2020屆高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題十九 圓錐曲線綜合精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練 理

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1、培優(yōu)點(diǎn)十九 圓錐曲線綜合 一、圓錐曲線綜合 例1：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且 位于第一象限，點(diǎn)在軸上的投影為，且有（其中），的連線與軸交于點(diǎn)，與的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)，則，， 由題意，得的橫坐標(biāo)為， 由，得，∴， ∵，，∴直線的方程為， 令，則，∴，∴直線的方程為， ∵直線的方程為，∴點(diǎn)， ∵恰為線段的中點(diǎn)，∴， 整理可得，則． 例2：設(shè)，是雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一 條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（） A． B． C． D．

2、 【答案】C 【解析】雙曲線（，）的一條漸近線方程為， ∴點(diǎn)到漸近線的距離，即， ∴，， ∵，∴， 在三角形中， 由余弦定理可得， ∴， 即，即，∴，故選C． 例3：已知定點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則（其中為拋物線的焦點(diǎn)）的 最大值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，作準(zhǔn)線于點(diǎn)，則， 設(shè)的傾斜角為，則（）， 當(dāng)與相切時(shí)，取最大值，由，可得， 代入拋物線，得， 即，，可得，解得或， 故的最大值為，即的最大值為，即的最大值為． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知雙曲線的漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)等于，則雙曲線兩條漸近線相夾所成

3、的銳角為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】過(guò)圓心作漸近線的垂線， 設(shè)垂足為，由題意知圓心到漸近線的距離，則易知， 所以?xún)蓾u近線相夾所成的銳角為． 2．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，，則拋物線的方程為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作，垂直準(zhǔn)線，垂足分別為，， ，即，可得， 則，，， 所以是線段中點(diǎn)，所以，則． 3．已知點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在不同兩點(diǎn)，使得， 則橢圓的離心率的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】極限法：當(dāng)重合于右頂點(diǎn)時(shí)，有，此時(shí)， 當(dāng)

4、時(shí)，橢圓越扁，顯然存在，故． 或：如圖，為線段中點(diǎn)，設(shè)，則，， 可知，則， 點(diǎn)在橢圓上，有，代入，可得， 即有，解得， 又，所以． 4．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)， 其中位于第一象限，則的值不可能為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖，設(shè)，， 由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)有，即有， 又，， ， ，當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以，不可能等于． 5．已知兩點(diǎn)在橢圓上，若，則的最小值為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，直線的傾斜角為， 則，， 點(diǎn)在橢圓上，則，即， 同理有，則， ，所以，

5、當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)． 6．已知點(diǎn)是的雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線的漸近線分別交于點(diǎn)，，若線段中點(diǎn)為，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)，，， 點(diǎn)，在漸近線上，即， 同理，所以，即， 因?yàn)?，，? 則有，得， 如圖，易知點(diǎn)在第一象限，，得， ，則， 所以，． 二、填空題 7．已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 且軸，則橢圓的離心率等于__________． 【答案】 【解析】由題意可知直線，直線，聯(lián)立得， 則線段中點(diǎn)為， 則有，即，所以，則． 8．設(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)

6、，過(guò)焦點(diǎn)的直線與曲線的左支交于點(diǎn)，，若， 且，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】如圖，設(shè)，，由雙曲線的定義知， 即，，則， 設(shè)為線段中點(diǎn)，則，，， 由勾股定理得， 即，解得，，所以， 漸近線方程為． 9．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在拋物線上，滿(mǎn)足， 則的最小值為． 【答案】 【解析】知，設(shè)，，， 解得，， 當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 10．已知點(diǎn)，是離心率的雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線 與雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，分別是，的內(nèi)心，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn) 方程是__________． 【答案】 【解析】直線過(guò)右焦點(diǎn)，， 所以直線與雙曲線的右支

7、有兩個(gè)交點(diǎn)， 如圖，設(shè)右頂點(diǎn)，，，，垂足分別為，，， 由雙曲線的定義及三角形內(nèi)心特點(diǎn)，有， 則可得，重合，同理，，垂足為， 設(shè)直線的傾斜角為，由題意知，， 則，則，由角平分線特點(diǎn)知， ，可知，， ，則， ， 所以， 又，解得，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 三、解答題 11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且． （1）求證：點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； （2）求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）． 【解析】設(shè)直線，，，則， 由，消，得，得，

8、 （1）設(shè)，知，，三點(diǎn)共線， 又，，則有， 即，所以點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． （2）因?yàn)?，所以，即? 即，得，則， ， 設(shè)，則，函數(shù)在上遞減， 所以． 12．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與橢圓交于點(diǎn)和四點(diǎn)， 若分別是線段的中點(diǎn)，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）是過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為． 【解析】（1）由題意知，解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）當(dāng)直線，的斜率存在且不為時(shí)， 設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立并消去得， 設(shè)，，則有，， 線段的中點(diǎn)， 同理可得線段的中點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，，，； 當(dāng)時(shí)，，則， 即，即直線過(guò)定點(diǎn)； 當(dāng)直線，的斜率一個(gè)為一個(gè)不存在時(shí)， 可知直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)， 綜上，直線過(guò)定點(diǎn)． 14