2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 課后限時集訓(xùn)6 函數(shù)的奇偶性與周期性 理 北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)6 函數(shù)的奇偶性與周期性 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x＜0時，f(x)＝(　　) A．e－x－1　　　　 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 D　[當x<0時，－x>0， ∵當x≥0時，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 故選D.] 2．函數(shù)f(x)＝的圖像(　　) A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于坐標原點對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱 B　[因為f(x)＝

2、＝3x＋3－x，易知f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱．] 3．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝x3＋1　　　　 B．f(x)＝ln C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x B　[對于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，所以其是奇函數(shù)；對于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函數(shù)；對于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函數(shù)．故選B.] 4．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則f(－7)＝(　　) A．3 B．

3、－3 C．2 D．－2 B　[因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 且f(x)＝ 所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.] 5．(2019·洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝a－(a∈R)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域為(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) A　[法一：由f(x)是奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因為ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)． 法二：函數(shù)f(x)的定義域為R，且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

4、所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因為ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．] 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝ln x，則f的值為________． ln 2　[由已知可得f ＝ln ＝－2， 所以f＝f(－2)． 又因為f(x)是偶函數(shù)， 所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.] 7．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，并且f(x＋2)＝，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(2 019)＝________. 3　[由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．故函

5、數(shù)f(x)的周期為4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.] 8．已知函數(shù)f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝________. －4　[法一：因為f(x)＋1＝x＋， 設(shè)g(x)＝f(x)＋1＝x＋， 易判斷g(x)＝x＋為奇函數(shù)， 故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0， 即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2. 所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4. 法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2， 即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.] 三、解答題 9．f(x)為R上的奇函

6、數(shù)，當x＞0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． [解]　當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)， 所以當x＜0時，f(x)＝2x2＋3x－1. 因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0. 綜上可得f(x)的解析式為 f(x)＝ 10．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x有f＝－f成立． (1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． [解]　(1)證明：由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)

7、， 知f(3＋x)＝f ＝－f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個周期． (2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. 1．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝ (　　) A．ex－e－x B．(ex＋e－x) C．(e－x－ex) D．(ex－e－x) D　[因為f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x

8、，所以g(x)＝(ex－e－x)．] 2．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖像在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為(　　) A．6　　 B．7 C．8　　 D．9 B　[因為f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)，且0≤x＜2時，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)， 所以當0≤x＜2時，f(x)＝0有兩個根，即x1＝0，x2＝1. 由周期函數(shù)的性質(zhì)知，當2≤x＜4時，f(x)＝0有兩個根，即x3＝2，x4＝3；當4≤x≤6時，f(x)＝0有三個根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的圖像在區(qū)

9、間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為7.] 3．奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)＝________. 2　[∵f(x＋1)為偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)， f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2， ∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.] 4．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實數(shù)

10、m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)設(shè)x＜0，則－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖像(如圖所示)知所以1＜a≤3， 故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]． 1．定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，當x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，當x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，則f(1

11、)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403　 B．405 C．806　 D．809 B　[定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為5.又當x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.當x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.] 2．已知函數(shù)f(x)＝log2(－x)是奇函數(shù)，則a＝________，若g(x)＝則g(g(－1))＝______. 1　　[由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，則a＞0，所以函數(shù)f(x)的定義域為R.因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2－1＝.] 5