2019年高考數(shù)學三輪沖刺 專題03 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應用專項講解與訓練

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1、第3講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.指數(shù)與對數(shù)式的8個運算公式 (1)am·an=am+n; (2)(am)n=amn; (3)(ab)m=ambm,其中,a>0,b>0; (4)loga(MN)=logaM+logaN; (5)loga =logaM-logaN; (6)logaMn=nlogaM; (7)alogaN=N; (8)logaN=,其中,a>0,且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0. 2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象和

2、性質(zhì),分0<a<1,a>1兩種情況:當a>1時,兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù),當0<a<1時,兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù). (1)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則(  ) A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱 【答案】 C  【解析】法一:由題意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域為(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由復合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1

3、,2)單調(diào)遞減,所以排除A,B;又f()=ln+ln(2-)=ln ,f()=ln+ln(2-)=ln,所以f()=f()=ln,所以排除D,故選C. 法二:由題意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域為(0,2),f′(x)=+=,由,得0

4、(20.8),則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.a(chǎn)log24.1>log24=2>20.8,且函數(shù)f(x)是增函數(shù),所以c

5、調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【答案】D. 2.已知函數(shù)f(x)=3x-,則f(x)(  ) A.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) C.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) 【答案】B 【解析】:選B.由f(-x)=()x-3x=-f(x),知f(x)為奇函數(shù),因為y=()x在R上是減函數(shù),所以y=-()x在R上是增函數(shù),又y=3x在R上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=3x-()x在R上是增函數(shù),故選B. 函數(shù)的實際應用 函數(shù)實際應用題的常見類型及

6、解題關(guān)鍵 (1)常見類型:與函數(shù)有關(guān)的應用題,經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題,也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題. (2)解題關(guān)鍵:解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式,然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答. (1)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元.在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(  ) (參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年        B.201

7、9年 C.2020年 D.2021年 【答案】B  【解析】設經(jīng)過x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元,則130(1+12%)x>200,即1.12x>?x>=≈=3.8,所以該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年. (2)(2019·湖北武漢市高三模擬)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位:萬元),當年產(chǎn)量不足80千件時,G(x)=x2+10x;當年產(chǎn)量不小于80千件時,G(x)=51x+-1 450.已知每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元.通過市場分析,該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完,則該工廠在這一產(chǎn)品

8、的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元. 【答案】1 000 【解析】因為每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元, 所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1 000x=50x萬元.①當0<x<80時,年利潤L(x)=50x-x2-10x-250=-x2+40x-250=-(x-60)2+950, 所以當x=60時,L(x)取得最大值,且最大值為L(60)=950萬元; ②當x≥80時,L(x)=50x-51x-+1 450-250=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,當且僅當x=,即x=100時,L(x)取得最大值1 000萬元.由于950<1 000, 所以

9、當產(chǎn)量為100千件時,該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大,最大年利潤為1 000萬元. 應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序和解題關(guān)鍵 (1)一般程序: (2)解題關(guān)鍵:解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式,然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.  【對點訓練】 1.某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司,甲分公司現(xiàn)有某型號電腦6臺,乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺.現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺,B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺.已知從甲地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元,從乙地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是

10、80元和50元.若總運費不超過1 000元,則調(diào)運方案的種數(shù)為(  ) A.1           B.2 C.3 D.4 【答案】C. 2.(2019·湖北七市(州)聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P=P0e-kt.如果在前5小時消除了10%的污染物,那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時. 【答案】:10 【解析】:前5小時污染物消除了10%,此時污染物剩下90%,即t=5時,P=0.9P0,代入,得(e-k)5=0.9,所以e-k==0.9, 所以P=P0e-kt=P0(0.9)t.當

11、污染物減少19%時,污染物剩下81%,此時P=0.81P0,代入得0.81=(0.9)t,解得t=10,即需要花費10小時. 函數(shù)的零點 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 (1)解方程法,即解方程f(x)=0,方程不同的解的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點的個數(shù); (2)圖象法,畫出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù); (3)數(shù)形結(jié)合,即把函數(shù)的零點問題等價地轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題,通過判斷交點的個數(shù)得出函數(shù)零點的個數(shù); (4)利用零點存在性定理判斷. (1)(2019·焦作模擬)已知函數(shù)f(x)滿足:①定義域為R;②?x∈R,都有f(x+2)=

12、f(x);③當x∈[-1,1]時,f(x)=-|x|+1.則方程f(x)=log2|x|在區(qū)間[-3,5]內(nèi)解的個數(shù)是(  ) A.5           B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 畫出y1=f(x),y2=log2|x|的圖象如圖所示,由圖象可得所求解的個數(shù)為5. (2)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=(  ) A.- B. C. D.1 【答案】C 【解析】 (2)由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得 f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)

13、+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即x=1為f(x)圖象的對稱軸. 由題意,f(x)有唯一零點,所以f(x)的零點只能為x=1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0, 解得a=.故選C. 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解. (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解. (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.  【對點訓練】 1.已知函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=2-|x-2|,x∈[-2,6],則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的所有零點之和為(  ) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D. 【解析】函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點之和可轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x)的根之和,即轉(zhuǎn)化為y1=f(x)和y2=g(x)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和.又由函數(shù)g(x)=2-|x-2|與f(x)的圖象均關(guān)于x=2對稱,可知函數(shù)h(x)的零點之和為12. 2.設函數(shù)f(x)=的圖象過點(1,1),函數(shù)g(x)是二次函數(shù),若函數(shù)f(g(x))的值域是[0,+∞),則函數(shù)g(x)的值域是________. 7

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