2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)41 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 文（含解析）北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(四十一)　 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A．　　　 B. C．2π D．4π B　[依題意知，該幾何體是以為底面半徑，為高的兩個(gè)同底圓錐組成的組合體，則其體積V＝π×()2×2＝π.] 2．一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體所得的幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，則這個(gè)幾何體的表面積為(　　) A．16＋4 B．16＋4 C．20＋4 D．20＋4 D　[由三視圖可知，該幾何體是棱長(zhǎng)

2、為2的正方體的內(nèi)部挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐，將三視圖還原可得如圖， 可得其表面積為S＝5×22＋4××2×＝20＋4，故選D.] 3．(2018·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2　　　　B．4 C．6　　　　D．8 C　[由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6.故選C．] 4．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是(　　) A．2 B． C． D．3 D　[由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形

3、，且S底＝×(1＋2)×2＝3， ∴V＝x·3＝3，解得x＝3.] 5．(2019·昆明模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A．36π B．8π C．π D．π B　[根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形，高為2的直三棱錐，如圖所示， 則該直三棱錐的外接球是對(duì)應(yīng)直三棱柱的外接球，設(shè)幾何體外接球的半徑為R，∴2R＝VB. ∵VB＝＝2，∴R＝， ∴該幾何體的外接球的表面積是4πR2＝8π.故選B.] 二、填空題 6．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積

4、與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_____． 　[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝.] 7．一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______． 12　[設(shè)正六棱錐的高為h，棱錐的斜高為h′. 由題意，得×6××2××h＝2， ∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12.] 8．(2019·惠州模擬)已知三棱錐S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜邊AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，則三棱錐S

5、-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______． 100π　[將三棱錐S-ABC放在長(zhǎng)方體中(圖略)，易知三棱錐S-ABC所在長(zhǎng)方體的外接球，即為三棱錐S-ABC的外接球，所以三棱錐S-ABC的外接球的直徑2R＝＝10，即三棱錐S -ABC的外接球的半徑R＝5，所以三棱錐S-ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝100π.] 三、解答題 9．如圖，從正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中選出的4個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)． (1)若選出4個(gè)頂點(diǎn)包含點(diǎn)A，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)正四面體； (2)求棱長(zhǎng)為a的正四面體外接球的半徑． [解]　(1)如圖所示，選取的四個(gè)點(diǎn)分別為A，D1，B1

6、，C． (2)棱長(zhǎng)為a的正四面體外接球的半徑等于正方體外接球的半徑等于正方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)a，所以正方體的邊長(zhǎng)為a，因此外接球的半徑為×a＝a. 10．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形． (1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)； (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值． [解]　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，

7、則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為. B組　能力提升 1．(2019·青島模擬)如圖為某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．12－　　　　　B．12－π C．12－ D．12－ A　[由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正四棱柱挖掉一個(gè)半圓錐所得到的幾何體，其直觀圖如圖所示，其中正

8、四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)a＝2，半圓錐的底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝3，所以正四棱柱的體積V1＝a2h＝22×3＝12，半圓錐的體積V2＝×r2h＝×12×3＝，所以該幾何體的體積V＝V1－V2＝12－.] 2．(2018·株洲模擬)已知正三棱錐P-ABC的主視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐外接球的表面積為(　　) A． B． C． D．12π B　[如圖，作PG⊥CB于點(diǎn)G，連接AG，設(shè)點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影為D，連接PD，依題易得AB＝2，PG＝，PA＝4，AD＝2，PD＝2，PD⊥平面ABC．易知，正三棱錐P-ABC外接球的球心在PD上，不妨設(shè)球心為O，半徑為r，連接OA，則

9、在Rt△AOD中，r2＝22＋(2－r)2?r2＝，S＝4πr2＝.故選B.] 3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_(kāi)_______． 8π　[由題意畫(huà)出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2.故該圓錐的體積V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.] 4．一個(gè)透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個(gè)公共底面的圓錐，且這

10、兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在這個(gè)球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r. (1)試確定R與r的關(guān)系，并求出較大圓錐與較小圓錐的體積之比； (2)求出兩個(gè)圓錐的體積之和與球的體積之比． [解]　(1)不妨設(shè)球的半徑為4； 則球的表面積為64π，圓錐的底面積為12π， 所以圓錐的底面半徑為2. 由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形． 由此可以求得球心到圓錐底面的距離是＝2， 所以圓錐體積較小者的高為4－2＝2， 同理可得圓錐體積較大者的高為4＋2＝6. 又由這兩個(gè)圓錐的底面相同， 所以較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們高之比，即3∶1. (2)由(1)可得兩個(gè)圓錐的體積和為·π·(2)2·8＝32π，球的體積為·π·43＝π， 故兩個(gè)圓錐的體積之和與球的體積之比為32π∶π＝3∶8. - 8 -