，平面， ∴平面. （ii）解：如圖，在平行四邊形中∵，，∴ 以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 則， ∴ 設(shè)為平面的法向量 則，得，不妨設(shè) ∴ 又，∴ 即直線與平面所成的角的大小為. （Ⅱ）設(shè) ∴ ∴ 設(shè)為平面的法向量， 則得，，不妨設(shè)，

6、又平面的法向量為， ∴. ∴∴，，∴. 5．（廣東省肇慶市2019屆高中畢業(yè)班第三次統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，是棱的中點(diǎn)，，在線段上，且. （1）證明：面； （2）若，面面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 解：（1）連接交于點(diǎn)，連接． 因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以? 又面，面，所以面. （2）過(guò)作于，因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn)． 因?yàn)槊婷?，面面，所以面．連接， 因?yàn)槭堑冗吶切?，是線段的中點(diǎn)，所以. 如圖以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)， 不妨設(shè)，則，，，，， 由，得，的中點(diǎn)，，

7、. 設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即， 得方程的一組解為，即. 面的一個(gè)法向量為，則， 所以二面角的余弦值為. 6．（浙江省金華十校2019屆第二學(xué)期高考模擬考試）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為線段上的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）求直線與平面所成角的余弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）取的中點(diǎn)，連接，．∵，是，的中點(diǎn)，∴，， 又，，∴，， ∴四邊形是平行四邊形，∴， 又平面，平面，∴平面． （2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作的平行線， 以為原點(diǎn)，以，和平面過(guò)點(diǎn)的垂線為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系， ∵，∴，設(shè)二面角的大小為， 則，，，，∴

8、， ∴，，∵， ∴， ∴，.∴，， ∴，， 設(shè)平面的法向量為，則，即， 令可得，∴， 設(shè)直線與平面所成角為，則，∴. ∴直線與平面所成角的余弦值為． 7．（北京市房山區(qū)2019年第二次高考模擬檢測(cè)高三數(shù)學(xué)理）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，點(diǎn)在線段上. （Ⅰ）若為的中點(diǎn)，求證：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）證明：存在點(diǎn)，使得平面，并求的值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析. 【解析】 （Ⅰ）設(shè)，連結(jié)， 因?yàn)檎叫?，所以為中點(diǎn) 又矩形,為的中點(diǎn) 所以且 所以為平行四邊形 所以 又平面，平面 所以平面 （Ⅱ）以為

9、原點(diǎn)，分別以為軸建立坐標(biāo)系 則 設(shè)平面的法向量為， 由得 則 易知平面的法向量 由圖可知二面角為銳角 所以二面角的余弦值為 （Ⅲ）設(shè)，則 若平面，則，即 所以解得所以 所以 8．（遼寧省丹東市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試?yán)恚┤鐖D，四棱錐中，平面，，，，，，是中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn). （1）若是中點(diǎn)，求證：平面； （2）設(shè)與平面所成角為，求最大值. 【答案】（1）見(jiàn)證明；（2） 【解析】 解法1：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè). 則，，，，，所以，，. 因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，平面一個(gè)法向量為. 因?yàn)椋?/p>

10、平面，所以平面. （2），設(shè)，則，. 平面的一個(gè)法向量為，所以. 因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值. 解法2： （1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，同理平?所以平面平面，因此平面. （2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)， 則，，，，，所以，，. 設(shè)，則，. 平面的一個(gè)法向量為，所以. 因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，取得最大值. 解法3： （1）同解法2. （2）因?yàn)?，所? 因?yàn)槠矫?，所以?所以平面，則. 設(shè)，則，，. 的最小值為到距離等于，所以的最大值. 9．（江西省名校（臨川一中、南昌二中)2019屆高三5月聯(lián)

11、合考試數(shù)學(xué)理）已知空間幾何體中，與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面平面，平面平面. （1）試在平面內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 如圖所示:取BC和BD的中點(diǎn)H、G，連接HG.HG為所求直線. 所以, 因?yàn)槠矫嫫矫妫? 所以， 取CD中點(diǎn)O,連接EO, 因?yàn)槠矫嫫矫妫? 所以， 所以AH||EO,又平面CDE,平面CDE, 所以. 因?yàn)? 所以, 因?yàn)? 則， 所以直線HG上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行. (2)以CD中點(diǎn)O

12、為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD所在直線為x軸，OB所在直線為Y軸，OE所在直線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系., 設(shè) 所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 10．（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習(xí)二模數(shù)學(xué)理）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面,,，，為中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（I）見(jiàn)解析； （II）； （Ⅲ）答案見(jiàn)解析 . 【解析】 （I）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié). 因?yàn)榈酌媸蔷匦?所以為中點(diǎn) . 又因?yàn)闉橹悬c(diǎn) , 所以∥. 因?yàn)槠矫嫫矫?所以∥平面.

13、（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)，. 因?yàn)榈酌鏋榫匦?所以. 因?yàn)椋? 所以∥，所以. 又因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD. 所以PO⊥平面ABCD， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,則， 設(shè)平面的法向量為， 所以 令，則，所以. 平面的法向量為，則. 如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為. （Ⅲ）在棱上存在點(diǎn), 使. 設(shè),則.　 因?yàn)?所以. . 因?yàn)?所以. 所以，解得. 所以在棱上存在點(diǎn),使，且. 11．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2019屆高三第二次（5月)綜合練習(xí)（二模)數(shù)學(xué)理）在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱底面．D，E分別是邊BC，

14、AC的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)G，且，． （1）求證：∥平面； （2）求證：⊥平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）. 【解析】 （1）證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，G為B1C中點(diǎn)．所以EG∥AB1． 又因?yàn)镋G?平面AB1D，AB1?平面AB1D， 所以EG∥平面AB1D． （2）?證明：取B1C1的中點(diǎn)D1，連接DD1． 顯然DA，DC，DD1兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz， 則D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）． 所以，，． 又因?yàn)?，? 所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1． 又因

15、為DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D． （3）解：顯然平面B1CB的一個(gè)法向量為=（1，0，0）． 設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為：=（x，y，z）， 又，， 由得 設(shè)x=1，則，，則． 所以． 設(shè)二面角A-B1C-B的平面角為θ，由圖可知此二面角為銳二面角， 所以． 12．（）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，安徽省1號(hào)卷?A10聯(lián)盟2019屆高考最后一卷數(shù)學(xué)理 （1）若點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，求證：平面平面； （2）若二面角為直二面角，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）為等邊三角形，且是線段的中點(diǎn) ，

16、 平面，平面 平面 點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn) 平面，平面 平面 平面平面 （2）設(shè)交于點(diǎn)，連接 由對(duì)稱性知，為的中點(diǎn)，且， 二面角為直二面角 平面 不妨設(shè)，則，， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 則，，， ，， 設(shè)平面的法向量為 則，即： 令，得， 直線與平面所成角的正弦值為 13．（山東省威海市2019屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)理）如圖，在四棱錐中，已知平面，為等邊三角形，，，與平面所成角的正切值為. (Ⅰ)證明：平面； (Ⅱ)若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ

17、）見(jiàn)解析.（Ⅱ）. 【解析】 (Ⅰ)證明：因?yàn)槠矫?，平面? 所以 又,, 所以平面， 所以為與平面所成的角． 在中，， 所以 所以在中，,. 又， 所以在底面中，, 又平面，平面， 所以平面． (Ⅱ)解：取的中點(diǎn)，連接，則,由(Ⅰ)知， 所以， 分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則，，， 所以，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，即，得， 令，則． 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，即，得， 令，則． 所以， 由圖形可得二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為． 14．（2019年遼寧省大連市高三5月雙基考試數(shù)學(xué)理）如圖，四棱錐P-A

18、BCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上． （Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值； （Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）arctan 【解析】 （Ⅰ）過(guò)E作EG∥FD交AP于G，連接CG，連接AC交BD于O，連接FO． ∵EG∥FD，EG?面BDF，F(xiàn)D?面BDF，∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE?面CGE， ∴面CGE∥面BDF，又CG?面CGE，∴CG∥面BDF， 又面BDF∩面PAC=FO，CG?面PAC，∴FO∥CG．

19、 又O為AC中點(diǎn)，∴F為AG中點(diǎn)，且AF=1，∴AF=FG=1，∵PA=3，∴FG=GP=1， ∴E為PD中點(diǎn)，PE：ED=1：1． （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥直線DA交DA延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)H作HI⊥直線DF交DF于I， ∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，∴BH⊥面PAD，由三垂線定理可得DI⊥IB， ∴∠BIH是二面角B-DF-A的平面角．由題易得AH=，BH=，HD=， 且=，∴HI=，∴tan∠BIH=×=， ∴二面角B-DF-A的大小為arctan． 15．（廣東省揭陽(yáng)市2019年高考數(shù)學(xué)二模）已知如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面

20、ABCD，E、F分別為PC的三等分點(diǎn)． （1）證明：AF∥平面EBD； （2）已知AP=AD=1，AB=2，求二面角E-BD-A的余弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）連接AC交于BD點(diǎn)O，連接EO．因?yàn)锳BCD為矩形， 所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．又E、F分別為PC的三等分點(diǎn)， E為CF的中點(diǎn)，所以AF∥EO． 因?yàn)镋O?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面EBD． （2）以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP的分別為x，y，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖所示由條件可得D（1，0，0），B（0，2，0），C（1，2，0），P（0，0，1）， ∵，∴，

21、 ，為平面ABD的一個(gè)法向量， 設(shè)面BDE的一個(gè)法向量為，則，即， 取y=1，則x=2，z=-2，所以，， 所以二面角D-AE-C的余弦值為． 16．（四川省百校2019年高三模擬沖刺卷理科）如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）若平面是棱的中點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn) 連結(jié)，而是中點(diǎn)，則 因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平? （2）因?yàn)槠矫妫? 又是棱的中點(diǎn)，∴所以面 以為原點(diǎn)，過(guò)作的垂線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)得長(zhǎng)度為，則 所

22、以 分別設(shè)平面與平面的法向量為 由解得，同理可得 由，解得 所以線段的長(zhǎng)度為 17．（貴州省貴陽(yáng)市2019年高三5月適應(yīng)性考試（二)理）如圖（1）中，，，，分別是與的中點(diǎn)，將沿折起連接與得到四棱錐（如圖（2）），為線段的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)見(jiàn)解析.(2) . 【解析】 （1）取的中點(diǎn)，連接，， 由于是的中點(diǎn)， ，且 又，分別為與的中點(diǎn) ，且 ， 四邊形為平行四邊形， 又平面，平面， 平面. （2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)， 平面平面 由于，平面， 建立如圖所示的坐

23、標(biāo)系， 由題知，， ，，，，， ，， 設(shè)平面的法向量，則， 即，取一組解， 記與平面所成角為，則 18．（吉林省長(zhǎng)春市2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（四)數(shù)學(xué)（理）已知四棱柱中，平面，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）. 【解析】 解：（Ⅰ）由題意得，， 故四邊形為平行四邊形， 所以， 由平面，平面， 故平面， 由題意可知， 所以， 因?yàn)闉橹悬c(diǎn)， 所以， 所以 所以四邊形為平行四邊形， 所以， 由平面，平面， 所以平面， 又由于相交于點(diǎn)B， 平面， 所以平

24、面平面。 （II）由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 點(diǎn)， ，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 有，， 令，則， ， 令為直線與平面所成的角， 則. 19．（四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖所示，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于、的平面分別交棱、、于點(diǎn)、、. （1）證明：四邊形為矩形； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，， ∵平面，平面平面，平面平面， ∴，，∴. 同理，由平面得，∴四

25、邊形為平行四邊形. ∵與都是等邊三角形，∴，， 又，∴平面，故， 又由上知，，∴，∴四邊形為矩形. （2）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴，，兩兩垂直， 以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系， ∵與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， ∴，，，， ∴，，， 設(shè)平面的法向量為， 由，令，得. 同理可得平面的法向量， ∴ . 由圖形可知，所求二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為. 20．（福建省三明市2019屆高三質(zhì)量檢查測(cè)試?yán)恚┤鐖D，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面是邊長(zhǎng)為3的菱形. （1）求證：； （2）若，，，，，求二面角的余弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析（

26、2） 【解析】 （1）因?yàn)槭橇庑危? 所以， 又因?yàn)槠矫妫? 平面， 所以平面， 又因?yàn)槠矫妫? 平面平面， 所以. （2）在中， 根據(jù)余弦定理， 因?yàn)?，，? 所以， 則， 所以， 即. 因?yàn)?，? 所以. 又因?yàn)椋? 平面, 所以平面. 設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，, 因?yàn)槭橇庑危? 所以是等邊三角形， 所以， 所以. 作于點(diǎn)， 則， 在中，， 所以. 如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 則，，， ，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 因?yàn)椋? 所以， 即， 取，解得，， 此時(shí). 由圖可知，平面的一個(gè)法向

27、量為， 則， 因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值是. 21．（山西省2019屆高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練二模）如圖，平面ABCD⊥平面CDEF，且四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形， ，M是線段DE上的點(diǎn)，滿足DM=2ME． (1)證明：BE//平面MAC； (2)求直線BF與平面MAC所成角的正弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）連接，交于，連接，由于，所以.所以.由于平面，平面，所以平面 （2）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，可知兩兩垂直，分別以的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則，.設(shè)平面的法向量，則，令，得平面的一個(gè)法向量，而，設(shè)所求角為，則.

28、故直線與平面所成的角的正弦值為. 22．（天津市和平區(qū)2018-2019學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)第二次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)理）如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直， ，,點(diǎn)在線段上. (Ⅰ) 若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面； (Ⅱ) 求證：平面平面； (Ⅲ) 當(dāng)平面與平面所成二面角的余弦值為時(shí)，求的長(zhǎng). 【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3). 【解析】 (1)∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD為交線， ∴ED⊥平面ABCD，由已知得DA，DE，DC兩兩垂直， 如圖建系D-xyz，可得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，

29、0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(1，0，1). 由M為C的中點(diǎn)，知，故. 易知平面ADEF的法向量為， ， ∵BM平面ADEF，∴BM//平面ADEF. (2)由(1)知， 設(shè)平面BDE的法向量為， 平面BEC的法向量為， 由得， 由得， ，故平面BDE⊥平面BEC. (3)設(shè)，設(shè)，計(jì)算可得， 則， 設(shè)平面BDM的法向量為， 由得， 易知平面ABF的法向量為， 由已知得 ， 解得，此時(shí)， ，則，即AM的長(zhǎng)為. 23．（河北省武邑中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖，在棱長(zhǎng)均為的三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為與的交點(diǎn)，、分別為，的中點(diǎn). （

30、1）求證：四邊形為正方形； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)？若存在求出的值.（該問(wèn)寫出結(jié)論即可） 【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) (3) 【解析】 解：（1）連結(jié). 因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為與的交點(diǎn)，所以. 由已知三棱柱各棱長(zhǎng)均相等，所以，且為菱形. 由勾股定理得，即，所以四邊形為正方形. （2）由（1）知平面，. 在正方形中，. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得 ， . 所以. 設(shè)平面的法向量為， 則，即. 令，則. 于是. 又因?yàn)椋? 設(shè)直線與平面所成角為， 則. 所以直線與平面所成角的正

31、弦值為 （3）直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，即. 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，與重合時(shí)不合題意，所以. 因?yàn)? 設(shè)為平面的法向量， 則即 令,則. 于是. 若，. 又， 所以解得. 此時(shí)， 所以.所以. 24．（山東省鄆城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，且，為的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 證明：（1）連結(jié)BD，交AC于M，連結(jié)FM，MG， 因?yàn)锽C＝AD＝2EF，EF∥BC，BC∥AD，所以， 在△ACD中，M，G分別為AC，

32、CD的中點(diǎn)，所以， 所以，所以四邊形EFMG是平行四邊形， 所以EG∥FM， 又因?yàn)镕M平面ACF，EC平面ACF，所以EG∥平面ACF． （2）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)FO，OC， 因?yàn)锳F＝BF＝BC，∠ABC＝60°，四邊形ABCD為菱形，所以FO⊥AB，OC⊥AB， 因?yàn)槠矫鍭BF⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD， 故以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF＝BF＝BC＝2EF＝2． 則A（－1，0，0），C（0，，0），F(xiàn)（0，0，），E（，，），＝（1，，0）， ，， 設(shè)＝是平面ACF的一個(gè)法向量， 則，， 令y＝z＝1，

33、則，故＝（，1，1）， 設(shè)直線EC與平面ACF所成角為， 則， 所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為． 25．（江西省贛州市2019屆高三3月摸底考試數(shù)學(xué)理）如圖，在平行四邊形中，，.現(xiàn)沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn).點(diǎn)、分別在、上，且、、、四點(diǎn)共面. （1）求證：； （2）若平面平面，平面與平面夾角為，求與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) 【解析】 （1）不妨設(shè)，則， 在中，根據(jù)余弦定理可得，計(jì)算得， 因?yàn)?，所? 因?yàn)椋?、、、四點(diǎn)共面，所以平面. 又平面平面，所以. 而，故. （2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，? 因?yàn)?，所以平面，? 因?yàn)?，平面與平面夾角為，所以， 從而在中，易知為的中點(diǎn)， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，， ，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由， 得，令，得. 設(shè)與平面所成角為，則。 45