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1、小題專題練(六) 計數原理、二項式定理、概率、復數、數學歸納法
1．復數z＝(i為虛數單位)在復平面內對應的點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知a∈{－2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，則函數f(x)＝(a2－2)x＋b為增函數的概率是( )
A. B.
C. D.
3．若X是離散型隨機變量，P(X＝a)＝，P(X＝b)＝，且a＜b，又已知E(X)＝，D(X)＝，則a＋b的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如2 013是“六合數”
2、)，則首位為2的“六合數”共有( )
A．18個 B．15個
C．12個 D．9個
5．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)時，從n＝k到n＝k＋1，左邊需增添的代數式是( )
A．2k＋2 B．2k＋3
C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)
6．高三(1)班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目、2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數是( )
A．1 800 B．3 600
C．4 320 D．5 040
7．若的展開式中含有常數項，則n的最小值等于( )
A．3
3、 B．4
C．5 D．6
8．如圖，用4種不同的顏色對圖中的5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數有( )
A．72種 B．96種
C．108種 D．120種
9．從1，2，3，4，5這五個數字中任取3個組成無重復數字的三位數，當三個數字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數有( )
A．51個 B．54個
C．12個 D．45個
10．若(x＋y)9按x的降冪排列的展開式中，第二項不大于第三項，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值范圍是( )
A. B.
C
4、. D．(1，＋∞)
11．已知復數z＝1－i(其中i是虛數單位)，滿足z－2＋az＝0，則實數a＝________，|z＋a|＝________．
12．已知(1－2x)n的展開式中的二項式系數的和是64，則n＝________；若(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．
13．在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7門學科中任選3門．若同學甲必選物理，則甲的不同的選法種數為________，乙、丙兩名同學都選物理的概率是________．
14．橢圓＋＝1的焦點在x軸上，且m∈
5、{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則這樣的橢圓的個數為________．
15．設函數f(x)＝則x＞0時，f[f(x)]表達式的展開式中的常數項為________．(用數字作答)
16．從左至右依次站著甲、乙、丙3個人，從中隨機抽取2個人進行位置調換，則經過兩次這樣的調換后，甲在乙左邊的概率是________．
17．用數學歸納法證明：“1＋＋＋…＋1)”時，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1時，左邊應增加的項數是________．
小題專題練(六)
1．解析：選B.因為z＝＝＝＝－＋i，故選B.
2．解析：選B.因為f
6、(x)＝(a2－2)x＋b為增函數，所以a2－2＞0，又a∈{－2，0，1，3，4}，所以a∈{－2，3，4}，又b∈{1，2}，所以函數f(x)為增函數的概率是，故選B.
3．解析：選C.由E(X)＝，D(X)＝
得，
解方程組可得a＋b＝3.
4．解析：選B.依題意，這個四位數的百位數、十位數、個位數之和為4.由4、0、0組成3個數分別為400、040、004；由3、1、0組成6個數分別為310、301、130、103、013、031；由2、2、0組成3個數分別為220、202、022；由2、1、1組成3個數分別為211、121、112.共計：3＋6＋3＋3＝15(個)．
5．D
7、
6．解析：選B.兩個舞蹈節(jié)目不連排，可先安排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目，有A種排法；再將2個舞蹈節(jié)目插到6個空中的2個中去，有A種排法，故由分步乘法計數原理，有A·A＝3 600(種)．故選B.
7．解析：選C.因為Tr＋1＝C(x6)n－r＝Cx6n－r，當Tr＋1是常數項時，6n－r＝0，即n＝r，故n的最小值為5.
8．解析：選B.若1，3不同色，則1，2，3，4必不同色，有3A＝72種涂色法；若1，3同色，有CA＝24種涂色法．根據分類加法計數原理可知，共有72＋24＝96種涂色法．
9．解析：選A.分三類：第一類，沒有2，3，由其他三個數字組成三位數，有A＝6(個)；第二類
8、，只有2或3，需從1，4，5中選兩個數字，可組成2CA＝36(個)；第三類，2，3均有，再從1，4，5中選一個，因為2需排在3的前面，所以可組成CA＝9(個)．故這樣的三位數共有51個，故選A.
10．解析：選D.二項式(x＋y)9的展開式的通項是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依題意，有
由此得
解之得x>1，即x的取值范圍為(1，＋∞)．
11．解析：因為z＝1－i，
所以z＝1＋i，
因為z2＋az＝0，
所以(1＋i)2＋a(1－i)＝0，
所以a－2＋(2－a)i＝0.
所以a＝2.因為z＝1－i，
所以z＋2＝3－i，
所以|z＋2|＝＝2.
答案：2 2
9、
12．解析：由于二項式系數的和2n＝64，
所以n＝6，所以(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a6x6，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝36＝729.
答案：6 729
13．解析：因為甲要選3門，其中必選物理，所以只要在剩余6門中再選2門即可，
所以甲的不同選法種數是C＝15，乙和丙各選3門共有CC種選法，
其中乙和丙都選物理有CC種選法，
所以乙和丙都選物理的概率為＝＝.
答案：15
14．解析：因為焦點在x軸上，所以m＞n，以m的值為標準分類，分為四類：第一類：m＝5時，使m＞n，n有4種選擇；第二類：m＝4時，使m
10、＞n，n有3種選擇；第三類：m＝3時，使m＞n，n有2種選擇；第四類：m＝2時，使m＞n，n有1種選擇．由分類加法計數原理，符合條件的橢圓共有10個．
答案：10
15．解析：根據題意得：當x＞0時，f[f(x)]＝，所以其通項為Tr＋1＝C(－x－)6－r·(2x)r＝C(－1)6－r·2rxr－3，當r＝3時，得到f[f(x)]表達式的展開式中的常數項為C×(－1)6－3×23＝－160.
答案：－160
16．解析：通過樹形圖可知：
甲乙丙，
這9種所有基本事件中，甲在乙左邊的基本事件有6種，那么所求的概率為P＝＝.
答案：
17．解析：當n＝k時，要證的式子為1＋＋＋…＋
（浙江專用）2020高考數學二輪復習 小題專題練（六）
