《2019年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題03 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用專項(xiàng)講解與訓(xùn)練》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題03 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用專項(xiàng)講解與訓(xùn)練(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用
基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.指數(shù)與對(duì)數(shù)式的8個(gè)運(yùn)算公式
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)(ab)m=ambm,其中,a>0,b>0;
(4)loga(MN)=logaM+logaN;
(5)loga =logaM-logaN;
(6)logaMn=nlogaM;
(7)alogaN=N;
(8)logaN=,其中,a>0,且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0.
2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象和
2、性質(zhì),分0<a<1,a>1兩種情況:當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增
B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減
C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
【答案】 C
【解析】法一:由題意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1
3、,2)單調(diào)遞減,所以排除A,B;又f()=ln+ln(2-)=ln ,f()=ln+ln(2-)=ln,所以f()=f()=ln,所以排除D,故選C.
法二:由題意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2),f′(x)=+=,由,得0
4、(20.8),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)log24.1>log24=2>20.8,且函數(shù)f(x)是增函數(shù),所以c
5、調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
【答案】D.
2.已知函數(shù)f(x)=3x-,則f(x)( )
A.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)
B.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)
C.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)
D.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)
【答案】B
【解析】:選B.由f(-x)=()x-3x=-f(x),知f(x)為奇函數(shù),因?yàn)閥=()x在R上是減函數(shù),所以y=-()x在R上是增函數(shù),又y=3x在R上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=3x-()x在R上是增函數(shù),故選B.
函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的常見類型及
6、解題關(guān)鍵
(1)常見類型:與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題,經(jīng)常涉及物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題,也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題.
(2)解題關(guān)鍵:解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式,然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.
(1)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元.在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )
(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.201
7、9年
C.2020年 D.2021年
【答案】B
【解析】設(shè)經(jīng)過x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元,則130(1+12%)x>200,即1.12x>?x>=≈=3.8,所以該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年.
(2)(2019·湖北武漢市高三模擬)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位:萬元),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),G(x)=x2+10x;當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),G(x)=51x+-1 450.已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬元.通過市場(chǎng)分析,該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完,則該工廠在這一產(chǎn)品
8、的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元.
【答案】1 000
【解析】因?yàn)槊考a(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬元,
所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1 000x=50x萬元.①當(dāng)0<x<80時(shí),年利潤L(x)=50x-x2-10x-250=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,
所以當(dāng)x=60時(shí),L(x)取得最大值,且最大值為L(60)=950萬元;
②當(dāng)x≥80時(shí),L(x)=50x-51x-+1 450-250=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=100時(shí),L(x)取得最大值1 000萬元.由于950<1 000,
所以
9、當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí),該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大,最大年利潤為1 000萬元.
應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序和解題關(guān)鍵
(1)一般程序:
(2)解題關(guān)鍵:解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式,然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1.某電腦公司在甲、乙兩地各有一個(gè)分公司,甲分公司現(xiàn)有某型號(hào)電腦6臺(tái),乙分公司現(xiàn)有同一型號(hào)的電腦12臺(tái).現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號(hào)的電腦10臺(tái),B地某單位向該公司購買該型號(hào)的電腦8臺(tái).已知從甲地運(yùn)往A、B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元,從乙地運(yùn)往A、B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是
10、80元和50元.若總運(yùn)費(fèi)不超過1 000元,則調(diào)運(yùn)方案的種數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】C.
2.(2019·湖北七市(州)聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為P=P0e-kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物,那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時(shí)間為________小時(shí).
【答案】:10
【解析】:前5小時(shí)污染物消除了10%,此時(shí)污染物剩下90%,即t=5時(shí),P=0.9P0,代入,得(e-k)5=0.9,所以e-k==0.9,
所以P=P0e-kt=P0(0.9)t.當(dāng)
11、污染物減少19%時(shí),污染物剩下81%,此時(shí)P=0.81P0,代入得0.81=(0.9)t,解得t=10,即需要花費(fèi)10小時(shí).
函數(shù)的零點(diǎn)
判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法
(1)解方程法,即解方程f(x)=0,方程不同的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)圖象法,畫出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(3)數(shù)形結(jié)合,即把函數(shù)的零點(diǎn)問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,通過判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(4)利用零點(diǎn)存在性定理判斷.
(1)(2019·焦作模擬)已知函數(shù)f(x)滿足:①定義域?yàn)镽;②?x∈R,都有f(x+2)=
12、f(x);③當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=-|x|+1.則方程f(x)=log2|x|在區(qū)間[-3,5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【答案】A
【解析】
畫出y1=f(x),y2=log2|x|的圖象如圖所示,由圖象可得所求解的個(gè)數(shù)為5.
(2)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( )
A.- B.
C. D.1
【答案】C
【解析】 (2)由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得
f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)
13、+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即x=1為f(x)圖象的對(duì)稱軸.
由題意,f(x)有唯一零點(diǎn),所以f(x)的零點(diǎn)只能為x=1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,
解得a=.故選C.
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法
(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.
(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1.已知函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=2-|x-2|,x∈[-2,6],則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為( )
A.6 B.8
C.10 D.12
【答案】D.
【解析】函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x)的根之和,即轉(zhuǎn)化為y1=f(x)和y2=g(x)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.又由函數(shù)g(x)=2-|x-2|與f(x)的圖象均關(guān)于x=2對(duì)稱,可知函數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12.
2.設(shè)函數(shù)f(x)=的圖象過點(diǎn)(1,1),函數(shù)g(x)是二次函數(shù),若函數(shù)f(g(x))的值域是[0,+∞),則函數(shù)g(x)的值域是________.
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