（新課標 全國I卷）2010-2019學年高考數學 真題分類匯編 專題18 不等式選講 文（含解析）

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1、專題18 不等式選講 不等式選講大題：10年10考，而且是作為2個選做題之一出現的，主要考絕對值不等式的解法（出現頻率太高了，應當高度重視），偶爾也考基本不等式．全國卷很少考不等式小題，如果說有考的話，可以認為在其它小題中考一些解法之類的問題．不等式作為一種工具，解題經常用到，不單獨命小題顯然也是合理的．不等式的證明一般考在函數與導數綜合題中出現． 1．（2019年）已知a，b，c為正數，且滿足abc＝1．證明： （1）++≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 【解析】（1）要證++≤a2+b2+c2；因為abc＝1． 就要證：++≤a2+b

2、2+c2； 即證：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c為正數，且滿足abc＝1． ∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；當且僅當：a＝b＝c＝1時取等號． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得證． 故++≤a2+b2+c2得證． （2）證（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立； 即：已知a，b，c為正數，且滿足abc＝1． （a+b）為正數；（b+c）為正數；

3、（c+a）為正數； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）； 當且僅當（a+b）＝（b+c）＝（c+a）時取等號；即：a＝b＝c＝1時取等號； ∵a，b，c為正數，且滿足abc＝1． （a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2； 當且僅當a＝b，b＝c；c＝a時取等號；即：a＝b＝c＝1時取等號； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8??＝24abc＝24； 當且僅當a＝b＝c＝1時取等號； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得證． 故得證． 2．（2018年）已

4、知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）當a＝1時，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍． 【解析】（1）當a＝1時，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝， 由f（x）＞1， ∴或， 解得x＞， 故不等式f（x）＞1的解集為（，+∞）， （2）當x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜， ∴a＜， ∵＞2， ∴0＜a≤2

5、， 故a的取值范圍為（0，2]． 3．（2017年）已知函數f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|． （1）當a＝1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍． 【解析】（1）當a＝1時，f（x）＝﹣x2+x+4，是開口向下，對稱軸為x＝的二次函數， g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝， 當x∈（1，+∞）時，令﹣x2+x+4＝2x，解得x＝，g（x）在（1，+∞）上單調遞增，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，∴此時f（x）≥g（x）的解集為（1，]； 當x∈[﹣1，1]時，g（x）＝2，

6、f（x）≥f（﹣1）＝2． 當x∈（﹣∞，﹣1）時，g（x）單調遞減，f（x）單調遞增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2． 綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[﹣1，]； （2）依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，則只需，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范圍是[﹣1，1]． 4．（2016年）已知函數f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|． （1）在圖中畫出y＝f（x）的圖象； （2）求不等式|f（x）|＞1的解集． 【解析】（1）f（x）＝， 由分段函數的圖象畫法，可得f（x）的圖象，如圖： （2）由|f（x）|＞

7、1，可得 當x≤﹣1時，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 當﹣1＜x＜時，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜， 即有﹣1＜x＜或1＜x＜； 當x≥時，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3． 綜上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5． 則|f（x）|＞1的解集為（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）． 5．（2015年）已知函數f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （1）當a＝1時，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍． 【解析】（1）當a＝1時，不等式f（x）＞1，即|x+1|

8、﹣2|x﹣1|＞1， 即①，或②，或③． 解①求得x∈?，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2． 綜上可得，原不等式的解集為（，2）． （2）函數f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|＝， 由此求得f（x）的圖象與x軸的交點A （，0），B（2a+1，0）， 故f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的第三個頂點C（a，a+1）， 由△ABC的面積大于6， 可得[2a+1﹣]（a+1）＞6，求得a＞2． 故要求的a的范圍為（2，+∞）． 6．（2014年）若a＞0，b＞0，且+＝． （1）求a3+b3的最小值； （2）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并說明理由． 【解析】

9、（1）∵a＞0，b＞0，且+＝， ∴＝+≥，∴ab≥2， 當且僅當a＝b＝時取等號． ∵a3+b3 ≥≥＝，當且僅當a＝b＝時取等號， ∴a3+b3的最小值為． （2）∵2a+3b≥＝，當且僅當2a＝3b時，取等號． 而由（1）可知，≥＝＞6， 故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立． 7．（2013年）已知函數f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3． （1）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （2）設a＞﹣1，且當x∈[，]時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍． 【解析】（1）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x﹣1|+|2

10、x﹣2|﹣x﹣3＜0． 設y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，則y＝，它的圖象如圖所示： 結合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）． （2）設a＞﹣1，且當x∈[，]時，f（x）＝1+a，不等式化為1+a≤x+3， 故x≥a﹣2對x∈[，]都成立． 故≥a﹣2， 解得a≤， 故a的取值范圍為（﹣1，]． 8．（2012年）已知函數f（x）＝|x+a|+|x﹣2| （1）當a＝﹣3時，求不等式f（x）≥3的解集； （2）f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范圍． 【解析】（1）當a＝﹣3時，f（x）≥3 即|x﹣3|+|

11、x﹣2|≥3，即 ，可得x≤1； ，可得x∈?； ，可得x≥4． 取并集可得不等式的解集為 {x|x≤1或x≥4}． （2）原命題即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等價于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立， 等價于|x+a|≤2，等價于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立． 故當 1≤x≤2時，﹣2﹣x的最大值為﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值為0， 故a的取值范圍為[﹣3，0]． 9．（2011年）設函數f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0． （1）當a＝1時，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （2）若不等式f（x）≤0的解集

12、為{x|x≤﹣1}，求a的值． 【解析】（1）當a＝1時，f（x）≥3x+2可化為|x﹣1|≥2． 由此可得x≥3或x≤﹣1． 故不等式f（x）≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤﹣1}． （2）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0， 此不等式化為不等式組或， 即或， 因為a＞0，所以不等式組的解集為{x|x}， 由題設可得＝﹣1，故a＝2． 10．（2010年）設函數f（x）＝|2x﹣4|+1． （1）畫出函數y＝f（x）的圖象； （2）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍． 【解析】（1）由于f（x）＝， 函數y＝f（x）的圖象如圖所示． （2）由函數y＝f（x）與函數y＝ax的圖象可知，極小值在點（2，1） 當且僅當a＜﹣2或a≥時，函數y＝f（x）與函數y＝ax的圖象有交點． 故不等式f（x）≤ax的解集非空時，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）． 8