2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十八 圓錐曲線綜合精準培優(yōu)專練 文

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1、培優(yōu)點十八 圓錐曲線綜合 一、弦長問題 例1：過雙曲線的右焦點作傾斜角為的弦，求： （1）弦的中點到點的距離； （2）弦的長． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）雙曲線的右焦點，直線的方程為． 聯(lián)立，得． 設(shè)，，則，． 設(shè)弦的中點的坐標(biāo)為， 則，． 所以． （2）由（1），知 ． 二、定值問題 例2：設(shè)拋物線的焦點為，拋物線上的點到軸的距離等于． （1）求拋物線的方程； （2）已知經(jīng)過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，證明：為定值． 【答案】（1）；（2）證明見解析． 【解析】（1）由題意可得，拋物線上點到焦點的距離等于點到

2、直線的距離， 由拋物線的定義得，即． 故拋物線的方程為． （2）易知焦點的坐標(biāo)為，若直線的斜率不存在，即直線方程為， 此時令，，∴； 若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為， 設(shè)，，由拋物線的定義知，． 由，得， 根據(jù)韋達定理得， 所以， 綜上可得，為定值． 三、最值問題 例3：已知兩定點，，為坐標(biāo)原點，動點滿足：直線，的斜率之積為． （1）求動點的軌跡的方程； （2）設(shè)過點的直線與（1）中曲線交于，兩點，求的面積的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，， 所以，化簡得， 所以所求軌跡方程是． （2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲

3、線的方程得， 設(shè)，，由韋達定理得，， 所以的面積， 設(shè)，則， 上式當(dāng)即時取等號，所以的面積的最大值是． 四、存在性問題 例4：已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓經(jīng)過點，且點為其右焦點． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線與橢圓交于，兩點，滿足，且原點到直線的距離為？ 若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，則左焦點為， 在直角三角形中，可求，∴． 又，∴． 故橢圓的方程為． （2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為， 由原點到的距離為，得． 聯(lián)立方程，得． 則． 設(shè)，，則，， 則

4、， 解得． 當(dāng)斜率不存在時，的方程為，易求得． 綜上，不存在符合條件的直線． 對點增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知經(jīng)過橢圓的右焦點且與軸正方向成的直線與橢圓交于，兩點，則（） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由已知條件可知直線為， 由，得，∴，， ∴． 2．已知雙曲線與直線交于，兩點，過原點與線段中點所在直線的 斜率為，則的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，，中點坐標(biāo)，代入雙曲線方程中， 得到，， 兩式相減得到， 結(jié)合，，，且， 代入上面式子，得到． 3．等邊三角形的三個頂點都在拋物線上，為坐標(biāo)原點，

5、則這個三角形的邊長 為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵拋物線關(guān)于軸對稱，∴若正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點， 另外兩個頂點在拋物線上，則，點關(guān)于軸對稱， ∴直線傾斜角為，斜率為，∴直線方程為． 由，得， ∴，，∴， ∴這個正三角形的邊長為． 4．若過橢圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的 最大值為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，因為橢圓與圓關(guān)于軸對稱，并且圓的圓心坐標(biāo)為 橢圓右焦點， 所以過橢圓上一點作圓的兩條切線， 要使的最大，則取最小，所以為右端點． 因為，，，所以． 5．已知雙曲線，是雙曲

6、線上不同于頂點的動點，經(jīng)過分別作曲線的兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線圍成平行四邊形，則四邊形的面積是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，則， 設(shè)和漸近線平行，和漸近線平行， 由，， 且和漸近線的距離為， 由和，求得， 可得， ∴四邊形的面積是． 6．是拋物線上一定點，，是上異于的兩點，直線，的 斜率，滿足(為常數(shù)，)，且直線的斜率存在，則直線過定點（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)，，則直線的方程為， 整理得， 又， 化簡得，則． 則直線的方程為， 直線過定點． 二、填空題 7．已知拋物線：的焦點也是橢圓

7、：的一個焦點，點，分別為曲線，上，則的最小值為． 【答案】 【解析】由點在橢圓上，且， 所以，則焦點的坐標(biāo)為． 又由拋物線方程得，所以， 則，由拋物線定義知等于點到其準線的距離． 過點作準線的垂線， 則垂直與拋物線的交點即為所求點， 所以，其最小值為． 8．若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)有交點，且橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別是，，點是橢圓上任意一點，則面積的最大值是___________． 【答案】 【解析】依題意有，設(shè)，， 由余弦定理得，解得． 故對與橢圓來說，，，，， 橢圓方程為． 當(dāng)為短軸上頂點時，面積取得最大值為． 三、解答

8、題 9．已知橢圓過點，離心率是． （1）求橢圓的標(biāo)準方程； （2）若直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依題意可知，，，解得，， ∴橢圓的方程為． （2）設(shè)、，代入橢圓方程得，， 兩式相減得， 由中點坐標(biāo)公式得，．∴， 可得直線的方程為． 令，可得；令，可得， 則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為． 10．已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，、是拋物線上異于的兩點． （1）求拋物線的方程； （2）若直線、的斜率之積為，求證：直線過定點． 【答案】（1）；（2）證明見解析． 【解析】（1

9、）因為拋物線的焦點坐標(biāo)為， 所以，所以，所以拋物線的方程為． （2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，， 因為直線，的斜率之積為，所以，化簡得， 所以，，此時直線的方程為； ②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，，， 聯(lián)立得，化簡得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得， 因為直線，的斜率之積為，所以，即， 即，解得（舍去）或， 所以，即，所以，即． 綜上所述，直線過軸上一定點． 11．如圖，已知，是橢圓與雙曲線的公共頂點，且，兩曲線離心率之積為．為上除頂點外一動點，交橢圓于點，點與點關(guān)于軸對稱． （1）求橢圓的方程； （2）證明：存在實數(shù)，使． 【答案】（1）；（2）證明

10、見解析． 【解析】（1）由題可知，兩曲線的離心率之積為， 則，解得， 所以橢圓的方程為． （2）設(shè)，直線的斜率為， ∵，，雙曲線方程為， ∴，所以， 聯(lián)立，得， 所以，即， 所以，則， 所以，，三點共線，即存在實數(shù)，使． 12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，是橢圓上的動點，當(dāng)時，的面積為． （1）求橢圓的標(biāo)準方程； （2）若過點的直線交橢圓于，兩點，求面積的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因為橢圓的離心率為，所以．① 在中，， 由余弦定理，得， 得， 得，即， 所以， 所以的面積， 所以，即，② 又，③ 由①②③，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準方程為． （2）設(shè)直線的方程為，，， 聯(lián)立得，得， 由，得，根據(jù)韋達定理有，． 由弦長公式，得． 又點到直線的距離為， 所以．令，則， 所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號， 所以面積的最大值為． 18