中考數(shù)學(xué)專題 四邊形存在性問題解析

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1、 中考數(shù)學(xué)專題 四邊形存在性問題解析 1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－18，0）。 （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式； （3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的 四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法

2、，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長(zhǎng)度，即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)。 （2）已知E點(diǎn)坐標(biāo)，欲求直線DE的解析式，需要求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．構(gòu)造△ODG∽△OBA，由線段比例關(guān)系求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以求出直線DE的解析式。 （3）如圖所示，符合題意的點(diǎn)Q有4個(gè)： 設(shè)直線y=－x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F， 則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4。 ①菱形OEP1Q1，此時(shí)OE為菱形一邊。 則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=4－4。 易知△P1NF為等腰直角三角形， ∴P1N=NF

3、=P1F=4－2。 設(shè)P1Q1交x軸于點(diǎn)N，則NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－2）=2。 又ON=OF－NF=2，∴Q1（2 ，－2）。 ②菱形OEP2Q2，此時(shí)OE為菱形一邊。此時(shí)Q2與Q1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴Q2（－2，2）。 ③菱形OEQ3P3，此時(shí)OE為菱形一邊。 此時(shí)P3與點(diǎn)F重合，菱形OEQ3P3為正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此時(shí)OE為菱形對(duì)角線。 由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線， 由OE=4，得P4縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=－x+4得橫坐標(biāo)為2，則P4（2，2）。 由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或y軸對(duì)稱，∴Q4（－2，2

4、）。 綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為： Q1（2，－2），Q2（－2，2），Q3（4，4），Q4（－2，2）。 2.如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）． （1）求G點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求直線EF解析式； （3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，矩形

5、的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，從而得到CG的長(zhǎng)，從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)。 （2）由題意，可知△AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；又F點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式。 （3）分FG為平行四邊形邊和對(duì)角線兩種情況討論，探究可能的平行四邊形的形狀： 若以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：

6、①FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸正半軸上，如圖1所示。 過(guò)M1點(diǎn)作M1H⊥x軸于點(diǎn)H，易證△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=，即yM1=。 由直線EF解析式，求出。 ∴M1（）。 ②FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，如圖2所示。 仿照與①相同的辦法，可求得M2（）。 ③FG為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3所示。 過(guò)M3作FB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H．易證△M3FH≌△GN3C， 則有M3H=CG=4，所以M3的縱坐標(biāo)為8－。 代入直線EF解析式，得到M3的橫坐標(biāo)為。 ∴M3（）。 綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M

7、的坐標(biāo)為：M1（），M2（），M3（ ）。 3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x2—7x+12=0的兩根(OA<0B)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒l個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒． (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 (2)求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)． (3)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若

8、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定。 【分析】（1）解出一元二次方程，結(jié)合OA＜OB即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB兩種情況討論即可。 （3）當(dāng)t=2時(shí)，如圖，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。 若以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則 ①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M1的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為?！郙1（）。 ②當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為?！郙2（）。 ③

9、當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q、M3關(guān)于AP的中點(diǎn)對(duì)稱。 由A(0，3)，P（0，1）得AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）。 由Q（）得M3的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。∴M3（）。 綜上所述，若以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為 （）或（）或（）。 4.如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處．分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn)． （1）求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式； （2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q

10、從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？ （3）點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)（不寫求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，折疊和動(dòng)點(diǎn)問題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)折疊圖形的軸對(duì)稱性，△CED≌△CBD，在Rt△C

11、EO中求出OE的長(zhǎng)，從而可得到AE的長(zhǎng)；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)．進(jìn)一步能確定D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。 （2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出對(duì)應(yīng)的t的值。 （3）假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn)，分兩種情況討論： ①EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)EC中點(diǎn)，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)。 由得拋物線頂點(diǎn)，則：M（4

12、，）。 ∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，∴線段MN必被EC中點(diǎn)（4，3）平分，則N（4，﹣）。 ②EC為平行四邊形的邊，則ECMN， 設(shè)N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； 將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38， 此時(shí) N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）； 將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26， 此時(shí) N（4，﹣26）、M（12，﹣32）。 綜上所述，存在符合條件的M、N點(diǎn)，它們的坐標(biāo)為：①M(fèi)1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）； ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）。

13、5.已知二次函數(shù)y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）和點(diǎn)B（x2，0），x1＜x2，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與x點(diǎn)問題，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）欲求拋物線的解析式，關(guān)鍵是求得m的值．根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問題得到解決。注意：解答中

14、求得兩個(gè)m的值，需要進(jìn)行檢驗(yàn)，把不符合題意的m值舍去。 （2）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)。 6.已知拋物線y=x2 + 1(如圖所示)． (1)填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(______，______)，對(duì)稱軸是_____； (2)已知y軸上一點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角 形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形?若存在， 直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

15、明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定。 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可。 （2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn) 的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)。 （3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長(zhǎng)即 可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)： 設(shè)存在點(diǎn)M使得OAMN是菱形， ∵∠OAP＞900，∴OA不可能為菱形的對(duì)角線，只能為菱形的邊。 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2

16、）， 設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，則，解得： 。 ∴AP所在直線的解析式為：y=x+2。 ∵點(diǎn)M在直線AP上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m， m+2）。 如圖，作MH⊥y軸于點(diǎn)H， 則MH= m，AN=OH－OA=m+2－2=m。 ∵OA為菱形的邊，∴AM=AO=2。 ∴在Rt△AMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22， 解得：m=±?！郙（，3）或（－，1）。 當(dāng)M（，3）時(shí)，N（，1）；當(dāng)M（－，1）時(shí)，N（－，－1）。 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，4），同理可得N的坐標(biāo)為（－，1）或（，－1）。 綜上所述，存在點(diǎn)N（，1），（－，－1），（－，1），（，－1），使得 四邊形OAMN是菱形。