2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十二 數(shù)列求和精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理

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1、培優(yōu)點十二 數(shù)列求和 一、公式法 例1：已知在數(shù)列中，，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且． （1）求數(shù)列，的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）∵，， ∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，∴， ∵等差數(shù)列的公差為，，∴． （2） ． 二、裂項相消法 例2：已知數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足． （1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）證明：由已知得， ∴，∴． 故數(shù)列為等差數(shù)列． （2）， ∴ ． 三、錯位相減法 例3

2、：已知數(shù)列的前項和為，且． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）當(dāng)時，， 當(dāng)時，，符合上式． 綜上，． （2）， 則前項和，， 兩式相減可得， 化簡可得． 四、并項求和法 例4：已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題，解得，∴， 設(shè)，則， ， ∴數(shù)列的前項和為 ． 對點增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．設(shè)等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前項和（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等差數(shù)列，，， 聯(lián)立兩式得，． 2

3、．在等比數(shù)列中，已知，，，則的值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得．∴． 取，，這時．適合題意． 3．已知是公差為的等差數(shù)列，為的前項和，若，，成等比數(shù)列，則（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，，成等比數(shù)列，所以，， ∴，因此，故選C． 4．?dāng)?shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的前項的和為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的前項的和 ． 5．?dāng)?shù)列的通項公式為，，其前項和為，則（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的周期，，，故選D． 6．已知為數(shù)列的前項和，且，則數(shù)列的前項和為（

4、） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得． 當(dāng)時，，∴． ∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴． ∴數(shù)列的前項和為①， ∴．② ，得， 故． 7．在遞減的等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和的最大值 為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則， 因為，， 所以，解得或(舍去)， 所以， 當(dāng)時，，所以當(dāng)時，． 因為， 所以數(shù)列的前項和 ， 當(dāng)時，取得最大值，最大值為． 二、填空題 8．已知為數(shù)列的前項和，若，且，設(shè)，則的值是． 【答案】 【解析】由，且，得數(shù)列是首項、公比都為的等比數(shù)列，則， 當(dāng)

5、時，，不滿足上式， 則，所以， 所以 ． 9．已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則等于． 【答案】 【解析】因為，所以． 因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以， 即． ∴ 設(shè)①， 又②， ，得，所以． 三、解答題 10．已知等比數(shù)列，其前項和為，，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則． ∵，∴，解得， ∴，故數(shù)列的通項公式為． （2）∵，∴， ． 11．設(shè)數(shù)列滿足，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知，當(dāng)時， ， 而，所以數(shù)列的通項公式為． （2）由知，①， 從而②， ，得，即． 12．已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列，前項和為，若，，成等差數(shù)列，， 數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為． （1）求的值； （2）求的通項公式； （3）若，，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1），，成等差數(shù)列，，， 又因為，∴， 又，∴，解得或(舍)． （2）記，當(dāng)時，， 又∵也符合上式，∴． 而，∴， ∴，， ∴ 兩式相減得， ∴，． 而也符合上式，故． （3）， ． 12