《（新課標 全國I卷）2010-2019學年高考數(shù)學 真題分類匯編 專題18 不等式選講 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標 全國I卷）2010-2019學年高考數(shù)學 真題分類匯編 專題18 不等式選講 文（含解析）（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題18 不等式選講
不等式選講大題：10年10考，而且是作為2個選做題之一出現(xiàn)的，主要考絕對值不等式的解法（出現(xiàn)頻率太高了，應當高度重視），偶爾也考基本不等式．全國卷很少考不等式小題，如果說有考的話，可以認為在其它小題中考一些解法之類的問題．不等式作為一種工具，解題經(jīng)常用到，不單獨命小題顯然也是合理的．不等式的證明一般考在函數(shù)與導數(shù)綜合題中出現(xiàn)．
1．（2019年）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．證明：
（1）++≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【解析】（1）要證++≤a2+b2+c2；因為abc＝1．
就要證：++≤a2+b
2、2+c2；
即證：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；當且僅當：a＝b＝c＝1時取等號．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得證．
故++≤a2+b2+c2得證．
（2）證（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．
（a+b）為正數(shù)；（b+c）為正數(shù)；
3、（c+a）為正數(shù)；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）；
當且僅當（a+b）＝（b+c）＝（c+a）時取等號；即：a＝b＝c＝1時取等號；
∵a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．
（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；
當且僅當a＝b，b＝c；c＝a時取等號；即：a＝b＝c＝1時取等號；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8??＝24abc＝24；
當且僅當a＝b＝c＝1時取等號；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得證．
故得證．
2．（2018年）已
4、知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）當a＝1時，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）當a＝1時，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，
由f（x）＞1，
∴或，
解得x＞，
故不等式f（x）＞1的解集為（，+∞），
（2）當x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜，
∴a＜，
∵＞2，
∴0＜a≤2
5、，
故a的取值范圍為（0，2]．
3．（2017年）已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．
【解析】（1）當a＝1時，f（x）＝﹣x2+x+4，是開口向下，對稱軸為x＝的二次函數(shù)，
g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝，
當x∈（1，+∞）時，令﹣x2+x+4＝2x，解得x＝，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴此時f（x）≥g（x）的解集為（1，]；
當x∈[﹣1，1]時，g（x）＝2，
6、f（x）≥f（﹣1）＝2．
當x∈（﹣∞，﹣1）時，g（x）單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．
綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[﹣1，]；
（2）依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，則只需，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范圍是[﹣1，1]．
4．（2016年）已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（1）在圖中畫出y＝f（x）的圖象；
（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【解析】（1）f（x）＝，
由分段函數(shù)的圖象畫法，可得f（x）的圖象，如圖：
（2）由|f（x）|＞
7、1，可得
當x≤﹣1時，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
當﹣1＜x＜時，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，
即有﹣1＜x＜或1＜x＜；
當x≥時，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．
綜上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．
則|f（x）|＞1的解集為（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．
5．（2015年）已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（1）當a＝1時，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
【解析】（1）當a＝1時，不等式f（x）＞1，即|x+1|
8、﹣2|x﹣1|＞1，
即①，或②，或③．
解①求得x∈?，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
綜上可得，原不等式的解集為（，2）．
（2）函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|＝，
由此求得f（x）的圖象與x軸的交點A （，0），B（2a+1，0），
故f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的第三個頂點C（a，a+1），
由△ABC的面積大于6，
可得[2a+1﹣]（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范圍為（2，+∞）．
6．（2014年）若a＞0，b＞0，且+＝．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并說明理由．
【解析】
9、（1）∵a＞0，b＞0，且+＝，
∴＝+≥，∴ab≥2，
當且僅當a＝b＝時取等號．
∵a3+b3 ≥≥＝，當且僅當a＝b＝時取等號，
∴a3+b3的最小值為．
（2）∵2a+3b≥＝，當且僅當2a＝3b時，取等號．
而由（1）可知，≥＝＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
7．（2013年）已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（1）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）設a＞﹣1，且當x∈[，]時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．
【解析】（1）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x﹣1|+|2
10、x﹣2|﹣x﹣3＜0．
設y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，則y＝，它的圖象如圖所示：
結(jié)合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．
（2）設a＞﹣1，且當x∈[，]時，f（x）＝1+a，不等式化為1+a≤x+3，
故x≥a﹣2對x∈[，]都成立．
故≥a﹣2，
解得a≤，
故a的取值范圍為（﹣1，]．
8．（2012年）已知函數(shù)f（x）＝|x+a|+|x﹣2|
（1）當a＝﹣3時，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．
【解析】（1）當a＝﹣3時，f（x）≥3 即|x﹣3|+|
11、x﹣2|≥3，即
，可得x≤1；
，可得x∈?；
，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集為 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命題即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等價于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，
等價于|x+a|≤2，等價于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故當 1≤x≤2時，﹣2﹣x的最大值為﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值為0，
故a的取值范圍為[﹣3，0]．
9．（2011年）設函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（2）若不等式f（x）≤0的解集
12、為{x|x≤﹣1}，求a的值．
【解析】（1）當a＝1時，f（x）≥3x+2可化為|x﹣1|≥2．
由此可得x≥3或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤﹣1}．
（2）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0，
此不等式化為不等式組或，
即或，
因為a＞0，所以不等式組的解集為{x|x}，
由題設可得＝﹣1，故a＝2．
10．（2010年）設函數(shù)f（x）＝|2x﹣4|+1．
（1）畫出函數(shù)y＝f（x）的圖象；
（2）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．
【解析】（1）由于f（x）＝，
函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示．
（2）由函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝ax的圖象可知，極小值在點（2，1）
當且僅當a＜﹣2或a≥時，函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝ax的圖象有交點．
故不等式f（x）≤ax的解集非空時，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．
8
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